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1、Good is good, but better carries it.精益求精，善益求善。FIR数字滤波器的设计-第九章FIR数字滤波器的设计有限长单位脉冲响应滤波器的特点:线性相位滤波.1.线性相位FIR数字滤波器、特点1.线性相位FIRDF含义设滤波器的脉冲响应为,长为N.则,再表成其中(可正负,)称为幅度特性函数,称为相位特性函数.注:不是如的它的为,为.若,是与采样点数N有关的常数,则称滤波器是线性相位的.系统的群时延定义为:.对线性相位滤波器,群时延是常数.2.线性相位的条件(1)的特点设滤波器是线性相位的,则应有即从而有上面二式相除且整理为移项化简为求得一种情形:当关于奇对称时,
2、上式为零.是偶对称的.即满足.此时.在偶对称的条件下,再分和(2)的特点数学推导见参考文献1,下面只给出结论.当是奇数时,当是偶数时,所以在偶对称的条件下,滤波器有两种形式(对,是低通滤波器,可转换成高通,带通,带阻滤波器)(对也是低通滤波器,但不可转换成高通,带阻滤波器).(3)零点分布特点(偶对称)由此可得,对,若,则.由是实数列,得是实系数的,所以,有三种情形的零点.例如hn=13531;zplane(hn,1);(4)极点均在,且为阶的,系统必稳定.因为.(5)网络结构特点由对的对称性,推得当为偶数时,当为奇数时,例如当时,.可有如下网络结构.直接型省了2个乘法器当时,情形类似,见书P
3、185.2用窗函数设计FIR数字滤波器线性相位的FIR时域要求是对称性.本节讨论如何在幅频特性上逼近期望滤波器.以低通为例.设,则一般为片断函数,故无限长,需处理.1.基本方法(1)提出希望频率响应函数线性相位,具有片断特点,即(2)算出(无限长)(3)加窗,长,得(*)要线性相位,就要关于偶对称,而关于偶对称,故要求所以要求关于偶对称.再回过来检验是否满足精度要求.若基本满足,则依截取的,制硬件,编软件.2.窗函数法的性能分析由(*)式知,取点一样时,逼近性质与窗形(值)有关.下面分析当时的频率性质.由,得.其中,.代入卷积,故,.相位是线性的.实际幅度=希望幅度*窗函数幅度.卷积=对每个,
4、求一积分,其值记为.故有如下图形演示.右图为当时,的幅频图.阻带最小衰减21dB,一般不满足实际工程需要.过渡带宽(归一化),这可以通过增加N来减小.这是窗函数设计的一个指标.3.典型窗函数下面给出各种窗函数的表达式、时域波形、幅度特性，以及理想滤波器加窗后的波形和幅度特性.以下均设低通滤器的.(1)矩形窗,已求得,矩形波形矩形波形的幅频特性%矩形窗时域波形N=31;w=rectwin(N);n=0:30;subplot(1,2,1);stem(n,w);axis(03301.3);gridon;%矩形窗频域特性hw,w=freqz(w,1);subplot(1,2,2);plot(w/pi,
5、20*log10(abs(hw)/abs(hw(1);axis(01-600);gridon;pause;%理想滤波器加窗后采样序列wc=pi/2;N=31;n=0:30;t=(N-1)/2;hdn=sin(wc*(n-t)./(pi*(n-t);hdn(16)=0.5;%补点;subplot(1,2,1);stem(n,hdn);axis(033-0.20.8);gridon;%滤波器加窗后的频域特性hw,w=freqz(hdn,1);subplot(1,2,2);plot(w/pi,20*log10(abs(hw)/abs(hw(1);axis(01-608);gridon;理想滤波器时域
6、采样加窗后滤波器的频率特性过渡带宽度最小衰减.当时矩形窗的幅频特为与N成反比,要改,需另选.(2)三角窗(BartlettWindow)各指标为:.(3)升余弦窗(汉宁窗,hanningwindow),各指标为:(4)改进升余弦窗(海明窗,hanningwindow),(5)布莱克曼窗(blackmanwindow),各指标为:.为便于选择使用,将5种窗函数基本参数列于下表.类型窗函数的旁瓣峰值过渡带宽度加窗后滤波器的阻带最小衰减rectwin-134p/N-21bartlet三角-258p/N-25hanning-318p/N-44hamming-418p/N-53blackman-5712
7、p/N-74如阻带最小衰减,过渡带宽度.则选布莱克曼窗,且由,得.事实上,还有很多窗形可供选择.见P193.4.设计步骤(1)由阻带指标选窗型w,由过渡带宽度选点数N,(2)构造要逼近的,构造(对低通)应使(3)计算(4)加窗.例1用窗函数法设计线性相位高通FIRDF,指标为通带截止频率:;通带最大衰减:.阻带截止频率:;阻带最小衰减:解(1)根据阻带指标,可选汉宁和海明窗,我们选海明窗,由,对高通滤波器,必须取奇数.故有.(2),则要逼近(全通-低通)(3)求表示全通滤波器低通滤波器(4)加窗(见书,略)上述过程可用Matlab中的命令fir1来实现.格式1:hn=fir1(N,wc,fty
8、pe,window(N+1);ftype可选high,stop;window窗名,默认hamming.格式2:hn=fir1(N,wc);阶数为N,6dB截止频率wc(01)的低通滤波器.(注h(n)的长度为N+1)当wc=wc1,wc2时,为带通滤波器.例如上例的命令为(注设计时,对p作归一化)wc=29/66;N=32;%N=h(n)的长度-1hn=fir1(N,wc,high);subplot(1,2,1);n=0:32;stem(n,hn);axis(032-0.40.6);gridon;hw,w=freqz(hn,1);subplot(1,2,2);plot(w/pi,20*log1
9、0(abs(hw);axis(01-805);gridon;注对高通,带阻,阶数必须为偶数.例2用窗函数法设计一个FIR带通滤波器,指标为阻带下截止频率:;阻带最小衰减通带下截止频率:;通带最大衰减通带上截止频率:;阻带上截止频率:;解由阻带衰减指标,选blackman窗,由过度带宽,得,通带区间约定用表示,计算如下程序命令为wls=0.2*pi;wlp=0.35*pi;wup=0.65*pi;B=wlp-wls;N=ceil(12*pi/B);wp=wlp/pi-6/N,wup/pi+6/N;hn=fir1(N-1,wp,blackman(N);subplot(1,2,1);n=0:79;s
10、tem(n,hn);axis(080-0.40.4);gridon;hw,w=freqz(hn,1);subplot(1,2,2);plot(w/pi,20*log10(abs(hw);axis(01-1005);gridon;例3用窗函数法设计FIR低通滤波器,实现对模拟信号采样后进行数字低通滤波,对模拟信号的指标通带截止频率:;阻带截止频率:;阻带最小衰减:;采样频率:.选合适窗函数,求出,并画出幅频衰减曲线和相频特性曲线.解(1)转换成数字频率为通带数字截止频率:;阻带数字截止频率:;阻带最小衰减:40dB;过渡带宽度:.(2)由衰减:40dB,选hamming窗,由,得.(3)确定,命
11、令如下:fp=2000;fs=3000;Fs=10000;wp=2*pi*fp/Fs;ws=2*pi*fs/Fs;B=ws-wp;N=ceil(8*pi/B);wc=(wp+B/2)/pi;hn=fir1(N-1,wc);n=0:N-1;subplot(1,2,1);stem(n,hn,.);gridon;hw,w=freqz(hn,1);subplot(1,2,2);plot(w/pi,20*log10(abs(hw);gridon;axis(01-1004);w=-2.2:0.01:2.2;wg=sin(31*w/2)./sin(w/2);wg(221)=31;plot(w,wg);axi
12、s(-2.52.2-1032);%理想滤波器的频域特性.ezplot(int(sin(w-x)*16)/sin(w-x)/2)/6.28,-pi/4,pi/4),-1.71.7);加窗后的幅度函数的频域特性.附录1对称性数据P183n13=0:1:12;%P183h13=-0.05-0.0300.080.160.250.280.250.160.080-0.03-0.05;subplot(1,2,1);stem(n13,h13);axis(013-0.10.3)n12=0:1:11;h12=-0.05-0.0300.080.160.250.250.160.080-0.03-0.05;subplo
13、t(1,2,2);stem(n12,h12);axis(013-0.10.3)2对称性数据P186N=31;n=0:30;hd=sin(0.25*pi*(n-15)./(pi*(n-15);hd(16)=0.25;subplot(1,2,1);stem(n,ones(1,N);axis(03101.3);subplot(1,2,2);stem(n,hd);axis(031-0.10.3);plot(n,hd);axis(030-0.10.27);%wc=0.25pi加图hk=fft(hd,128);k=0:63;plot(k/64*pi,abs(hk(1,1:64);axis(0pi01.1)-