导数及其应用高考题精选(含答案)(14页).doc

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1、-导数及其应用高考题精选(含答案)-第 13 页 导数及其应用高考题精选1.(2010 海南高考理科T3)曲线在点处的切线方程为( )(A) (B) (C) (D)【命题立意】本题主要考查导数的几何意义,以及熟练运用导数的运算法则进行求解.【思路点拨】先求出导函数,解出斜率,然后根据点斜式求出切线方程.【规范解答】选A.因为 ,所以,在点处的切线斜率,所以,切线方程为,即,故选A.2.(2010山东高考文科8)已知某生产厂家的年利润(单位:万元)与年产量(单位:万件)的函数关系式为,则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为( )(A) 13万件 (B) 11万件(C) 9万件 (D) 7万件【命

2、题立意】本题考查利用导数解决生活中的优化问题,考查了考生的分析问题解决问题能力和运算求解能力.【思路点拨】利用导数求函数的最值.【规范解答】选C,,令得或(舍去),当时;当时,故当时函数有极大值,也是最大值,故选C.3.(2010山东高考理科7)由曲线y=,y=围成的封闭图形面积为( )(A)(B) (C) (D) 【命题立意】本题考查定积分的基础知识,由定积分求曲线围成封闭图形的面积,考查了考生的想象能力、推理论证能力和运算求解能力. 【思路点拨】先求出曲线y=,y=的交点坐标,再利用定积分求面积. 【规范解答】选A,由题意得: 曲线y=,y=的交点坐标为(0,0),(1,1),故所求封闭图

3、形的面积为,故选A.4.(2010辽宁高考理科10)已知点P在曲线y=上,为曲线在点P处的切线的倾斜角,则的取值范围是( ) (A)0,) (B) (D) 【命题立意】本题考查了导数的几何意义,考查了基本等式,函数的值域,直线的倾斜角与斜率。【思路点拨】先求导数的值域,即tan的范围,再根据正切函数的性质求的范围。【规范解答】选D.5.(2010湖南高考理科4)等于( )A、 B、 C、 D、【命题立意】考查积分的概念和基本运算.【思路点拨】记住的原函数.【规范解答】选D .=(lnx+c)|42=(ln4+c)-(ln2+c)=ln2.【方法技巧】关键是记住被积函数的原函数.6.(2010江

4、苏高考8)函数y=x2(x0)的图像在点(ak,ak2)处的切线与x轴的交点的横坐标为ak+1,,若a1=16,则a1+a3+a5的值是_【命题立意】本题考查导数的几何意义、函数的切线方程以及数列的通项等内容。【思路点拨】先由导数的几何意义求得函数y=x2(x0)的图像在点(ak,ak2)处的切线的斜率,然后求得切线方程,再由,即可求得切线与x轴交点的横坐标。【规范解答】由y=x2(x0)得,所以函数y=x2(x0)在点(ak,ak2)处的切线方程为:当时,解得,所以.【答案】217.(2010江苏高考4)将边长为1m正三角形薄片沿一条平行于某边的直线剪成两块,其中一块是梯形,记,则S的最小值

5、是_ _。【命题立意】 本题考查函数中的建模在实际问题中的应用,以及等价转化思想。【思路点拨】可设剪成的小正三角形的边长为,然后用分别表示梯形的周长和面积,从而将S用x表示,利用函数的观点解决.【规范解答】设剪成的小正三角形的边长为,则:方法一:利用导数的方法求最小值。当时,递减;当时,递增;故当时,S的最小值是。方法二:利用函数的方法求最小值令,则:故当时,S的最小值是。【答案】【方法技巧】函数的最值是函数最重要的性质之一,高考不但在填空题中考查,还会在应用题、函数导数的的综合解答题中考察。高中阶段,常见的求函数的最值的常用方法有:换元法、有界性法、数形结合法、导数法和基本不等式法。8.(2

6、010陕西高考理科3)从如图所示的长方形区域内任取一个点M(x,y),则点M取自阴影部分的概率为 ;【命题立意】本题考查积分、几何概率的简单运算,属送分题。【思路点拨】由积分求出阴影部分的面积即可【规范解答】阴影部分的面积为所以点M取自阴影部分的概率为答案:9(2010 海南高考理科T13)设y=f(x)为区间0,1上的连续函数,且恒有0f(x) 1,可以用随机模拟方法近似计算积分,先产生两组(每组N个)区间0,1上的均匀随机数,和,由此得到N个点(i=1,2,N),在数出其中满足(i=1,2,N)的点数,那么由随机模拟方法可得积分的近似值为 .【命题立意】本题主要考查了定积分的几何意义以及几

7、何概型的计算公式.【思路点拨】由随机模拟想到几何概型,然后结合定积分的几何意义进行求解.【规范解答】由题意可知,所有取值构成的区域是一个边长为1的正方形,而满足的点落在y=f(x)、以及、围成的区域内,由几何概型的计算公式可知的近似值为.答案:10.(2010北京高考理科8)已知函数()=In(1+)-+, (0)。()当=2时,求曲线=()在点(1,(1)处的切线方程;()求()的单调区间。【命题立意】本题考查了导数的应用,考查利用导数求切线方程及单调区间。解决本题时一个易错点是忽视定义域。【思路点拨】(1)求出,再代入点斜式方程即可得到切线方程;(2)由讨论的正负,从而确定单调区间。【规范

8、解答】(I)当时, 由于, 所以曲线在点处的切线方程为 即 (II),.当时,.所以,在区间上,;在区间上,.故的单调递增区间是,单调递减区间是.当时,由,得,所以,在区间和上,;在区间上,故的单调递增区间是和,单调递减区间是.当时,故的单调递增区间是.当时,得,.所以在区间和上,;在区间上,故得单调递增区间是和,单调递减区间是【方法技巧】(1)过的切线方程为。(2)求单调区间时要在定义域内讨论内的正负。11.(2010安徽高考文科20)设函数,求函数的单调区间与极值。【命题立意】本题主要考查导数的运算,利用导数研究函数的单调性与极值的方法,考查考生运算能力、综合分析问题能力和问题的化归转化能

9、力。【思路点拨】对函数求导,分析导数的符号情况,从而确定的单调区间和极值。【规范解答】+-0+极大值极小值【方法技巧】利用导数研究函数的单调性和极值是解决函数单调性、极值问题的常用方法,简单易行,具体操作流程如下:(1)求导数;(2)求方程的全部实根;(3)列表,检查在方程的根左、右的值的符号;(4)判断单调区间和极值。12.(2010北京高考文科8) 设定函数,且方程的两个根分别为1,4。()当a=3且曲线过原点时,求的解析式;()若在无极值点,求a的取值范围。【命题立意】本题考查了导数的求法,函数的极值,二次函数等知识。【思路点拨】(1)由的两个根及过原点,列出三个方程可解出;(2)是开口

10、向上的二次函数,无极值点,则恒成立。【规范解答】由 得 因为的两个根分别为1,4,所以 (*)()当时,(*)式为解得又因为曲线过原点,所以故()由于a0,所以“在(-,+)内无极值点”等价于“在(-,+)内恒成立”。由(*)式得。又解 得即的取值范围【方法技巧】(1)当在的左侧为正,右侧为负时,为极大值点;当在的左侧为负,右侧为正时,为极小值点(2)二次函数恒成立问题可利用开口方向与判别式来解决。恒大于0,则;恒小于0,则;13.(2010安徽高考理科17)设为实数,函数。 (1)求的单调区间与极值;(2)求证:当且时,。【命题立意】本题主要考查导数的运算,利用导数研究函数的单调区间、求函数

11、的极值、证明函数不等式,考查考生运算能力、综合分析问题能力和问题的化归转化能力。【思路点拨】(1)先分析的导数的符号情况,从而确定的单调区间和极值;(2) 设,把问题转化为:求证:当且时,。【规范解答】(1),令,得,极小值在上单调递减,在上单调递增;当时,取得极小值为(2)设,由(1)问可知,恒成立,当时,则0恒成立,所以在上单调递增,所以当时,即当且时,。【方法技巧】1、利用导数研究函数的单调性是解决函数单调性问题的常用方法,简单易行;2、证明函数不等式问题,如证,通常令,转化为证明:。14.(2010天津高考文科20)已知函数f(x)=,其中a0. ()若a=1,求曲线y=f(x)在点(

12、2,f(2)处的切线方程;()若在区间上,f(x)0恒成立,求a的取值范围.【命题立意】本小题主要考查曲线的切线方程、利用导数研究函数的单调性与极值、解不等式等基础知识,考查运算能力及分类讨论的思想方法。【思路点拨】应用导数知识求解曲线的切线方程及函数最值。【规范解答】()当a=1时,f(x)=,f(2)=3;f(x)=, f(2)=6.所以曲线y=f(x)在点(2,f(2)处的切线方程为y-3=6(x-2),即y=6x-9.()f(x)=.令f(x)=0,解得x=0或x=.以下分两种情况讨论:若,当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:X0f(x)+0-f(x)极大值 当等价于 解不等式组得-5a2,则.当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:X0f(x)+0-0+f(x)极大值极小值当时,f(x)0等价于即解不等式组得或.因此2a5. 综合(1)和(2),可知a的取值范围为0a5.

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