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1、关于函数的最大小值与导数(2)第1页，讲稿共26张，创作于星期日aby=f(x)xoyy=f(x)xoyabf(x)0f(x)0复习复习:一、函数单调性与导数关系一、函数单调性与导数关系如果在某个区间内恒有如果在某个区间内恒有 ,则则 为常数为常数.设函数设函数y=f(x)在在 某个区间某个区间 内可导，内可导，f(x)为为增函数增函数f(x)为为减函数减函数第2页，讲稿共26张，创作于星期日二、函数的极值定义二、函数的极值定义设函数设函数f(x)在点在点x0附近有定义，附近有定义，如果对如果对X0附近的所有点，都有附近的所有点，都有f(x)f(x0),则则f(x0)是函数是函数f(x)的一个
2、极小值，记作的一个极小值，记作y极小值极小值=f(x0)；函数的函数的极大值极大值与与极小值极小值统称统称 为为极值极值.使函数取得极值的点使函数取得极值的点x0称为称为极值点极值点第3页，讲稿共26张，创作于星期日xoyax1b y=f(x)x2x3x4x5x6观察下列图形,你能找出函数的极值吗？观察图象，我们发现，是函数y=f(x)的极小值，是函数y=f(x)的 极大值。第4页，讲稿共26张，创作于星期日求解函数极值的一般步骤：求解函数极值的一般步骤：（1）确定函数的定义域）确定函数的定义域（2）求函数的导数）求函数的导数f(x)（3）求方程）求方程f(x)=0的根的根（4）用方程）用方程
3、f(x)=0的根，顺次将函数的定的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，并列成表格义域分成若干个开区间，并列成表格（5）由）由f(x)在方程在方程f(x)=0的根左右的符号，的根左右的符号，来判断来判断f(x)在这个根处取极值的情况在这个根处取极值的情况第5页，讲稿共26张，创作于星期日 在社会生活实践中，为了发挥最大的经济效益，在社会生活实践中，为了发挥最大的经济效益，常常遇到如何能使用料最省、产量最高，效益最大常常遇到如何能使用料最省、产量最高，效益最大等问题，这些问题的解决常常可转化为求一个函数等问题，这些问题的解决常常可转化为求一个函数的最大值和最小值问题的最大值和最小值问题 函数在
4、什么条件下一定有最大、最小值？他们与函函数在什么条件下一定有最大、最小值？他们与函数极值关系如何？数极值关系如何？新新 课课 引引 入入 极值是一个极值是一个局部局部概念，极值只是某个点的函数概念，极值只是某个点的函数值与它值与它附近点附近点的函数值比较是最大或最小的函数值比较是最大或最小,并并不意味不意味着着它在函数的整个的定义域内最大或最小。它在函数的整个的定义域内最大或最小。第6页，讲稿共26张，创作于星期日知识回顾知识回顾 一般地，设函数一般地，设函数y=f(x)的定义域为的定义域为I，如果存在实数，如果存在实数M满满足：足：1最大值最大值:（1）对于任意的）对于任意的xI，都有，都有
5、f(x)M;（2）存在）存在x0I，使得，使得f(x0)=M那么，称那么，称M是函数是函数y=f(x)的的最大值最大值 2最小值最小值:一般地，设函数一般地，设函数y=f(x)的定义域为的定义域为I，如果存在实数，如果存在实数M满足：满足：（1）对于任意的）对于任意的x I，都有，都有f(x)M;（2）存在）存在x0 I，使得，使得f(x0)=M那么，称那么，称M是函数是函数y=f(x)的的最小值最小值 第7页，讲稿共26张，创作于星期日观察下列图形,你能找出函数的最值吗？xoyax1b y=f(x)x2x3x4x5x6xoyax1b y=f(x)x2x3x4x5x6在开区间内在开区间内的连续
6、函数的连续函数不一定有最不一定有最大值与最小大值与最小值值.在闭区间上在闭区间上的连续函数的连续函数必有最大值必有最大值与最小值与最小值因此：该函数没有因此：该函数没有最值。最值。f(x)max=f(a),f(x)min=f(x3)第8页，讲稿共26张，创作于星期日xoyax1b y=f(x)x2x3x4x5x6如何求出函数在如何求出函数在a,b上的最值？上的最值？一般的如果在区间，一般的如果在区间，a,b上函数上函数y=f(x)的的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值。大值和最小值。第9页，讲稿共26张，创作于星期日 观察右边一个定义在区观
7、察右边一个定义在区间间a,b上的函数上的函数y=f(x)的的图象：图象：发现图中发现图中_是极小值，是极小值，_是极是极大值，在区间上的函数的最大值是大值，在区间上的函数的最大值是_，最小值，最小值是是_。f(x1)、f(x3)f(x2)f(b)f(x3)问题在于如果在没有给出函数图象的情况下，怎样才问题在于如果在没有给出函数图象的情况下，怎样才能判断出能判断出f(x3)是最小值，而是最小值，而f(b)是最大值呢？是最大值呢？x xX X2 2o oa aX X3 3b bx x1 1y yy=f(x)第10页，讲稿共26张，创作于星期日(2)将将y=f(x)的各极值与的各极值与f(a)、f(
8、b)(端点处端点处)比较比较,其中最大的一个为最大值，最小的其中最大的一个为最大值，最小的 一个最小值一个最小值.求求f(x)在在闭区间闭区间a,b上的最值的步骤：上的最值的步骤：(1)求求f(x)在区间在区间(a,b)内极值内极值(极大值或极小值极大值或极小值)；新授课新授课注意注意:1.在定义域内在定义域内,最值唯一最值唯一;极值不唯一极值不唯一2.最大值一定比最小值大最大值一定比最小值大.第11页，讲稿共26张，创作于星期日求函数的最值时求函数的最值时,应注意以下几点应注意以下几点:(1)函数的极值是在局部范围内讨论问题函数的极值是在局部范围内讨论问题,是一个局部概念是一个局部概念,而函
9、数而函数的最值是对整个定义域而言的最值是对整个定义域而言,是在整体范围内讨论问题是在整体范围内讨论问题,是一个是一个整体性的概念整体性的概念.(2)闭区间闭区间a,b上的连续函数一定有最值上的连续函数一定有最值.开区间开区间(a,b)内的可导内的可导函数不一定有最值函数不一定有最值,但若有唯一的极值但若有唯一的极值,则此极值必是函数的最值则此极值必是函数的最值.(3)函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个,而函数而函数的极值则可能不止一个的极值则可能不止一个,也可能没有极值也可能没有极值,并且极大值并且极大值(极小值极小值)不一定就是最大值不一
10、定就是最大值(最小值最小值).第12页，讲稿共26张，创作于星期日题型：求函数的最大值和最小值题型：求函数的最大值和最小值1、求出所有导数为、求出所有导数为0的点；的点；2、计算；、计算；3、比较确定最值。、比较确定最值。第13页，讲稿共26张，创作于星期日例例2:求函数求函数y=x4-2x2+5在区间在区间-2,2上的最大值与上的最大值与最小值最小值.解解:令令 ,解得解得x=-1,0,1.当当x变化时变化时,的变化情况如下表的变化情况如下表:x-2(-2,-1)-1(-1,0)0(0,1)1(1,2)2y -0 +0 -0 +y13 4 5 4 13从上表可知从上表可知,最大值是最大值是1
11、3,最小值是最小值是4.题型：求函数的最大值和最小值题型：求函数的最大值和最小值第14页，讲稿共26张，创作于星期日练习：练习：函数函数 y=x+3 x9x在在 4,4 上的最大值为上的最大值为 ,最小值为最小值为 .分析分析:(1)由由 f(x)=3x+6x9=0,(2)区间区间4,4 端点处的函数值为端点处的函数值为 f(4)=20,f(4)=76得得x1=3，x2=1 函数值为函数值为f(3)=27,f(1)=576-5当当x变化时，变化时，y、y的变化情况如下表：的变化情况如下表：x-4(-4,-3)-3(-3,1)1(1,4)4y+0-0+0y2027-576比比较较以上各函数以上各
12、函数值值，可知函数在可知函数在4,4 上的最大值上的最大值为为 f(4)=76，最小值为，最小值为 f(1)=5第15页，讲稿共26张，创作于星期日典型例题典型例题反思：本题属于逆向探究题型：反思：本题属于逆向探究题型：其基本方法最终落脚到比较极值与端点函数值大小其基本方法最终落脚到比较极值与端点函数值大小上，从而解决问题，往往伴随有分类讨论。上，从而解决问题，往往伴随有分类讨论。第17页，讲稿共26张，创作于星期日拓展提高拓展提高1、我们知道，如果在闭区间、我们知道，如果在闭区间【a，b】上函数上函数y=f（x）的图）的图像是一条连续不断的曲线，那么它必定有最大值和最小像是一条连续不断的曲线
13、，那么它必定有最大值和最小值；那么把值；那么把闭区间闭区间【a，b】换成开区间（换成开区间（a,b）是否一定有是否一定有最值呢？最值呢？如下图：如下图：不一定不一定2、函数、函数f(x)有一个极值点时，极值点必定是最值点。有一个极值点时，极值点必定是最值点。3、如果函数如果函数f(x)在开区间（在开区间（a,b）上只有一个极值点，那么这）上只有一个极值点，那么这个极值点必定是最值点。个极值点必定是最值点。第18页，讲稿共26张，创作于星期日有两个极值点时，函数有无最值情况不定。有两个极值点时，函数有无最值情况不定。第19页，讲稿共26张，创作于星期日动手试试动手试试第20页，讲稿共26张，创作
14、于星期日4、函数、函数y=x3-3x2，在，在2，4上的最大上的最大值为值为（)(A)-4 (B)0 (C)16 (D)20C C第21页，讲稿共26张，创作于星期日1.求函数求函数f(x)=x2-4x+6在区间在区间1，5内的极值与最值内的极值与最值 故故函函数数f(x)在在区区间间1，5内内的的极极小小值值为为3，最最大大值值为为11，最小值为最小值为2 解法二解法二:f(x)=2x-4令令f(x)=0，即，即2x-4=0，得得x=2x1（1，2）2（2，5）5y，0y-+3112选做题：解解法法一一:将将二二次次函函数数f(x)=x2-4x+6配配方方，利利用用二二次次函函数数单调性处理
15、单调性处理第22页，讲稿共26张，创作于星期日2 2、解令解得x0(0,)(,)+-+00(,)0第23页，讲稿共26张，创作于星期日 应用应用(2009年天津（文）21T)处的切线的斜率；设函数 其中（1）当 时，求曲线 在点（2）求函数 的单调区间与极值。答:（1）斜率为1;(2)第24页，讲稿共26张，创作于星期日（0404浙江文浙江文2121）（本题满分）（本题满分1212分）分）已知已知a a为实数，为实数，（）求导数）求导数 ；（）若若 ，求求 在在-2-2，22上上的的最大值和最小值；最大值和最小值；（）若若 在在（-，-2-2和和22，+）上上都都是递增的，求是递增的，求a a的取值范围。的取值范围。第25页，讲稿共26张，创作于星期日感感谢谢大大家家观观看看10/17/2022第26页，讲稿共26张，创作于星期日