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1、-垂直平分线与角平分线典型题-第 5 页线段的垂直平分线与角平分线(1)知识要点详解1、线段垂直平分线的性质（1）垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 定理的数学表示：如图1，已知直线m与线段AB垂直相交于点D，且ADBD，若点C在直线m上，则ACBC.定理的作用：证明两条线段相等（2）线段关于它的垂直平分线对称.课堂笔记：2、线段垂直平分线性质定理的逆定理（1）线段垂直平分线的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 定理的数学表示：如图2，已知直线m与线段AB垂直相交于点D，且ADBD，若ACBC，则点C在直线m上.定理的作用：证明
2、一个点在某线段的垂直平分线上.课堂笔记：3、关于三角形三边垂直平分线的定理（1）关于三角形三边垂直平分线的定理：三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.定理的数学表示：如图3，若直线分别是ABC三边AB、BC、CA的垂直平分线，则直线相交于一点O，且OAOBOC.定理的作用：证明三角形内的线段相等.（2）三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系：若三角形是锐角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形内部；若三角形是直角三角形，则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点；若三角形是钝角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形外部.反之，三角形三边垂直平分线的交点在三
3、角形内部，则该三角形是锐角三角形；三角形三边垂直平分线的交点在三角形的边上，则该三角形是直角三角形；三角形三边垂直平分线的交点在三角形外部，则该三角形是钝角三角形.经典例题：例1如图1，在ABC中，BC8cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E，BCE的周长等于18cm，则AC的长等于（）A6cm B8cmC10cm D12cm课堂笔记：B针对性练习：AD已知：1)如图，AB=AC=14cm,AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点 E，如果EBC的周长是24cm，那么BC= 2) 如图，AB=AC=14cm,AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，如果BC=8cm，那么EBC的
4、周长是 E3） 如图，AB=AC,AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，如果A=28 度，那么EBC是 CB 例2. 已知： AB=AC，DB=DC，E是AD上一点，求证：BE=CE。课堂笔记：B针对性练习：已知：在ABC中，ON是AB的垂直平分线,OA=OC 求证：点O在BC的垂直平分线NA OCB例3. 在ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与边AC所在的直线相交所成锐角为50，ABC的底角B的大小为_。课堂笔记：B针对性练习：1. 在ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与AC所在直线相交所得的锐角为40，则底角B的大小为_。例4、如图8，已知AD是ABC的BC边上的高，且C2B
5、，求证：BDACCD.证明：在BD上取一点E，使DEDC，连接AE，则AEAC，课堂笔记：课堂练习：1.如图，AC=AD，BC=BD，则（ ）A.CD垂直平分AD B.AB垂直平分CD C.CD平分ACB D.以上结论均不对2.如果三角形三条边的中垂线的交点在三角形的外部，那么，这个三角形是（ ）A.直角三角形B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形3.下列命题中正确的命题有（ ）线段垂直平分线上任一点到线段两端距离相等；线段上任一点到垂直平分线两端距离相等；经过线段中点的直线只有一条；点P在线段AB外且PA=PB，过P作直线MN，则MN是线段AB的垂直平分线；过线段上任一点可以作这条线
6、段的中垂线.A.1个B.2个C.3个D.4个4.ABC中，AB的垂直平分线交AC于D，如果AC=5 cm，BC=4cm，那么DBC的周长是（ ）A.6 cmB.7 cmC.8 cmD.9 cm5.已知如图，在ABC中，AB=AC，O是ABC内一点，且OB=OC，求证：AOBC.6.如图，在ABC中，AB=AC，A=120，AB的垂直平分线MN分别交BC、AB于点M、N. 求证：CM=2BM. 课后作业：1. 如图7，在ABC中，AC23，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，ACE的周长为50，求BC边的长.2. 已知：如图所示，ACB，ADB都是直角，且AC=AD，P是AB上任意一点，
7、求证：CP=DP。线段的垂直平分线与角平分线（2）知识要点详解4、角平分线的性质定理：角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 定理的数学表示：如图4，已知OE是AOB的平分线，F是OE上一点，若CFOA于点C，DFOB于点D，则CFDF. 定理的作用：证明两条线段相等；用于几何作图问题；角是一个轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线.课堂笔记：5、角平分线性质定理的逆定理：角平分线性质定理的逆定理：在角的内部，且到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上. 定理的数学表示：如图5，已知点P在AOB的内部，且PCOA于C，PDOB于D，若PCPD，则点P在AOB的平分线
8、上. 定理的作用：用于证明两个角相等或证明一条射线是一个角的角平分线 注意角平分线的性质定理与逆定理的区别和联系.课堂笔记：6、关于三角形三条角平分线的定理：（1）关于三角形三条角平分线交点的定理：三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等.定理的数学表示：如图6，如果AP、BQ、CR分别是ABC的内角BAC、ABC、ACB的平分线，那么： AP、BQ、CR相交于一点I； 若ID、IE、IF分别垂直于BC、CA、AB于点D、E、F，则DIEIFI. 定理的作用：用于证明三角形内的线段相等；用于实际中的几何作图问题.（2）三角形三条角平分线的交点位置与三角形形状的关系：三角形三个内
9、角角平分线的交点一定在三角形的内部.7、关于线段的垂直平分线和角平分线的作图：（1）会作已知线段的垂直平分线； （2）会作已知角的角平分线；（3）会作与线段垂直平分线和角平分线有关的简单综合问题的图形.课堂笔记：经典例题：例1、 已知：如图，点B、C在A的两边上，且AB=AC，P为A内一点，PB=PC， PEAB，PFAC，垂足分别是E、F。求证：PE=PF课堂笔记：B针对性练习：已知： PA、PC分别是ABC外角MAC和NCA平分线，它们交于P，PDBM于D，PFBN于F，求证：BP为MBN的平分线。例2、如图10，已知在直角梯形ABCD中，ABCD，ABBC，E为BC中点，连接AE、DE，
10、DE平分ADC，求证：AE平分BAD.课堂笔记：B针对性练习：如图所示，AB=AC，BD=CD，DEAB于E，DFAC于F，求证：DE=DF。例3、如图11-1，已知在四边形ABCD中，对角线BD平分ABC，且BAD与BCD互补，求证：ADCD.课堂练习：1. ABC中，AB=AC，AC的中垂线交AB于E，EBC的周长为20cm，AB=2BC，则腰长为_。2. 如图所示，AB/CD，O为A、C的平分线的交点，OEAC于E，且OE=2，则AB与CD之间的距离等于_。已知：如图，B=C=900，DM平分ADC， AM平分DAB 。求证： M B=MC课后作业：1.如右图，已知BEAC于E，CFAB于F，BE、CF相交于点D，若BD=CD.求证：AD平分BAC.2. 如图所示，直线表示三条互相交叉的公路，现在要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ） A. 一处B. 二处C. 三处D. 四处