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1、第 1 页第五章晶体中电子能带理论第五章晶体中电子能带理论第五章晶体中电子能带理论第五章晶体中电子能带理论 5.8 5.8 5.8 5.8 晶体中电子运动的速度和加速度晶体中电子运动的速度和加速度晶体中电子运动的速度和加速度晶体中电子运动的速度和加速度电子的准经典运动电子的准经典运动电子的准经典运动电子的准经典运动Page 1一、准一、准一、准一、准经经典近似典近似典近似典近似，电子的平均速度，电子的平均速度，电子的平均速度，电子的平均速度晶体中电子的能带理论：晶体中电子的能带理论：晶体中电子的能带理论：晶体中电子的能带理论：在在在在具有晶体的平衡对称性具有晶体的平衡对称性具有晶体的平衡对称性
2、具有晶体的平衡对称性的电势能中，电子的电势能中，电子的电势能中，电子的电势能中，电子的量子力学本征态可以由布洛赫电子的调制平面波的波函数来描述，能量的量子力学本征态可以由布洛赫电子的调制平面波的波函数来描述，能量的量子力学本征态可以由布洛赫电子的调制平面波的波函数来描述，能量的量子力学本征态可以由布洛赫电子的调制平面波的波函数来描述，能量本征值就是能带。本征值就是能带。本征值就是能带。本征值就是能带。为了计算晶体的电性质，要考虑在外加的电场中的布洛赫电子的量子为了计算晶体的电性质，要考虑在外加的电场中的布洛赫电子的量子为了计算晶体的电性质，要考虑在外加的电场中的布洛赫电子的量子为了计算晶体的电
3、性质，要考虑在外加的电场中的布洛赫电子的量子态这是非常困难的。态这是非常困难的。态这是非常困难的。态这是非常困难的。原因：原因：原因：原因：外加的电势能外加的电势能外加的电势能外加的电势能qV(r)qV(r)qV(r)qV(r)可能破坏了布洛赫电子的哈密顿量的晶格平可能破坏了布洛赫电子的哈密顿量的晶格平可能破坏了布洛赫电子的哈密顿量的晶格平可能破坏了布洛赫电子的哈密顿量的晶格平衡对称性。衡对称性。衡对称性。衡对称性。解决办法：解决办法：解决办法：解决办法：准经典近似把电子运动当作经典粒子来处理。准经典近似把电子运动当作经典粒子来处理。准经典近似把电子运动当作经典粒子来处理。准经典近似把电子运动
4、当作经典粒子来处理。固体中固体中固体中固体中的电子对外加电磁场的响应有如一质量为有效质量的经典自由电子。的电子对外加电磁场的响应有如一质量为有效质量的经典自由电子。的电子对外加电磁场的响应有如一质量为有效质量的经典自由电子。的电子对外加电磁场的响应有如一质量为有效质量的经典自由电子。第 2 页第五章晶体中电子能带理论第五章晶体中电子能带理论第五章晶体中电子能带理论第五章晶体中电子能带理论Page 21 1、电子平均速度、电子平均速度、电子平均速度、电子平均速度由量子力学，电子的速度算符为由量子力学，电子的速度算符为由量子力学，电子的速度算符为由量子力学，电子的速度算符为由于晶体哈密顿算符中的势
5、场项与动量算符由于晶体哈密顿算符中的势场项与动量算符由于晶体哈密顿算符中的势场项与动量算符由于晶体哈密顿算符中的势场项与动量算符p p不对易不对易不对易不对易 波函数并非是速度算符的本征函数波函数并非是速度算符的本征函数波函数并非是速度算符的本征函数波函数并非是速度算符的本征函数表明处于表明处于表明处于表明处于 状态的电子没有确定的速度，只能计算其平均速度状态的电子没有确定的速度，只能计算其平均速度状态的电子没有确定的速度，只能计算其平均速度状态的电子没有确定的速度，只能计算其平均速度第 3 页第五章晶体中电子能带理论第五章晶体中电子能带理论第五章晶体中电子能带理论第五章晶体中电子能带理论Pa
6、ge 3 将算符作用到薛定谔方程将算符作用到薛定谔方程的两端，分别得到：的两端，分别得到：将梯度算符将梯度算符作用到布洛赫函数：作用到布洛赫函数：第 4 页第五章晶体中电子能带理论第五章晶体中电子能带理论第五章晶体中电子能带理论第五章晶体中电子能带理论Page 4 上式两边相等，得到上式两边相等，得到 上式整理得上式整理得上式整理得上式整理得方程方程方程方程左边左边左边左边方程方程右边右边H H H H中不显含中不显含中不显含中不显含k k k k第 5 页第五章晶体中电子能带理论第五章晶体中电子能带理论第五章晶体中电子能带理论第五章晶体中电子能带理论 上式乘以并对晶体积分，上式乘以并对晶体积
7、分，上式乘以并对晶体积分，上式乘以并对晶体积分，积分结果等式右边为零：积分结果等式右边为零：积分结果等式右边为零：积分结果等式右边为零：根据算符的厄米性质根据算符的厄米性质根据算符的厄米性质根据算符的厄米性质厄米算符的定义：厄米算符的定义：厄米算符的定义：厄米算符的定义：第 6 页第五章晶体中电子能带理论第五章晶体中电子能带理论第五章晶体中电子能带理论第五章晶体中电子能带理论Page 6所以等式左边也为零：所以等式左边也为零：所以等式左边也为零：所以等式左边也为零：与（与（1 1）式比较，得到）式比较，得到电子的平均速度电子的平均速度电子的平均速度电子的平均速度：第 7 页第五章晶体中电子能带
8、理论第五章晶体中电子能带理论第五章晶体中电子能带理论第五章晶体中电子能带理论Page 72 2、能量和速度的关系、能量和速度的关系、能量和速度的关系、能量和速度的关系由（由（由（由（5 5）式，可知，电子的平均速度）式，可知，电子的平均速度）式，可知，电子的平均速度）式，可知，电子的平均速度公与能量和状态（公与能量和状态（公与能量和状态（公与能量和状态（k k）有关，由于）有关，由于）有关，由于）有关，由于速度是波矢的奇函数速度是波矢的奇函数速度是波矢的奇函数速度是波矢的奇函数：在在在在能带的底部和顶部，斜率能带的底部和顶部，斜率dE/dk=0，所以在带顶和带底电子的速度为零。，所以在带顶和带
9、底电子的速度为零。第 8 页第五章晶体中电子能带理论第五章晶体中电子能带理论第五章晶体中电子能带理论第五章晶体中电子能带理论Page 8这种情况和自由粒子速度总是随能量这种情况和自由粒子速度总是随能量这种情况和自由粒子速度总是随能量这种情况和自由粒子速度总是随能量增加而单调增加是显然不同的。增加而单调增加是显然不同的。增加而单调增加是显然不同的。增加而单调增加是显然不同的。在能带中在能带中处，速度的数处，速度的数处，速度的数处，速度的数值最大，如图拐点值最大，如图拐点值最大，如图拐点值最大，如图拐点C C。C第 9 页第五章晶体中电子能带理论第五章晶体中电子能带理论第五章晶体中电子能带理论第五
10、章晶体中电子能带理论Page 9因能量与波矢由色散关系相联系，能量因能量与波矢由色散关系相联系，能量因能量与波矢由色散关系相联系，能量因能量与波矢由色散关系相联系，能量E E变化意味着电子波矢变化意味着电子波矢变化意味着电子波矢变化意味着电子波矢k k改变，故改变，故改变，故改变，故二、电子在外场作用下的加速度，有效质量二、电子在外场作用下的加速度，有效质量二、电子在外场作用下的加速度，有效质量二、电子在外场作用下的加速度，有效质量当对一维电子施加外场时，电子受到外场力的作用。当对一维电子施加外场时，电子受到外场力的作用。当对一维电子施加外场时，电子受到外场力的作用。当对一维电子施加外场时，电
11、子受到外场力的作用。单位时间内外力所作的功等于电子能量的改变量：单位时间内外力所作的功等于电子能量的改变量：单位时间内外力所作的功等于电子能量的改变量：单位时间内外力所作的功等于电子能量的改变量：KK的变化率正比于电子所受的外力，并有相同的方向，具有牛顿第二的变化率正比于电子所受的外力，并有相同的方向，具有牛顿第二的变化率正比于电子所受的外力，并有相同的方向，具有牛顿第二的变化率正比于电子所受的外力，并有相同的方向，具有牛顿第二定律的形式。但定律的形式。但定律的形式。但定律的形式。但f f是外力。是外力。是外力。是外力。第 10 页第五章晶体中电子能带理论第五章晶体中电子能带理论第五章晶体中电
12、子能带理论第五章晶体中电子能带理论Page 10令令（8）式化为）式化为上式上式表明在外力作用下，晶体中的电子犹如一个质量为表明在外力作用下，晶体中的电子犹如一个质量为表明在外力作用下，晶体中的电子犹如一个质量为表明在外力作用下，晶体中的电子犹如一个质量为的自由粒子的自由粒子的自由粒子的自由粒子的运动的运动的运动的运动次准经典运动。次准经典运动。次准经典运动。次准经典运动。为为有效质量有效质量。因此称因此称因此称因此称第 11 页第五章晶体中电子能带理论第五章晶体中电子能带理论第五章晶体中电子能带理论第五章晶体中电子能带理论Page 11在三维情况下，晶体中电子的有效质量是二阶张量，其分量为在
13、三维情况下，晶体中电子的有效质量是二阶张量，其分量为在三维情况下，晶体中电子的有效质量是二阶张量，其分量为在三维情况下，晶体中电子的有效质量是二阶张量，其分量为由于由于由于由于有效质量是张量有效质量是张量有效质量是张量有效质量是张量，所以电子的加速度一般与外力方向不一致。，所以电子的加速度一般与外力方向不一致。，所以电子的加速度一般与外力方向不一致。，所以电子的加速度一般与外力方向不一致。这是因为除了外力作用外，电子还受到晶格周期场的作用，这个作用由这是因为除了外力作用外，电子还受到晶格周期场的作用，这个作用由这是因为除了外力作用外，电子还受到晶格周期场的作用，这个作用由这是因为除了外力作用外
14、，电子还受到晶格周期场的作用，这个作用由有效质量所概括。有效质量所概括。有效质量所概括。有效质量所概括。有效质量取决于电子的状态，因为不同的状态能带的曲率不同。有效质量取决于电子的状态，因为不同的状态能带的曲率不同。有效质量取决于电子的状态，因为不同的状态能带的曲率不同。有效质量取决于电子的状态，因为不同的状态能带的曲率不同。一般而言，对于宽能带，一般而言，对于宽能带，一般而言，对于宽能带，一般而言，对于宽能带，E E（k k）随）随）随）随k k的变化较大，有效质量小，而对的变化较大，有效质量小，而对的变化较大，有效质量小，而对的变化较大，有效质量小，而对于窄能带，有较质量较大。于窄能带，有
15、较质量较大。于窄能带，有较质量较大。于窄能带，有较质量较大。紧束缚观点：原子外层电子波函数交叠较多，能带较宽，有较质量紧束缚观点：原子外层电子波函数交叠较多，能带较宽，有较质量紧束缚观点：原子外层电子波函数交叠较多，能带较宽，有较质量紧束缚观点：原子外层电子波函数交叠较多，能带较宽，有较质量较小，而内层电子波函数交叠甚少，能带较窄，有较质量较大，定域性较小，而内层电子波函数交叠甚少，能带较窄，有较质量较大，定域性较小，而内层电子波函数交叠甚少，能带较窄，有较质量较大，定域性较小，而内层电子波函数交叠甚少，能带较窄，有较质量较大，定域性更强一些。更强一些。更强一些。更强一些。第 12 页第五章晶
16、体中电子能带理论第五章晶体中电子能带理论第五章晶体中电子能带理论第五章晶体中电子能带理论Page 12以简立方为例，计算紧束缚近似下电子的有效质量：以简立方为例，计算紧束缚近似下电子的有效质量：以简立方为例，计算紧束缚近似下电子的有效质量：以简立方为例，计算紧束缚近似下电子的有效质量：紧束缚近似下，简立方的紧束缚近似下，简立方的紧束缚近似下，简立方的紧束缚近似下，简立方的s s态电子的能量为：态电子的能量为：态电子的能量为：态电子的能量为：其它交叉项的倒数全为零。其它交叉项的倒数全为零。其它交叉项的倒数全为零。其它交叉项的倒数全为零。在能带底处在能带底处在能带底处在能带底处：第 13 页第五章
17、晶体中电子能带理论第五章晶体中电子能带理论第五章晶体中电子能带理论第五章晶体中电子能带理论Page 13在能带顶处在能带顶处在能带顶处在能带顶处：在能带在能带在能带在能带：上面讨论表明：上面讨论表明：上面讨论表明：上面讨论表明：在带底及带顶在带底及带顶在带底及带顶在带底及带顶,mm*=常数常数常数常数,与自由粒子在实空间中的运与自由粒子在实空间中的运与自由粒子在实空间中的运与自由粒子在实空间中的运动相似动相似动相似动相似.随着随着随着随着E E的增大（见第一布里渊区的约化能带图）的增大（见第一布里渊区的约化能带图）的增大（见第一布里渊区的约化能带图）的增大（见第一布里渊区的约化能带图）,能能能
18、能带展宽越大带展宽越大带展宽越大带展宽越大,也越大也越大也越大也越大,mm*就越小就越小就越小就越小.此时电子越容易加速此时电子越容易加速此时电子越容易加速此时电子越容易加速,共有化运动的特征越明显。共有化运动的特征越明显。共有化运动的特征越明显。共有化运动的特征越明显。第 14 页第五章晶体中电子能带理论第五章晶体中电子能带理论第五章晶体中电子能带理论第五章晶体中电子能带理论晶体中电子的有效质量不同于自由电子的质量，是因为计入了周晶体中电子的有效质量不同于自由电子的质量，是因为计入了周晶体中电子的有效质量不同于自由电子的质量，是因为计入了周晶体中电子的有效质量不同于自由电子的质量，是因为计入
19、了周期场的影响，而这种影响主要通过布拉格反射的形式在电子和晶格之期场的影响，而这种影响主要通过布拉格反射的形式在电子和晶格之期场的影响，而这种影响主要通过布拉格反射的形式在电子和晶格之期场的影响，而这种影响主要通过布拉格反射的形式在电子和晶格之间交换动量：间交换动量：间交换动量：间交换动量：有效质量大于零的情况，电子从外力场获得的动量多于电子交给晶有效质量大于零的情况，电子从外力场获得的动量多于电子交给晶有效质量大于零的情况，电子从外力场获得的动量多于电子交给晶有效质量大于零的情况，电子从外力场获得的动量多于电子交给晶格的动量格的动量格的动量格的动量 有效质量小于零的情况，电子从外场中得到的动
20、量比它交给晶格的动有效质量小于零的情况，电子从外场中得到的动量比它交给晶格的动有效质量小于零的情况，电子从外场中得到的动量比它交给晶格的动有效质量小于零的情况，电子从外场中得到的动量比它交给晶格的动量少。量少。量少。量少。有效质量趋于无穷时，电子从外场中获得的能量全部交给晶格，这时，有效质量趋于无穷时，电子从外场中获得的能量全部交给晶格，这时，有效质量趋于无穷时，电子从外场中获得的能量全部交给晶格，这时，有效质量趋于无穷时，电子从外场中获得的能量全部交给晶格，这时，电子的平均加速度这零。电子的平均加速度这零。电子的平均加速度这零。电子的平均加速度这零。第 15 页第五章晶体中电子能带理论第五章
21、晶体中电子能带理论第五章晶体中电子能带理论第五章晶体中电子能带理论 5.11 5.11 5.11 5.11 金属、半导体和绝缘体金属、半导体和绝缘体金属、半导体和绝缘体金属、半导体和绝缘体Page 15 一、满带不导电一、满带不导电一、满带不导电一、满带不导电首先讨论没有外加电场的情形。首先讨论没有外加电场的情形。首先讨论没有外加电场的情形。首先讨论没有外加电场的情形。考虑考虑考虑考虑一维布拉菲格子中与原子一维布拉菲格子中与原子一维布拉菲格子中与原子一维布拉菲格子中与原子1s1s1s1s能级相对应的能级相对应的能级相对应的能级相对应的能带。能带。能带。能带。能带理论的一大贡献即成功地解释了固体
22、为何会具有极不相同的导能带理论的一大贡献即成功地解释了固体为何会具有极不相同的导能带理论的一大贡献即成功地解释了固体为何会具有极不相同的导能带理论的一大贡献即成功地解释了固体为何会具有极不相同的导电本领，有的表现为导体，有的表现为绝缘体和半导体。电本领，有的表现为导体，有的表现为绝缘体和半导体。电本领，有的表现为导体，有的表现为绝缘体和半导体。电本领，有的表现为导体，有的表现为绝缘体和半导体。单位体积晶体中，其中一个波矢为单位体积晶体中，其中一个波矢为单位体积晶体中，其中一个波矢为单位体积晶体中，其中一个波矢为的电子对电流密度的贡献为的电子对电流密度的贡献为的电子对电流密度的贡献为的电子对电流
23、密度的贡献为能带中所有电子对电流的贡献为零。能带中所有电子对电流的贡献为零。能带中所有电子对电流的贡献为零。能带中所有电子对电流的贡献为零。第 16 页第五章晶体中电子能带理论第五章晶体中电子能带理论第五章晶体中电子能带理论第五章晶体中电子能带理论Page 16波矢为波矢为波矢为波矢为k kx x和和和和-k-kx x的电子对电流的贡献成对抵消的电子对电流的贡献成对抵消的电子对电流的贡献成对抵消的电子对电流的贡献成对抵消这是因为这是因为这是因为这是因为因而总电流为零。因而总电流为零。因而总电流为零。因而总电流为零。第 17 页第五章晶体中电子能带理论第五章晶体中电子能带理论第五章晶体中电子能带
24、理论第五章晶体中电子能带理论Page 17现在设加上指向左方的外电场现在设加上指向左方的外电场现在设加上指向左方的外电场现在设加上指向左方的外电场则则则则每个电子均受到一电场力，使其波矢在经历每个电子均受到一电场力，使其波矢在经历每个电子均受到一电场力，使其波矢在经历每个电子均受到一电场力，使其波矢在经历tttt时间后的增加量可计算如下：时间后的增加量可计算如下：时间后的增加量可计算如下：时间后的增加量可计算如下：有外加电场的情形有外加电场的情形有外加电场的情形有外加电场的情形第 18 页第五章晶体中电子能带理论第五章晶体中电子能带理论第五章晶体中电子能带理论第五章晶体中电子能带理论Page
25、18于是所有电子均于是所有电子均右移右移使电子在使电子在k空间的分布如右图。空间的分布如右图。満带不导电的解释：満带不导电的解释：満带不导电的解释：満带不导电的解释：能量具有倒格子的周期性，能量具有倒格子的周期性，图中位于图中位于/a/a右方右方 k范围内的状态（现在范围内的状态（现在是被电子占有的状态），完全等价于是被电子占有的状态），完全等价于/a/a左方左方k范围内的状态（现在是空态），范围内的状态（现在是空态），因此两图的电子分布是完全等价的。因此两图的电子分布是完全等价的。第 19 页第五章晶体中电子能带理论第五章晶体中电子能带理论第五章晶体中电子能带理论第五章晶体中电子能带理论Pa
26、ge 19一个电子的代表点越过位于一个电子的代表点越过位于一个电子的代表点越过位于一个电子的代表点越过位于/a/a/a/a 的布里渊区的边界相当于又从的布里渊区的边界相当于又从的布里渊区的边界相当于又从的布里渊区的边界相当于又从位于位于位于位于 /a/a/a/a 的边界进入同一布里渊区。的边界进入同一布里渊区。的边界进入同一布里渊区。的边界进入同一布里渊区。有电场后，満带中电子的状态随时发有电场后，満带中电子的状态随时发有电场后，満带中电子的状态随时发有电场后，満带中电子的状态随时发生变化，但整体上的分布始终没有变化，生变化，但整体上的分布始终没有变化，生变化，但整体上的分布始终没有变化，生变
27、化，但整体上的分布始终没有变化，仍保持对称分布。仍保持对称分布。仍保持对称分布。仍保持对称分布。所有电子对电流的贡献依然与无外电所有电子对电流的贡献依然与无外电所有电子对电流的贡献依然与无外电所有电子对电流的贡献依然与无外电场时一样地成对相消，即当有外电场时，场时一样地成对相消，即当有外电场时，场时一样地成对相消，即当有外电场时，场时一样地成对相消，即当有外电场时，満带也不导电。満带也不导电。満带也不导电。満带也不导电。第 20 页第五章晶体中电子能带理论第五章晶体中电子能带理论第五章晶体中电子能带理论第五章晶体中电子能带理论Page 20二、不满能带二、不满能带二、不满能带二、不满能带无外场
28、时，不满能带电子的分布是对称的，总电流为零，当施加外电无外场时，不满能带电子的分布是对称的，总电流为零，当施加外电场经时间场经时间tt后波矢变化后波矢变化k ，破坏了电子在倒空间的对称分布，电子速度，破坏了电子在倒空间的对称分布，电子速度不再能全部成对抵消，如图。因而能产生电流。即不再能全部成对抵消，如图。因而能产生电流。即不满的带能导电不满的带能导电。第 21 页第五章晶体中电子能带理论第五章晶体中电子能带理论第五章晶体中电子能带理论第五章晶体中电子能带理论Page 21（a a a a）无外电场）无外电场）无外电场）无外电场（b b b b）有外电场）有外电场）有外电场）有外电场 不满带电
29、子在不满带电子在不满带电子在不满带电子在k k k k空间的分布空间的分布空间的分布空间的分布第 22 页第五章晶体中电子能带理论第五章晶体中电子能带理论第五章晶体中电子能带理论第五章晶体中电子能带理论Page 22三、价带填充程度决定导电性导体、绝缘体与半导体三、价带填充程度决定导电性导体、绝缘体与半导体三、价带填充程度决定导电性导体、绝缘体与半导体三、价带填充程度决定导电性导体、绝缘体与半导体vv原子结合成晶体后，原子的能级转化为相应的能带。由于原子内层电原子结合成晶体后，原子的能级转化为相应的能带。由于原子内层电原子结合成晶体后，原子的能级转化为相应的能带。由于原子内层电原子结合成晶体后
30、，原子的能级转化为相应的能带。由于原子内层电子能级是充满的，所以相应内层能带也是满带，是不导电的。子能级是充满的，所以相应内层能带也是满带，是不导电的。子能级是充满的，所以相应内层能带也是满带，是不导电的。子能级是充满的，所以相应内层能带也是满带，是不导电的。晶体是否导电取决于与价电子能级对应的价带是否被电子充满晶体是否导电取决于与价电子能级对应的价带是否被电子充满晶体是否导电取决于与价电子能级对应的价带是否被电子充满晶体是否导电取决于与价电子能级对应的价带是否被电子充满。v如果价带是满带，这种晶体就是绝缘体或半导体，否则就是导体。如果价带是满带，这种晶体就是绝缘体或半导体，否则就是导体。v由
31、于每个能带可容纳由于每个能带可容纳2N2N个电子，个电子，N N是晶体原胞数目，因此：是晶体原胞数目，因此：价带是否被电子填満取决于每个原胞所含的价电子数目，以及能带价带是否被电子填満取决于每个原胞所含的价电子数目，以及能带是否交叠是否交叠。第 23 页第五章晶体中电子能带理论第五章晶体中电子能带理论第五章晶体中电子能带理论第五章晶体中电子能带理论Page 23n n对对对对Li,Na,KLi,Na,KLi,Na,KLi,Na,K等等等等碱金属碱金属碱金属碱金属,每原子含一个价电子每原子含一个价电子每原子含一个价电子每原子含一个价电子、体心立方布拉菲晶格、每、体心立方布拉菲晶格、每、体心立方布
32、拉菲晶格、每、体心立方布拉菲晶格、每个原胞只有一个价电子，整个晶体中的价电子只能填満半个价带，它们是个原胞只有一个价电子，整个晶体中的价电子只能填満半个价带，它们是个原胞只有一个价电子，整个晶体中的价电子只能填満半个价带，它们是个原胞只有一个价电子，整个晶体中的价电子只能填満半个价带，它们是导体；导体；导体；导体；例如：对于例如：对于例如：对于例如：对于NaNaNaNa金属：每个原子金属：每个原子金属：每个原子金属：每个原子11111111个电子，电子组态为：个电子，电子组态为：个电子，电子组态为：个电子，电子组态为：N N个原子组成晶体时，个原子组成晶体时，个原子组成晶体时，个原子组成晶体时
33、，3s3s能级过渡成能带，能带中有能级过渡成能带，能带中有能级过渡成能带，能带中有能级过渡成能带，能带中有N N个状态，可以容纳个状态，可以容纳个状态，可以容纳个状态，可以容纳2N2N个电子。但钠只有个电子。但钠只有个电子。但钠只有个电子。但钠只有N N个个个个3s3s电子，因此能带是半満的，在电场作用下，可电子，因此能带是半満的，在电场作用下，可电子，因此能带是半満的，在电场作用下，可电子，因此能带是半満的，在电场作用下，可以产生电流。以产生电流。以产生电流。以产生电流。第 24 页第五章晶体中电子能带理论第五章晶体中电子能带理论第五章晶体中电子能带理论第五章晶体中电子能带理论Page 24
34、n n BaBa、MgMg、ZnZn等二价元素，等二价元素，等二价元素，等二价元素，虽然每个原胞有偶数个电子虽然每个原胞有偶数个电子虽然每个原胞有偶数个电子虽然每个原胞有偶数个电子,由于晶体结由于晶体结由于晶体结由于晶体结构的特点，各方向上带宽不等的能带产生重迭构的特点，各方向上带宽不等的能带产生重迭构的特点，各方向上带宽不等的能带产生重迭构的特点，各方向上带宽不等的能带产生重迭,形成一个更宽的能带，它形成一个更宽的能带，它形成一个更宽的能带，它形成一个更宽的能带，它可包含几个布里渊区，因而可填充比可包含几个布里渊区，因而可填充比可包含几个布里渊区，因而可填充比可包含几个布里渊区，因而可填充比
35、2N2N2N2N更多的电子，结果使能带不完全充更多的电子，结果使能带不完全充更多的电子，结果使能带不完全充更多的电子，结果使能带不完全充满，因而也满，因而也满，因而也满，因而也是导体。是导体。是导体。是导体。例如，金属例如，金属例如，金属例如，金属MgMgMgMg：孤立原子有孤立原子有孤立原子有孤立原子有2 2 2 2个个个个3s3s3s3s电子，晶体中的电子，晶体中的电子，晶体中的电子，晶体中的3s3s3s3s能带可容纳能带可容纳能带可容纳能带可容纳2N2N2N2N个电子，个电子，个电子，个电子，能带应该是満的，按照上述原则，镁应该是绝缘体。能带应该是満的，按照上述原则，镁应该是绝缘体。能带
36、应该是満的，按照上述原则，镁应该是绝缘体。能带应该是満的，按照上述原则，镁应该是绝缘体。但实验指出，镁及其它碱土族晶体都是金属，为什么？但实验指出，镁及其它碱土族晶体都是金属，为什么？但实验指出，镁及其它碱土族晶体都是金属，为什么？但实验指出，镁及其它碱土族晶体都是金属，为什么？这是由于它的这是由于它的这是由于它的这是由于它的3s3s3s3s能带和较高的能带有交迭的现象。实际上，价电子并能带和较高的能带有交迭的现象。实际上，价电子并能带和较高的能带有交迭的现象。实际上，价电子并能带和较高的能带有交迭的现象。实际上，价电子并未填满未填满未填满未填满3s3s3s3s能带，有一部分电子占有了能量较高
37、的带，因此，仍有电子在不能带，有一部分电子占有了能量较高的带，因此，仍有电子在不能带，有一部分电子占有了能量较高的带，因此，仍有电子在不能带，有一部分电子占有了能量较高的带，因此，仍有电子在不满的带，使晶体具有金属的性质。满的带，使晶体具有金属的性质。满的带，使晶体具有金属的性质。满的带，使晶体具有金属的性质。第 25 页第五章晶体中电子能带理论第五章晶体中电子能带理论第五章晶体中电子能带理论第五章晶体中电子能带理论Page 25n n对对对对C,Si,GeC,Si,GeC,Si,GeC,Si,Ge等等等等,半导体。半导体。半导体。半导体。具有具有具有具有FCCFCC点阵的复式晶格，价电子的组
38、态是点阵的复式晶格，价电子的组态是点阵的复式晶格，价电子的组态是点阵的复式晶格，价电子的组态是一个一个一个一个nsns和三个和三个和三个和三个npnp态，每个初基元胞中有两个原子，八个价电子。态，每个初基元胞中有两个原子，八个价电子。态，每个初基元胞中有两个原子，八个价电子。态，每个初基元胞中有两个原子，八个价电子。电子态之间有强烈的交迭，产生为禁带隔开的二个能带每个带有电子态之间有强烈的交迭，产生为禁带隔开的二个能带每个带有电子态之间有强烈的交迭，产生为禁带隔开的二个能带每个带有电子态之间有强烈的交迭，产生为禁带隔开的二个能带每个带有4N4N个能个能个能个能级。级。级。级。从能带结构和电子填
39、充情况看，半导体和绝缘体相似。从能带结构和电子填充情况看，半导体和绝缘体相似。从能带结构和电子填充情况看，半导体和绝缘体相似。从能带结构和电子填充情况看，半导体和绝缘体相似。半导体半导体半导体半导体禁带较禁带较禁带较禁带较窄，热激发使満带和空带都成为导带。热激发的电子数目随温度按指数规窄，热激发使満带和空带都成为导带。热激发的电子数目随温度按指数规窄，热激发使満带和空带都成为导带。热激发的电子数目随温度按指数规窄，热激发使満带和空带都成为导带。热激发的电子数目随温度按指数规律变化。律变化。律变化。律变化。第 26 页第五章晶体中电子能带理论第五章晶体中电子能带理论第五章晶体中电子能带理论第五章
40、晶体中电子能带理论Page 26第 27 页第五章晶体中电子能带理论第五章晶体中电子能带理论第五章晶体中电子能带理论第五章晶体中电子能带理论Page 27四、空穴四、空穴四、空穴四、空穴对于半导体，由于热激发，使得満带顶部的电子跃迁到空带，使原对于半导体，由于热激发，使得満带顶部的电子跃迁到空带，使原对于半导体，由于热激发，使得満带顶部的电子跃迁到空带，使原对于半导体，由于热激发，使得満带顶部的电子跃迁到空带，使原来的満带和空带都成为导带。为了描述这种近満带的导电功能，人们引来的満带和空带都成为导带。为了描述这种近満带的导电功能，人们引来的満带和空带都成为导带。为了描述这种近満带的导电功能，人
41、们引来的満带和空带都成为导带。为了描述这种近満带的导电功能，人们引入入入入“空空空空穴穴穴穴”的概念。的概念。的概念。的概念。半导体的近満带中未被电子占据的量子态称为空半导体的近満带中未被电子占据的量子态称为空半导体的近満带中未被电子占据的量子态称为空半导体的近満带中未被电子占据的量子态称为空穴。穴。穴。穴。若近満带中某若近満带中某若近満带中某若近満带中某k k k k态态态态未被电子占据，在有电场时会有电流产生未被电子占据，在有电场时会有电流产生未被电子占据，在有电场时会有电流产生未被电子占据，在有电场时会有电流产生空穴导电空穴导电空穴导电空穴导电设此电流为设此电流为设此电流为设此电流为当有
42、电子再填満这个当有电子再填満这个当有电子再填満这个当有电子再填満这个k k态时，此带恢复成満带，总电态时，此带恢复成満带，总电态时，此带恢复成満带，总电态时，此带恢复成満带，总电流变为零流变为零流变为零流变为零第 28 页第五章晶体中电子能带理论第五章晶体中电子能带理论第五章晶体中电子能带理论第五章晶体中电子能带理论Page 28即即上式说明，上式说明，空穴对电流的贡献如同速度为空穴对电流的贡献如同速度为而带而带正电正电的电荷对导电的电荷对导电的贡献。的贡献。満带顶电子満带顶电子的平均加速度的平均加速度因为因为令令则则平均速度平均速度平均速度平均速度外电场外电场外电场外电场第 29 页第五章晶
43、体中电子能带理论第五章晶体中电子能带理论第五章晶体中电子能带理论第五章晶体中电子能带理论Page 29也是空穴的加速度，所以说明：也是空穴的加速度，所以说明：由于由于正电荷正电荷e的粒子的粒子。空穴等价于一个具有正质量空穴等价于一个具有正质量第 30 页第五章晶体中电子能带理论第五章晶体中电子能带理论第五章晶体中电子能带理论第五章晶体中电子能带理论Page 30能带理论的主要结论：能带理论的主要结论：能带理论的主要结论：能带理论的主要结论：第 31 页第五章晶体中电子能带理论第五章晶体中电子能带理论第五章晶体中电子能带理论第五章晶体中电子能带理论Page 31第 32 页第五章晶体中电子能带理
44、论第五章晶体中电子能带理论第五章晶体中电子能带理论第五章晶体中电子能带理论Page 32能带理论的主要成就：能带理论的主要成就：能带理论的主要成就：能带理论的主要成就：第 33 页第五章晶体中电子能带理论第五章晶体中电子能带理论第五章晶体中电子能带理论第五章晶体中电子能带理论Page 33能带理论的局限性：能带理论的局限性：能带理论的局限性：能带理论的局限性：第 34 页第五章晶体中电子能带理论第五章晶体中电子能带理论第五章晶体中电子能带理论第五章晶体中电子能带理论Page 34能带理论的局限性：能带理论的局限性：能带理论的局限性：能带理论的局限性：第 35 页第五章晶体中电子能带理论第五章晶
45、体中电子能带理论第五章晶体中电子能带理论第五章晶体中电子能带理论Page 35能带理论的局限性：能带理论的局限性：能带理论的局限性：能带理论的局限性：第 36 页第五章晶体中电子能带理论第五章晶体中电子能带理论第五章晶体中电子能带理论第五章晶体中电子能带理论Page 36能带理论的局限性：能带理论的局限性：能带理论的局限性：能带理论的局限性：第 37 页第五章晶体中电子能带理论第五章晶体中电子能带理论第五章晶体中电子能带理论第五章晶体中电子能带理论Page 37空穴（空穴（空穴（空穴（holehole）与空位（）与空位（）与空位（）与空位（vacancyvacancy）的区别）的区别）的区别）
46、的区别空穴空穴空穴空穴空位空位空位空位k k k k(状状状状态态态态)空空空空间间间间的的的的一一一一种种种种状状状状态态态态空空空空缺缺缺缺,是是是是存存存存在在在在这这这这一一一一空空空空缺缺缺缺的的的的整整整整个个个个能能能能带带带带的的的的描描描描述述述述,同同同同其其其其它它它它电电电电子子子子一一一一样样样样,在在在在真真真真实空间的位置不确定实空间的位置不确定实空间的位置不确定实空间的位置不确定真实空间中真实空间中真实空间中真实空间中格点格点格点格点(原子实原子实原子实原子实)的空的空的空的空缺缺缺缺在在在在k k k k空空空空间间间间的的的的运运运运动动动动方方方方向向向向
47、与与与与其其其其它它它它电电电电子子子子相同（相同（相同（相同（K K K K空间的状态变化）空间的状态变化）空间的状态变化）空间的状态变化）在真实空间以跳跃的方式运动在真实空间以跳跃的方式运动在真实空间以跳跃的方式运动在真实空间以跳跃的方式运动,(实际上是其它原子实的跳跃运实际上是其它原子实的跳跃运实际上是其它原子实的跳跃运实际上是其它原子实的跳跃运动动动动,而非其它原子实或晶格的而非其它原子实或晶格的而非其它原子实或晶格的而非其它原子实或晶格的总体运动总体运动总体运动总体运动)总带正电荷总带正电荷总带正电荷总带正电荷不总带正电荷不总带正电荷不总带正电荷不总带正电荷(可正可负可正可负可正可负
48、可正可负)第 38 页第五章晶体中电子能带理论第五章晶体中电子能带理论第五章晶体中电子能带理论第五章晶体中电子能带理论Page 38例例1：晶格常数为晶格常数为a的一维晶体中，电子的波函数为的一维晶体中，电子的波函数为f是某一函数，求电子在以上状态中的波矢。是某一函数，求电子在以上状态中的波矢。解：解：由此得由此得（1）根据布洛赫定理，在一维周期势场中运动的电子的波函数满足）根据布洛赫定理，在一维周期势场中运动的电子的波函数满足于是于是第 39 页第五章晶体中电子能带理论第五章晶体中电子能带理论第五章晶体中电子能带理论第五章晶体中电子能带理论Page 39因此得因此得若只取布里渊区内的值，即若
49、只取布里渊区内的值，即则有则有令令得得因此因此所以有所以有在布里渊区内的值为在布里渊区内的值为第 40 页第五章晶体中电子能带理论第五章晶体中电子能带理论第五章晶体中电子能带理论第五章晶体中电子能带理论Page 40第 41 页第五章晶体中电子能带理论第五章晶体中电子能带理论第五章晶体中电子能带理论第五章晶体中电子能带理论Page 41第 42 页第五章晶体中电子能带理论第五章晶体中电子能带理论第五章晶体中电子能带理论第五章晶体中电子能带理论Page 42第 43 页第五章晶体中电子能带理论第五章晶体中电子能带理论第五章晶体中电子能带理论第五章晶体中电子能带理论Page 43第 44 页第五章
50、晶体中电子能带理论第五章晶体中电子能带理论第五章晶体中电子能带理论第五章晶体中电子能带理论Page 44第 45 页第五章晶体中电子能带理论第五章晶体中电子能带理论第五章晶体中电子能带理论第五章晶体中电子能带理论Page 45第 46 页第五章晶体中电子能带理论第五章晶体中电子能带理论第五章晶体中电子能带理论第五章晶体中电子能带理论Page 46第 47 页第五章晶体中电子能带理论第五章晶体中电子能带理论第五章晶体中电子能带理论第五章晶体中电子能带理论Page 47第 48 页第五章晶体中电子能带理论第五章晶体中电子能带理论第五章晶体中电子能带理论第五章晶体中电子能带理论Page 48第 49