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1、对偶性原理你现在浏览的是第一页，共10页目录目录(1/1)(1/1)目目 录录概述概述4.1 线性连续系统的能控性线性连续系统的能控性4.2 线性连续系统的能观性线性连续系统的能观性4.3 线性定常离散系统的能控性和能观性线性定常离散系统的能控性和能观性4.4 对偶性原理对偶性原理4.5 线性系统的结构性分解和零极点相消线性系统的结构性分解和零极点相消4.6 能控规范形和能观规范形能控规范形和能观规范形4.7 实现问题实现问题4.8 Matlab问题问题本章小结本章小结你现在浏览的是第二页，共10页对偶性原理对偶性原理(1/8)重点喔重点喔!要理解喔要理解喔!4.4 对偶性原理对偶性原理本节主
2、要讨论状态空间模型中存在的特殊结构性问题本节主要讨论状态空间模型中存在的特殊结构性问题-对偶对偶性问题，以及对偶性原理在系统分析中的应用。性问题，以及对偶性原理在系统分析中的应用。讨论的主要问题讨论的主要问题:1.基本概念基本概念:对偶性的定义对偶性的定义2.对偶系统的结构特征对偶系统的结构特征3.对偶性与能控性和能观性的关系对偶性与能控性和能观性的关系4.对偶性的意义对偶性的意义你现在浏览的是第三页，共10页对偶性原理对偶性原理(2/8)能控性能控性能观性能观性意义意义输入输入 状态状态控制控制状态状态 输出输出估计估计代数判据代数判据rankB AB An-1B=nrankC A C (A
3、)n-1C=n模态判据模态判据1同一特征值的约旦同一特征值的约旦块对应块对应B的分块的的分块的最后一行是否相关最后一行是否相关同一特征值的约旦同一特征值的约旦块对应块对应C的分块的的分块的第一列是否相关第一列是否相关rank I-A B=n rank I-A C=n 模态判据模态判据2从前三节的讨论中可以看出从前三节的讨论中可以看出,系统状态能控性和能观性系统状态能控性和能观性,无论是无论是从定义或判据方面来看从定义或判据方面来看,在形式和结构上都极为相似。在形式和结构上都极为相似。这种相似关系可以总结成下表这种相似关系可以总结成下表你现在浏览的是第四页，共10页对偶性原理对偶性原理(3/8)
4、对偶性定义对偶性定义满足下列关系满足下列关系:则称系统则称系统(A,B,C)和和 互为对偶。互为对偶。q显然显然,若系统若系统(A,B,C)是一个是一个r维输入维输入,m维输出的维输出的n阶系统阶系统,则其则其对偶系统对偶系统 是一个是一个m维输入维输入,r维输出的维输出的n阶系统。阶系统。这种相似关系决非偶然的巧合这种相似关系决非偶然的巧合,而是系统内在的结构上的必而是系统内在的结构上的必然联系。这种必然联系称为对偶性原理。然联系。这种必然联系称为对偶性原理。下面给出对偶系统的定义。下面给出对偶系统的定义。定义定义4-6 若给定的两个线性定常连续系统若给定的两个线性定常连续系统你现在浏览的是
5、第五页，共10页对偶性原理对偶性原理(4/8)下图是对偶系统下图是对偶系统 和和 的结构图。从图中可以看出的结构图。从图中可以看出,两系统互为对偶意味两系统互为对偶意味着输入端与输出端互着输入端与输出端互换换;信号传递方向的相反信号传递方向的相反;信号引出点和相加点的信号引出点和相加点的互换互换,对应矩阵的转置对应矩阵的转置,以及时间的倒转。以及时间的倒转。你现在浏览的是第六页，共10页对偶性原理对偶性原理(5/8)即互为对偶系统的传递函数阵是互为转置的。即互为对偶系统的传递函数阵是互为转置的。根据状态空间模型的对偶关系可以导出下述结论：根据状态空间模型的对偶关系可以导出下述结论：互为对偶系统
6、的传递函数阵是互为转置的且其特征互为对偶系统的传递函数阵是互为转置的且其特征方程相同。方程相同。现推证如下现推证如下:对于系统对于系统 ,其传递函数阵是如下其传递函数阵是如下r m矩阵矩阵:你现在浏览的是第七页，共10页对偶性原理对偶性原理(6/8)定理定理16类似地，还可以得出如下结论：类似地，还可以得出如下结论：互为对偶系统的特征方程和特征值相同。互为对偶系统的特征方程和特征值相同。对于互为对偶系统之间的状态能控性和能观性的关系对于互为对偶系统之间的状态能控性和能观性的关系,有如有如下定理下定理:定理定理4-16 设线性定常连续系统设线性定常连续系统(A,B,C)和和 是互为是互为对偶对偶
7、,则则系统系统 的状态能控的状态能控(能观能观)性等价于系统性等价于系统 的状态能观的状态能观(能控能控)性。性。你现在浏览的是第八页，共10页对偶性原理对偶性原理(7/8)定理定理16的秩为的秩为n,则则 为状态完全能观。为状态完全能观。由对偶性关系由对偶性关系,上式又可记为上式又可记为证明证明 对系统对系统 而言而言,若能观性矩阵若能观性矩阵你现在浏览的是第九页，共10页对偶性原理对偶性原理(8/8)即系统即系统 的状态能观性等价于系统的状态能观性等价于系统 的状态能控性。的状态能控性。同理可证同理可证,系统系统 的状态能控性等价于系统的状态能控性等价于系统 的状态能的状态能观性。观性。上面讨论了线性定常连续系统的对偶性关系和对偶性原理上面讨论了线性定常连续系统的对偶性关系和对偶性原理,对于线性时变连续系统和线性离散系统对于线性时变连续系统和线性离散系统,也存在类似的对偶也存在类似的对偶性关系和对偶性原理性关系和对偶性原理,有兴趣的读者可参阅其他教材和文献。有兴趣的读者可参阅其他教材和文献。对偶性概念的引入使得对线性系统的分析得以大大简对偶性概念的引入使得对线性系统的分析得以大大简化。化。你现在浏览的是第十页，共10页