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1、关于函数及其图像关于函数及其图像第1页，讲稿共83张，创作于星期日第一章第一章 函数与极限函数与极限1.1 1.1 函数及其图像函数及其图像1.2 1.2 函数极限函数极限1.3 1.3 无穷小量与无穷大量无穷小量与无穷大量1.4 1.4 数列的极限数列的极限1.5 1.5 两个重要极限两个重要极限1.61.6无穷小的比较无穷小的比较1.7 1.7 连续函数及其性质连续函数及其性质 第2页，讲稿共83张，创作于星期日1.1 函数及其图像函数及其图像一、集合二、常量、变量、函数三、函数的初等性质四、函数的初等运算五、基本初等函数与初等函数六、函数关系的建立重点重点：函数的概念、初等函数难点难点：
2、复合函数第3页，讲稿共83张，创作于星期日1.1.1 基础知识回顾基础知识回顾1.1.集合集合:具有某种特定性质的对象（事物）的具有某种特定性质的对象（事物）的总体总体.组成这个集合的对象称为该集合的组成这个集合的对象称为该集合的元素元素.有限集（列举表示）有限集（列举表示）无限集（命题式表示）无限集（命题式表示）集合：集合：A，B，C表示；元素：表示；元素：a，b，c表示表示第4页，讲稿共83张，创作于星期日2.实数与数轴实数与数轴O1-1x实数系的连续性：实数的集合与数轴上的点的实数系的连续性：实数的集合与数轴上的点的 集合一集合一一对应一对应第5页，讲稿共83张，创作于星期日例如例如不含
3、任何元素的集合称为不含任何元素的集合称为空集空集例如例如规定规定 空集为任何集合的子集空集为任何集合的子集.A是是 B 的的子集子集,或称或称 B 包含包含 A,若若且且则称则称 A 与与 B 相等相等,例如例如 ,记作记作记作记作定义定义2.若若设有集合设有集合A，B，必有必有3.集合之间的关系集合之间的关系则称则称第6页，讲稿共83张，创作于星期日定义定义 3.给定两个集合给定两个集合 A,B,定义下列运算定义下列运算:并集并集交集交集且且差集差集且余集余集直积直积记为平面上的全体点集为平面上的全体点集或或AB第7页，讲稿共83张，创作于星期日4.4.区间区间:是指介于某两个实数之间的全体
4、实数是指介于某两个实数之间的全体实数.这两这两个实数叫做区间的端点个实数叫做区间的端点.称为开区间称为开区间,记作记作（a,b）称为闭区间称为闭区间,记作记作 a,b第8页，讲稿共83张，创作于星期日称为半开区间称为半开区间,记作记作a,b)称为半开区间称为半开区间,记作记作(a,b有限区间有限区间无限区间无限区间区间长度的定义区间长度的定义:两端点间的距离两端点间的距离(线段的长度线段的长度)称为区间的长度称为区间的长度.第9页，讲稿共83张，创作于星期日5.5.邻域邻域:点点 a的去心的的去心的邻域，记作邻域，记作设设a和和数集数集称为点称为点 a的的邻域邻域.是两个实数，且是两个实数，且
5、点点 a叫做这邻域的中心，叫做这邻域的中心，叫做这邻域的半径叫做这邻域的半径.第10页，讲稿共83张，创作于星期日几个逻辑符号几个逻辑符号表示对表示对“任意一个任意一个”、“对每一个对每一个”表示表示“存在一个存在一个”、“至少有一个至少有一个”使得使得“”表示表示“蕴含蕴含”，“可推出可推出”“”“”表示表示“当且仅当当且仅当”、“充分必要充分必要”、“等价等价”“满足方程满足方程”第11页，讲稿共83张，创作于星期日在逻辑推理过程中最常用的两个逻辑记号在逻辑推理过程中最常用的两个逻辑记号“”表示表示“对每一个对每一个”,或或“任取任取”,或或“任意给定任意给定”;“”表示表示“存在存在”,
6、或或“至少存在一个至少存在一个”,或或“能够找到能够找到”.如如实数的阿基米德实数的阿基米德(ArchimedesArchimedes)公理公理:任意给定两个正的实数任意给定两个正的实数 a,b,都存在一个都存在一个自然数自然数n,用逻辑符号用逻辑符号将将阿基米德公理改写阿基米德公理改写:第12页，讲稿共83张，创作于星期日6.6.绝对值绝对值:运算性质运算性质:绝对值不等式绝对值不等式:第13页，讲稿共83张，创作于星期日1.1.2 函数函数 在某过程中数值保持不变的量称为在某过程中数值保持不变的量称为常量常量,注意注意常量与变量是相对常量与变量是相对“过程过程”而言的而言的.通常用字母通常
7、用字母 a,b,c 等表示常量等表示常量,而数值变化的量称为而数值变化的量称为变量变量.常量与变量的表示方法：常量与变量的表示方法：用字母用字母 x,y,t 等表示等表示变量变量.常量常量 变量变量第14页，讲稿共83张，创作于星期日因变量因变量自变量自变量数集数集D叫做这个函数的叫做这个函数的定义域定义域函数函数定义定义：设设是一个非空集合，是一个非空集合，f 是一个确定的法则，是一个确定的法则，如果如果通过法则通过法则 f，存在唯一的，存在唯一的则称由则称由 f 确定了一个定义于确定了一个定义于D上，取值于上，取值于R的的函数函数，记作，记作与与x相对应，相对应，当当时，称时，称为函数在点
8、为函数在点处的函数值处的函数值.函数值全体组成的数集函数值全体组成的数集称为函数的称为函数的值域值域.第15页，讲稿共83张，创作于星期日函数的两要素函数的两要素:定义域定义域与与对应法则对应法则.第16页，讲稿共83张，创作于星期日约定约定:如无特别指出，定义域是自变量所能取的使如无特别指出，定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值（自然定义域）算式有意义的一切实数值（自然定义域）.定义定义:第17页，讲稿共83张，创作于星期日说明：说明：第18页，讲稿共83张，创作于星期日不同的对应法则表示不同的函数不同的对应法则表示不同的函数,如如)(xfy=、)(xgy=、)(xyj j=等等。
9、等等。函数有三种表示法：函数有三种表示法：图象法图象法、表格法表格法.在解析法中在解析法中,函数的解析式有两类：函数的解析式有两类：一个解析式表示的函数一个解析式表示的函数,例如例如 :圆的面积圆的面积S与半径与半径R的关的关系是系是 、解析法解析法一类仅只有一类仅只有另一类是由一个以上的解析式表示的函数另一类是由一个以上的解析式表示的函数,在定义域内的不同范围用不同的解析式表示在定义域内的不同范围用不同的解析式表示,这种函数称这种函数称为为分段函数分段函数。这种函数这种函数例如例如 ，某市出租车的乘车费某市出租车的乘车费 y(元元)与里程与里程x(公里公里)之间之间的关系是：的关系是：注意注
10、意：分段函数是一个函数分段函数是一个函数，而不是几个函数。而不是几个函数。第19页，讲稿共83张，创作于星期日函数的定义域1.函数中有分式,要求分母不能为零2.函数中根式,要求负数不能开偶次方3.函数中有对数式,要求真数必须大于零4.函数中有对数式和反三角函数式,要求符合它们定义域5.若函数式是上述各式的混合式,则应取各部分定义域6.的交集第20页，讲稿共83张，创作于星期日例1 求下列函数的定义域第21页，讲稿共83张，创作于星期日练练解解第22页，讲稿共83张，创作于星期日 (2)符号函数符号函数几个特殊的函数举例几个特殊的函数举例1-1xyo(1)绝对值函数绝对值函数xyO第23页，讲稿
11、共83张，创作于星期日 1 2 3 4 5 -2-4-4-3-2-1 4 3 2 1 -1-3xyo阶梯曲线有理数点无理数点1xyo(4)狄利克雷函数狄利克雷函数(3)取整函数取整函数 y=xx表示不超过表示不超过 的最大整数的最大整数5.3=5,-4.5=-5.第24页，讲稿共83张，创作于星期日(5)取最值函数取最值函数yxoyxo第25页，讲稿共83张，创作于星期日在自变量的不同变化范围中在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同的对应法则用不同的式子来表示的函数式子来表示的函数,称为称为分段函数分段函数.第26页，讲稿共83张，创作于星期日例例1 解下列各题解下列各题第27页，讲稿共83
12、张，创作于星期日例例2 2解解:故定义域是故定义域是-3,-1.因为因为 f(x)的定义域是的定义域是0,2,所以所以对对f(x+3)的有的有0 x+32,即即-3x-1,故故f(x+3)的定义域是的定义域是-3,-1.第28页，讲稿共83张，创作于星期日例例3 3脉冲发生器产生一个单三角脉冲脉冲发生器产生一个单三角脉冲,其波形如图其波形如图所示所示,写出电压写出电压U与时间与时间 的函数关系式的函数关系式.解解单三角脉冲信号的电压单三角脉冲信号的电压第29页，讲稿共83张，创作于星期日第30页，讲稿共83张，创作于星期日例例4.已知函数已知函数解解:及写出 f(x)的定义域及值域,并求f(x
13、)的定义域 值域 第31页，讲稿共83张，创作于星期日1.1.3 函数的几种特性函数的几种特性1函数的有界性函数的有界性(bounded):M=1-M=-1第32页，讲稿共83张，创作于星期日有界的充分必要条件是有界的充分必要条件是既有上界又有下界。既有上界又有下界。xyo第33页，讲稿共83张，创作于星期日例例.第34页，讲稿共83张，创作于星期日 注注有界的几何意义如左下图有界的几何意义如左下图.有界有界无界无界:无界无界第35页，讲稿共83张，创作于星期日2函数的单调性函数的单调性(monotonicity):xyo当当时时,恒有恒有称称 f(x)为为 I上的单调增函数上的单调增函数.设
14、函数设函数f(x)的定义域是的定义域是 D，且有区间，且有区间若若第36页，讲稿共83张，创作于星期日xyo当当时时,恒有恒有称称 f(x)为为 I上的单调减函数上的单调减函数.设函数设函数f(x)的定义域是的定义域是 D，且有区间，且有区间若若第37页，讲稿共83张，创作于星期日 注注 2.应指明单调区间应指明单调区间,否则会产生错误否则会产生错误,例例:解解.00?0?第38页，讲稿共83张，创作于星期日容易看出容易看出:不难验证不难验证:第39页，讲稿共83张，创作于星期日3函数的奇偶性函数的奇偶性:偶函数偶函数yxox-x第40页，讲稿共83张，创作于星期日yxox-x奇函数奇函数第4
15、1页，讲稿共83张，创作于星期日如如xycos=在区间在区间),(+-上是偶函数上是偶函数(如图如图2.1)如如3xy=在在),(+-上是奇函数上是奇函数(如图如图2.2)函数函数xxy2sin4+=在在),(+-上是非奇非偶函数上是非奇非偶函数(如图如图2.3)图图2.1图图2.2图图2.3第42页，讲稿共83张，创作于星期日4函数的周期性函数的周期性(periodicity):（通常说周期函数的周期是指其最小正（通常说周期函数的周期是指其最小正周期周期）.周期为第43页，讲稿共83张，创作于星期日例例狄利克雷狄利克雷(Dirichlet)函数函数狄利克雷狄利克雷(德德)1805-1859有
16、理数点有理数点无理数点无理数点1xyo(当当x是有理函数时是有理函数时)(当当x是无理函数时是无理函数时)这是一个这是一个周期函数周期函数,任何正有理数任何正有理数r都是它都是它的的周期周期.因为不存在最小的正有理数因为不存在最小的正有理数,所以没有所以没有最小正最小正周期周期.第44页，讲稿共83张，创作于星期日1.1.4 函数的初等运算函数的初等运算1.函数的四则运算函数的四则运算 第45页，讲稿共83张，创作于星期日第46页，讲稿共83张，创作于星期日DWDW2.反函数反函数(inverse function)运算运算第47页，讲稿共83张，创作于星期日注注第48页，讲稿共83张，创作于
17、星期日习惯上,的反函数记成1.反函数的求法：先由y=f(x)解出根据习惯，f(x)的反函数记为第49页，讲稿共83张，创作于星期日 2.函数与反函数的图形关于直线函数与反函数的图形关于直线 对称对称.即即即即3.反函数与函数的关系反函数与函数的关系第50页，讲稿共83张，创作于星期日第51页，讲稿共83张，创作于星期日3 复合函数复合函数手电筒D复合函数 第52页，讲稿共83张，创作于星期日复合函数也可以看作是产品的二次加工（多次加工）第53页，讲稿共83张，创作于星期日xuy定义定义:设函数设函数y=f(x)的定义域是的定义域是而函数而函数的值域为的值域为若若则可确定则可确定y为为x的函数的
18、函数,称为称为 f 与与的复合函数，记为的复合函数，记为即即第54页，讲稿共83张，创作于星期日注意注意:1.不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的;2.复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成；复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成；3.复合运算不满足交换性复合运算不满足交换性,第55页，讲稿共83张，创作于星期日例例2 2解解第56页，讲稿共83张，创作于星期日综上所述综上所述第57页，讲稿共83张，创作于星期日1)幂函数幂函数(power function)1.1.5 基本初等函数与初等函数基本初等函数与初等函数基本初等函数（基本初等函数（
19、6类）：类）：常数函数、幂函数、指数函数、常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数。对数函数、三角函数、反三角函数。第58页，讲稿共83张，创作于星期日2)指数函数指数函数(exponential function)定义域为定义域为值域为值域为第59页，讲稿共83张，创作于星期日3)对数函数对数函数(logarithm function)定义域为定义域为值域为值域为第60页，讲稿共83张，创作于星期日4)三角函数三角函数(trigonometric function)正弦函数正弦函数定义域为定义域为值域为值域为第61页，讲稿共83张，创作于星期日余弦函数余弦函数定义域为定义域
20、为值域为值域为第62页，讲稿共83张，创作于星期日正切函数正切函数余切函数余切函数定义域定义域值域值域定义域定义域值域值域第63页，讲稿共83张，创作于星期日5)反三角函数反三角函数(inverse trigonometric function)定义域定义域值域值域 主值主值反正弦函数反正弦函数第64页，讲稿共83张，创作于星期日定义域定义域值域值域 主值主值反余弦函数反余弦函数第65页，讲稿共83张，创作于星期日 主值主值定义域定义域值域值域反正切函数反正切函数反余切函数反余切函数 主值主值定义域定义域值域值域 幂函数、指数函数、对数函数、三角函数幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角
21、函数统称为和反三角函数统称为基本初等函数基本初等函数.第66页，讲稿共83张，创作于星期日(2)初等函数初等函数(elementary function)及其分解及其分解初等函数初等函数.如如都是初等函数都是初等函数.不是初等函数不是初等函数.由常数和基本初等函数经过有限次四则运算由常数和基本初等函数经过有限次四则运算(加、减、乘、除加、减、乘、除)和有限次的函数复合步骤所构和有限次的函数复合步骤所构成并可用成并可用一个式子表示一个式子表示的函数的函数,称为称为第67页，讲稿共83张，创作于星期日又如又如2321+=+xxey等都是初等函数。等都是初等函数。如如 +=0,0,3)(2xxxxx
22、f不是初等函数。不是初等函数。2x=如：如：+xsin1xxxxy32logtan4cos1-+-+=,分段函数分段函数一般一般不是初等函数不是初等函数注意：注意：是初等函数。是初等函数。-=0,0,xxxx而而第68页，讲稿共83张，创作于星期日双曲函数与反双曲函数双曲函数与反双曲函数:奇函数奇函数.偶函数偶函数.1、双曲函数双曲函数第69页，讲稿共83张，创作于星期日奇函数奇函数,有界函数有界函数,第70页，讲稿共83张，创作于星期日双曲函数常用公式双曲函数常用公式第71页，讲稿共83张，创作于星期日反双曲函数反双曲函数奇函数奇函数,第72页，讲稿共83张，创作于星期日奇函数奇函数,第73
23、页，讲稿共83张，创作于星期日第74页，讲稿共83张，创作于星期日1.1.6 函数关系的建立函数关系的建立例例1 函数的列表表示函数的列表表示：某公司一年中月销售个统计：某公司一年中月销售个统计月份月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 销售额销售额 25 24 18 17 16 17 17 18 19 21 23 24 例例2 函数的图像表示：函数的图像表示：某气象观察点某气象观察点24小时气温观察资料图小时气温观察资料图O tT第75页，讲稿共83张，创作于星期日例例3 函数关系的解析式表示：函数关系的解析式表示：某人从美国到加拿大去旅游，某人从美国到加拿大去旅游，他把
24、美元换成加拿大元时币面数值增加了他把美元换成加拿大元时币面数值增加了12%，回国时又，回国时又把加拿大元换成美元，币面数值减少把加拿大元换成美元，币面数值减少12%，把两次兑换后，把两次兑换后的币面数值用函数表示出来。这样两种兑换方式产生的函的币面数值用函数表示出来。这样两种兑换方式产生的函数是否互为反函数？数是否互为反函数？第76页，讲稿共83张，创作于星期日1.函数的初等运算函数的初等运算四则运算、复合运算、反函数运算。四则运算、复合运算、反函数运算。小结小结 3.函数关系的建立函数关系的建立2.基本初等函数，初等函数基本初等函数，初等函数第77页，讲稿共83张，创作于星期日函数的分类函数的分类:函函数数初初等等函函数数非初等函数非初等函数(某些分段函数某些分段函数,有无穷多项等函数有无穷多项等函数)代代数数函函数数超越函数超越函数有有理理函函数数无理函数无理函数有理整函数有理整函数(多项式函数多项式函数)有理分函数有理分函数(分式函数分式函数)第78页，讲稿共83张，创作于星期日思考题思考题第79页，讲稿共83张，创作于星期日思考题解答思考题解答设设则则故故第80页，讲稿共83张，创作于星期日练练 习习 题题第81页，讲稿共83张，创作于星期日第82页，讲稿共83张，创作于星期日感感谢谢大大家家观观看看17.10.2022第83页，讲稿共83张，创作于星期日