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1、关于多目标优化方法及实例解析第一张，PPT共七十六页，创作于2022年6月1多目标规划是数学规划的一个分支。多目标规划是数学规划的一个分支。研研究究多多于于一一个个的的目目标标函函数数在在给给定定区区域域上上的的最最优优化化。又又称称多多目目标标最最优化。通常记为优化。通常记为MOP(multi-objectiveprogramming)。在在很很多多实实际际问问题题中中，例例如如经经济济、管管理理、军军事事、科科学学和和工工程程设设计计等等领领域域，衡衡量量一一个个方方案案的的好好坏坏往往往往难难以以用用一一个个指指标标来来判判断断，而而需需要要用用多多个个目目标标来来比比较较，而而这这些些
2、目目标标有有时时不不甚甚协协调调，甚甚至至是是矛矛盾盾的的。因此有许多学者致力于这方面的研究。因此有许多学者致力于这方面的研究。1896年年法法国国经经济济学学家家V.帕帕雷雷托托最最早早研研究究不不可可比比较较目目标标的的优优化化问问题题，之之后后，J.冯冯诺诺伊伊曼曼、H.W.库库恩恩、A.W.塔塔克克、A.M.日日夫夫里里翁翁等等数数学学家做了深入的探讨家做了深入的探讨，但是，但是尚未有一个完全令人满意的定义尚未有一个完全令人满意的定义。第二张，PPT共七十六页，创作于2022年6月求解多目标规划的方法大体上有以下几种：求解多目标规划的方法大体上有以下几种：一一种种是是化化多多为为少少的
3、的方方法法，即即把把多多目目标标化化为为比比较较容容易易求求解解的的单单目目标或双目标，如主要目标法、线性加权法、理想点法等；标或双目标，如主要目标法、线性加权法、理想点法等；另另一一种种叫叫分分层层序序列列法法，即即把把目目标标按按其其重重要要性性给给出出一一个个序序列列，每每次次都都在在前前一一目目标标最最优优解解集集内内求求下下一一个个目目标标最最优优解解，直直到到求求出出共共同同的的最最优优解。解。对对多多目目标标的的线线性性规规划划除除以以上上方方法法外外还还可可以以适适当当修修正正单单纯纯形形法法来来求求解解；还还有有一一种种称称为为层层次次分分析析法法，是是由由美美国国运运筹筹学
4、学家家沙沙旦旦于于70年年代代提提出出的的，这这是是一一种种定定性性与与定定量量相相结结合合的的多多目目标标决决策策与与分分析析方方法法，对对于于目目标结构复杂且缺乏必要的数据的情况更为实用。标结构复杂且缺乏必要的数据的情况更为实用。第三张，PPT共七十六页，创作于2022年6月3 多目标规划模型多目标规划模型（一）任何多目标规划问题，都由两个基本部分组成：（一）任何多目标规划问题，都由两个基本部分组成：（1 1）两个以上的目标函数；）两个以上的目标函数；（2 2）若干个约束条件。）若干个约束条件。（二）对于多目标规划问题，可以将其数学模型一般地描写为如下形（二）对于多目标规划问题，可以将其数
5、学模型一般地描写为如下形式：式：一一 多目标规划及其非劣解多目标规划及其非劣解 式中：为决策变量向量。第四张，PPT共七十六页，创作于2022年6月缩写形式：缩写形式：有有n个决策变量，个决策变量，k个目标函数，个目标函数，m个约束方程，个约束方程，则：则：Z=F(X)是是k维函数向量，维函数向量，(X)是是m维函数向量；维函数向量；G是是m维常数向量；维常数向量；（1）（2）第五张，PPT共七十六页，创作于2022年6月对于线性多目标规划线性多目标规划问题，可以进一步用矩阵表示：式中：式中：X X 为为n n 维决策变量向量；维决策变量向量；C C 为为k kn n 矩阵，即目标函数系数矩阵
6、；矩阵，即目标函数系数矩阵；B B 为为m mn n 矩阵，即约束方程系数矩阵；矩阵，即约束方程系数矩阵；b b 为为m m 维的向量，即约束向量。维的向量，即约束向量。第六张，PPT共七十六页，创作于2022年6月多目标规划的非劣解多目标规划的非劣解多目标规划问题的求解不能只追求一个目标的最优化（最大或最小），而不顾其它目标。对于上述多目标规划问题，求解就意味着需要做出如下的复合选择：每一个目标函数取什么值，原问题可以得到最满意的解决？每一个决策变量取什么值，原问题可以得到最满意的解决？第七张，PPT共七十六页，创作于2022年6月在在图图1中中，max(f1,f2).就就方方案案和和来来说
7、说，的的f2目目标标值值比比大大，但但其其目目标标值值f1比比小小，因因此此无无法法确确定定这两个方案的优与劣。这两个方案的优与劣。在在各各个个方方案案之之间间，显显然然：比比好好，比比好好,比比好好,比比好好。非劣解非劣解可以用图1说明。图图1多目标规划的劣解与非劣解多目标规划的劣解与非劣解第八张，PPT共七十六页，创作于2022年6月而而对对于于方方案案、之之间间则则无无法法确确定定优优劣劣，而而且且又又没没有有比比它它们们更更好好的的其其他他方方案案，所所以以它它们们就就被被称称为为多多目目标标规规划问题的划问题的非劣解非劣解或或有效解有效解，其余方案都称为其余方案都称为劣解劣解。所所有
8、有非非劣劣解解构构成成的的集集合合称称为为非劣解集非劣解集。当目标函数处于冲突状态时，就不会存在使所有目标函数同当目标函数处于冲突状态时，就不会存在使所有目标函数同时达到最大或最小值的最优解，于是我们只能寻求非劣解（又称时达到最大或最小值的最优解，于是我们只能寻求非劣解（又称非支配解或帕累托解非支配解或帕累托解）。）。第九张，PPT共七十六页，创作于2022年6月9 效用最优化模型效用最优化模型 罚款模型罚款模型 约束模型约束模型 目标达到法目标达到法 目标规划模型目标规划模型二二 多目标规划求解技术简介多目标规划求解技术简介 为为了了求求得得多多目目标标规规划划问问题题的的非非劣劣解解，常常
9、常常需需要要将将多多目目标标规规划划问问题题转转化化为为单单目目标标规规划划问问题题去去处处理理。实实现现这这种种转转化化，有有如下几种建模方法。如下几种建模方法。第十张，PPT共七十六页，创作于2022年6月 是与各目标函数相关的是与各目标函数相关的效用函数的效用函数的和函数和函数。方法一方法一效效用最优化模型用最优化模型（线性加权法线性加权法）（1 1）（2 2）思想思想：规划问题的各个目标函数可以通过：规划问题的各个目标函数可以通过一定一定的的方式方式进行进行求求和和运算。这种方法将一系列的运算。这种方法将一系列的目标函数目标函数与与效用函数效用函数建立相关建立相关关系，各目标之间通过效
10、用函数协调，使多目标规划问题转化为关系，各目标之间通过效用函数协调，使多目标规划问题转化为传统的单目标规划问题：传统的单目标规划问题：第十一张，PPT共七十六页，创作于2022年6月在在用用效效用用函函数数作作为为规规划划目目标标时时，需需要要确确定定一一组组权权值值 i 来来反反映原问题中各目标函数在总体目标中的权重，即映原问题中各目标函数在总体目标中的权重，即：式中，i 应满足：向量形式：第十二张，PPT共七十六页，创作于2022年6月方法二方法二罚款模型罚款模型（理想点法）（理想点法）思想思想:规划决策者对每一个目标函数都能提出所规划决策者对每一个目标函数都能提出所期望的值期望的值（或称
11、（或称满满意值意值）；）；通过比较实际值通过比较实际值fi与期望值与期望值fi*之间的偏差来选择问题的解，其数学之间的偏差来选择问题的解，其数学表达式如下：表达式如下：或写成矩阵形式：式中，式中，是与第是与第i个目标函数相关的个目标函数相关的权重权重；A是由是由(i=1,2,k)组成的组成的mm对角矩阵。对角矩阵。第十三张，PPT共七十六页，创作于2022年6月理论依据理论依据 ：若规划问题的：若规划问题的某一目标某一目标可以给出一个可供选择的范可以给出一个可供选择的范围，则该目标就可以围，则该目标就可以作为约束条件作为约束条件而被排除出目标组，进入约而被排除出目标组，进入约束条件组中。束条件
12、组中。假如，除第一个目标外，其余目标都可以提出一个可供选择的范假如，除第一个目标外，其余目标都可以提出一个可供选择的范围，则该多目标规划问题就可以转化为单目标规划问题：围，则该多目标规划问题就可以转化为单目标规划问题：方法三方法三 约束模型约束模型（极大极小法极大极小法）第十四张，PPT共七十六页，创作于2022年6月方法四方法四 目标达到法目标达到法 首先将多目标规划模型化为如下标准形式：首先将多目标规划模型化为如下标准形式：第十五张，PPT共七十六页，创作于2022年6月在求解之前，先设计与目标函数相应的一组目标值理想化的期望在求解之前，先设计与目标函数相应的一组目标值理想化的期望目标目标
13、fi*(i=1,2,k),每一个目标对应的权重系数为每一个目标对应的权重系数为 i*(i=1,2,k)，再设再设 为一松弛因子。为一松弛因子。那么，多目标规划问题就转化为：那么，多目标规划问题就转化为：第十六张，PPT共七十六页，创作于2022年6月方法五方法五 目标规划模型（目标规划法）目标规划模型（目标规划法）需要预先确定各个目标的期望值需要预先确定各个目标的期望值fi*，同时给每一个目标赋，同时给每一个目标赋予一个予一个优先因子优先因子和和权系数权系数，假定有，假定有K个目标，个目标，L个优先级个优先级(LK)，目标规划模型的数学形式为：目标规划模型的数学形式为：第十七张，PPT共七十六
14、页，创作于2022年6月17式中：式中：di+和和di分别表示与分别表示与fi相应的、与相应的、与fi*相比的目标超过值相比的目标超过值和不足值，即正、负偏差变量；和不足值，即正、负偏差变量；pl表示第表示第l个优先级；个优先级；lk+、lk-表示在同一优先级表示在同一优先级pl 中，不同目标的正、负中，不同目标的正、负偏差变量的权系数。偏差变量的权系数。第十八张，PPT共七十六页，创作于2022年6月18三三 目标规划方法目标规划方法通过前面的介绍和讨论，我们知道，目标规划方法是解决通过前面的介绍和讨论，我们知道，目标规划方法是解决多目标规划问题的重要技术之一。多目标规划问题的重要技术之一。
15、这一方法是美国学者查恩斯（这一方法是美国学者查恩斯（A.Charnes）和库伯）和库伯（W.W.Cooper）于）于1961年在线性规划的基础上提出来的。后来，年在线性规划的基础上提出来的。后来，查斯基莱恩（查斯基莱恩（U.Jaashelainen）和李（）和李（Sang.Lee）等人，进一步）等人，进一步给出了求解目标规划问题的一般性方法给出了求解目标规划问题的一般性方法单纯形方法。单纯形方法。目标规划模型目标规划模型目标规划的图解法目标规划的图解法求解目标规划的单纯形方法求解目标规划的单纯形方法第十九张，PPT共七十六页，创作于2022年6月 目标规划模型目标规划模型给定若干目标以及实现这
16、些目标的优先顺序，在给定若干目标以及实现这些目标的优先顺序，在有限的资源条件下，使总的偏离目标值的偏差最有限的资源条件下，使总的偏离目标值的偏差最小。小。1.1.基本思想基本思想：2.2.目标规划的有关概念目标规划的有关概念例例1 1：某某一一个个企企业业利利用用某某种种原原材材料料和和现现有有设设备备可可生生产产甲甲、乙乙两两种种产产品品，其其中中，甲甲、乙乙两两种种产产品品的的单单价价分分别别为为8 8万万元元和和1010万万元元；生生产产单单位位甲甲、乙乙两两种种产产品品需需要要消消耗耗的的原原材材料料分分别别为为2 2个个单单位位和和1 1个个单单位位，需需要要占占用用的的设设备备分分
17、别别为为1 1单单位位台台时时和和2 2单单位位台台时时；原原材材料料拥拥有有量量为为1111个个单单位位；可可利利用用的的设设备备总总台台时时为为1010单单位位台台时时。试试问问：如如何何确确定定其其生生产产方案使得企业获利最大？方案使得企业获利最大？第二十张，PPT共七十六页，创作于2022年6月由于决策者所追求的唯一目标是使总产值达到最大，这个由于决策者所追求的唯一目标是使总产值达到最大，这个企业的生产方案可以由如下线性规划模型给出：求企业的生产方案可以由如下线性规划模型给出：求x1，x2，使，使将上述问题化为标准后，用单纯形方法求解可得最佳决策方案为将上述问题化为标准后，用单纯形方法
18、求解可得最佳决策方案为:（万元）。（万元）。甲甲乙乙拥有量拥有量原材料原材料2111设备设备(台时台时)1210单件利润单件利润810生产甲、乙两种产品，有关数据如表所示。试求获利最大的生产方案？第二十一张，PPT共七十六页，创作于2022年6月 但但是是，在在实实际际决决策策时时，企企业业领领导导者者必必须须考考虑虑市市场场等等一一系系列列其其它条件，如：它条件，如：超过计划供应的超过计划供应的原材料原材料，需用高价采购，这就会使生产，需用高价采购，这就会使生产 成本增加。成本增加。应尽可能地应尽可能地充分利用设备的有效台时充分利用设备的有效台时，但，但不希望加班不希望加班。应尽可能应尽可能
19、达到并超过计划产值指标达到并超过计划产值指标5656万元万元。这样，该企业生产方案的确定，便成为一个多目标决策问题，这样，该企业生产方案的确定，便成为一个多目标决策问题，这一问题可以运用目标规划方法进行求解。这一问题可以运用目标规划方法进行求解。根据市场信息，甲种产品的需求量有下降的趋势，因根据市场信息，甲种产品的需求量有下降的趋势，因 此此甲种产品的产量不应大于乙种产品的产量甲种产品的产量不应大于乙种产品的产量。第二十二张，PPT共七十六页，创作于2022年6月假假定定有有L个个目目标标，K个个优优先先级级(KL)，n个个变变量量。在在同同一一优优先先级级pk中中不不同同目目标标的的正正、负
20、负偏偏差差变变量量的的权权系系数数分分别别为为 kl+、kl-，则多目标规划问题可以表示为：则多目标规划问题可以表示为：n目标规划模型的一般形式目标规划模型的一般形式目标函数目标约束绝对约束非负约束第二十三张，PPT共七十六页，创作于2022年6月23在以上各式中，在以上各式中，kl+、kl-、分别为赋予、分别为赋予pl优先因子的第优先因子的第k个目标的正、负偏差变量个目标的正、负偏差变量的权系数，的权系数，gk为第为第k个目标的预期值，个目标的预期值，xj为决策变量，为决策变量，dk+、dk-、分别为第、分别为第k 个目标的正、负偏差变量，个目标的正、负偏差变量，目标函数目标函数目标约束目标
21、约束绝对约束绝对约束非负约束非负约束第二十四张，PPT共七十六页，创作于2022年6月24目标规划数学模型中的有关概念。目标规划数学模型中的有关概念。(1)偏差变量偏差变量 在在目目标标规规划划模模型型中中，除除了了决决策策变变量量外外，还还需需要要引引入入正正、负负偏偏差差变变量量d+、d-。其其中中，正正偏偏差差变变量量表表示示决决策策值值超超过过目目标标值值的的部部分分，负负偏偏差差变变量量表示决策值未达到目标值的部分。表示决策值未达到目标值的部分。因因为为决决策策值值不不可可能能既既超超过过目目标标值值同同时时又又未未达达到到目目标标值值，故故有有d+d-=0成立。成立。(2)绝对约束
22、和目标约束绝对约束和目标约束 绝对约束绝对约束，必须严格满足的等式约束和不等式约束，譬如，线性必须严格满足的等式约束和不等式约束，譬如，线性规划问题的所有约束条件都是绝对约束，不能满足这些约束条件的解规划问题的所有约束条件都是绝对约束，不能满足这些约束条件的解称为非可行解，所以它们是称为非可行解，所以它们是硬约束硬约束。第二十五张，PPT共七十六页，创作于2022年6月 目标约束目标约束，目标规划所特有的，可以将约束方程右端项看作是目标规划所特有的，可以将约束方程右端项看作是追求的目标值，在达到此目标值时允许发生正的或负的偏差追求的目标值，在达到此目标值时允许发生正的或负的偏差 ，可加入正负偏
23、差变量，是，可加入正负偏差变量，是软约束软约束。线性规划问题的目标函数，在给定目标值和加入正、负偏差变量线性规划问题的目标函数，在给定目标值和加入正、负偏差变量后可以转化为目标约束，也可以根据问题的需要将绝对约束转化为目后可以转化为目标约束，也可以根据问题的需要将绝对约束转化为目标约束。标约束。(3)优先因子（优先等级）与权系数优先因子（优先等级）与权系数 一个规划问题一个规划问题,常常有若干个目标，决策者对各个目标的考常常有若干个目标，决策者对各个目标的考虑虑,往往是有主次的。凡要求第一位达到的目标赋予优先因子往往是有主次的。凡要求第一位达到的目标赋予优先因子p1，次位的，次位的目标赋予优先
24、因子目标赋予优先因子p2，并规定，并规定plpl+1(l=1,2,.)表示表示pl比比pl+1有更大的优先权。有更大的优先权。即即:首先保证首先保证p1级目标的实现，这时可以不考虑次级目标；而级目标的实现，这时可以不考虑次级目标；而p2级级目标是在实现目标是在实现p1级目标的基础上考虑的；依此类推。级目标的基础上考虑的；依此类推。第二十六张，PPT共七十六页，创作于2022年6月若要区别具有相同优先因子若要区别具有相同优先因子pl的目标的差别，就可以分别赋予它的目标的差别，就可以分别赋予它们不同的权系数们不同的权系数 i*(i=1,2,k)。这些优先因子和权系数都由决策。这些优先因子和权系数都
25、由决策者按照具体情况而定。者按照具体情况而定。(3)优先因子（优先等级）与权系数优先因子（优先等级）与权系数 一个规划问题一个规划问题,常常有若干个目标，决策者对各个目标的考虑常常有若干个目标，决策者对各个目标的考虑,往往是有主次的。凡要求第一位达到的目标赋予优先因子往往是有主次的。凡要求第一位达到的目标赋予优先因子p1，次位的目标赋予优先因子次位的目标赋予优先因子p2，并规定，并规定plpl+1(l=1,2,.)表示表示pl比比pl+1有更大的优先权。有更大的优先权。即即:首先保证首先保证p1级目标的实现，这时可以不考虑次级目标；而级目标的实现，这时可以不考虑次级目标；而p2级目级目标是在实
26、现标是在实现p1级目标的基础上考虑的；依此类推。级目标的基础上考虑的；依此类推。第二十七张，PPT共七十六页，创作于2022年6月(4)(4)目标函数目标函数 目标规划的目标函数（准则函数）是目标规划的目标函数（准则函数）是按照各目标约束的正、负偏按照各目标约束的正、负偏差变量和赋予相应的优先因子而构造差变量和赋予相应的优先因子而构造的。当每一目标确定后，尽可能的。当每一目标确定后，尽可能缩小与目标值的偏离。因此，目标规划的目标函数只能是：缩小与目标值的偏离。因此，目标规划的目标函数只能是：a)a)要求要求恰好达到目标值恰好达到目标值，就是正、负偏差变量都要尽可能小，就是正、负偏差变量都要尽可
27、能小,即即 b)b)要要求求不不超超过过目目标标值值，即即允允许许达达不不到到目目标标值值，就就是是正正偏偏差差变变量要尽可能小，即量要尽可能小，即 c)c)要求要求超过目标值超过目标值，也就是超过量不限，但负偏差变量要尽可能，也就是超过量不限，但负偏差变量要尽可能小，即小，即 基本形式有三种：基本形式有三种：第二十八张，PPT共七十六页，创作于2022年6月例例2：在在例例1中中，如如果果决决策策者者在在原原材材料料供供应应受受严严格格控控制制的的基基础础上上考考虑虑：首首先先是是甲甲种种产产品品的的产产量量不不超超过过乙乙种种产产品品的的产产量量；其其次次是是充充分分利利用用设设备备的的有
28、有限限台台时时，不不加加班班；再再次次是是产产值值不不小小于于56万万元元。并并分分别别赋赋予予这这三三个个目目标标优优先先因因子子p1,p2,p3。试试建建立立该该问问题题的的目目标标规规划划模模型。型。分析分析:题目有三个目标层次，包含三个目标值。题目有三个目标层次，包含三个目标值。第一目标：第一目标：p1d1+;即产品即产品甲甲的产量的产量不大于不大于乙乙的产量。的产量。第二目标：第二目标：p2(d2+d2 2-);即即充分利用设备的有限台时，不加班充分利用设备的有限台时，不加班；第三目标：第三目标：p3d3-;即产值即产值不小于不小于56万元；万元；第二十九张，PPT共七十六页，创作于
29、2022年6月29例例2：在在例例1中中，如如果果决决策策者者在在原原材材料料供供应应受受严严格格控控制制的的基基础础上上考考虑虑：首首先先是是甲甲种种产产品品的的产产量量不不超超过过乙乙种种产产品品的的产产量量；其其次次是是充充分分利利用用设设备备的的有有限限台台时时，不不加加班班；再再次次是是产产值值不不小小于于56万万元元。并并分分别别赋赋予予这这三三个个目目标标优优先先因因子子p1,p2,p3。试试建建立立该该问问题题的的目目标标规规划划模模型。型。解：解：根据题意，这一决策问题的目标规划模型是根据题意，这一决策问题的目标规划模型是第三十张，PPT共七十六页，创作于2022年6月例3、
30、某厂计划在下一个生产周期内生产甲、乙两种产品，已某厂计划在下一个生产周期内生产甲、乙两种产品，已知资料如表所示。知资料如表所示。(1)(1)试制定生产计划，使获得的利润最大？试制定生产计划，使获得的利润最大？12070单件利润单件利润3000103设备台时设备台时200054煤炭煤炭360049钢材钢材资源限制资源限制乙乙甲甲单位单位产品产品资源资源消耗消耗解:设生产甲产品设生产甲产品:x1，乙产品，乙产品:x2,(1)第三十一张，PPT共七十六页，创作于2022年6月31若在例若在例3中提出下列要求：中提出下列要求：1、完成或超额完成利润指标、完成或超额完成利润指标50000元；元；2、产品
31、甲不超过、产品甲不超过200件，产品乙不低于件，产品乙不低于250件；件；3、现有钢材、现有钢材3600吨必须用完。吨必须用完。试建立目标规划模型。试建立目标规划模型。分析：题目有三个目标层次，包含四个目标值。题目有三个目标层次，包含四个目标值。第一目标：第一目标：p1d1-第二目标：有两个要求即甲第二目标：有两个要求即甲d2+，乙，乙d3-，但两个具有相同，但两个具有相同的优先因子，因此需要确定权系数。本题可用单件利润比作为权系数即的优先因子，因此需要确定权系数。本题可用单件利润比作为权系数即70:120，化简为，化简为7:12。第三目标：第三目标：第三十二张，PPT共七十六页，创作于202
32、2年6月32所以目标规划模型为：所以目标规划模型为：第三十三张，PPT共七十六页，创作于2022年6月33 图解法同样适用两个变量的目标规划问题，但其操作简单，原理一目了图解法同样适用两个变量的目标规划问题，但其操作简单，原理一目了然。同时，也有助于理解一般目标规划的求解原理和过程。然。同时，也有助于理解一般目标规划的求解原理和过程。图解法解题步骤如下图解法解题步骤如下：1 1、确定确定各约束条件的各约束条件的可行域可行域。即将所有约束条件（包括目标约束和绝。即将所有约束条件（包括目标约束和绝对约束，对约束，暂不考虑正负偏差变量暂不考虑正负偏差变量）在坐标平面上表示出来；）在坐标平面上表示出来
33、；2 2、在目标约束所代表的边界线上，用箭头、在目标约束所代表的边界线上，用箭头标出正、负偏差变量值标出正、负偏差变量值增大的方向增大的方向；n 目标规划的图解法目标规划的图解法 3 3、求满足、求满足最高优先等级目标的解最高优先等级目标的解；4 4、转到、转到下一个优先等级下一个优先等级的目标，再不破坏所有较高优先等级目标的前的目标，再不破坏所有较高优先等级目标的前提下，求出该优先等级提下，求出该优先等级目标的解目标的解；5 5、重复、重复4 4，直到所有优先等级的目标都已，直到所有优先等级的目标都已审查完毕审查完毕为止；为止；6 6、确定、确定最优解最优解和和满意解满意解。第三十四张，PP
34、T共七十六页，创作于2022年6月34例4、用图解法求解目标规划问题012345678123456Ax2x1BC由于由于d2-取最小，所以，取最小，所以，（2）线可向上移动，故）线可向上移动，故B，C线段上的点是该问题的最线段上的点是该问题的最优解。优解。第三十五张，PPT共七十六页，创作于2022年6月35 例例5 5、已知一个生产已知一个生产计划的线性规划模型为计划的线性规划模型为其中目标函数为总利润，其中目标函数为总利润，x1,x2为产品为产品A、B产量。产量。现有下列目标：现有下列目标：1、要求总利润必须、要求总利润必须超过超过2500元；元；2、考虑产品受市场影响，为避免积压，、考虑
35、产品受市场影响，为避免积压，A、B的生产量不超过的生产量不超过60件和件和100件件；3、由于甲资源供应比较紧张，不要、由于甲资源供应比较紧张，不要超过现有量超过现有量140。试建立目标规划模型，并用图解法求解。试建立目标规划模型，并用图解法求解。第三十六张，PPT共七十六页，创作于2022年6月36解：以产品以产品A、B的单件利润比的单件利润比2.5:1为权系数，模型如下：为权系数，模型如下：第三十七张，PPT共七十六页，创作于2022年6月370 x20 x11401201008060402020406080100ABCD结论：C(60,58.3)为所求的满意解。第三十八张，PPT共七十六
36、页，创作于2022年6月38检验：将上述结果带入模型，因检验：将上述结果带入模型，因d1+d1-0；d3+d3-0；d2-=0，d2+存在；存在；d4+0，d4-存在。所以，有下式：存在。所以，有下式：minZ=将将x160，x258.3带入约束条件，得带入约束条件，得30601258.32499.62500；260+58.3=178.3140；16060158.358.3100由上可知：若由上可知：若A、B的计划产量为的计划产量为60件和件和58.3件时，所需甲资源数量将件时，所需甲资源数量将超过现有库存。在现有条件下，此解为非可行解。为此，企业必须采取超过现有库存。在现有条件下，此解为非可
37、行解。为此，企业必须采取措施降低措施降低A、B产品对甲资源的消耗量，由原来的产品对甲资源的消耗量，由原来的100降至降至78.5（140178.30.785），才能使生产方案（），才能使生产方案（60，58.3）成为可行方案。）成为可行方案。第三十九张，PPT共七十六页，创作于2022年6月39n求解目标规则的单纯形方法求解目标规则的单纯形方法目标规划模型仍可以用单纯形方法求解目标规划模型仍可以用单纯形方法求解，在求解时作以下规定：，在求解时作以下规定：因为目标函数都是求最小值，所以，最优判别检验数为：因为目标函数都是求最小值，所以，最优判别检验数为：因为非基变量的检验数中含有不同等级的优先因
38、子，因为非基变量的检验数中含有不同等级的优先因子，所以检验数的正、负首先决定于所以检验数的正、负首先决定于P1的系数的系数 1j的正负，若的正负，若 1j=0，则检验数的正、负就决定于，则检验数的正、负就决定于p2的系数的系数 2j的正负，的正负，第四十张，PPT共七十六页，创作于2022年6月所以检验数的正、负首先决定于所以检验数的正、负首先决定于p1的系数的系数 1j的正、负，若的正、负，若 1j=0，则检验数的正、负就决定于，则检验数的正、负就决定于p2的系数的系数 2j的正、负，下面可依的正、负，下面可依此类推。此类推。据据此此，我我们们可可以以总总结结出出求求解解目目标标规规划划问问
39、题题的的单单纯纯形形方方法法的的计计算算步骤如下：步骤如下：建建立立初初始始单单纯纯形形表表，在在表表中中将将检检验验数数行行按按优优先先因因子子个个数数分分别别排排成成L行，置行，置l=1。检检查查该该行行中中是是否否存存在在负负数数，且且对对应应的的前前L-1行行的的系系数数是是零零。若若有有，取其中最小者对应的变量为换入变量，转取其中最小者对应的变量为换入变量，转。若无负数，则转。若无负数，则转。第四十一张，PPT共七十六页，创作于2022年6月建建立立初初始始单单纯纯形形表表，在在表表中中将将检检验验数数行行按按优优先先因因子子个个数数分分别别排成排成L行，置行，置l=1。检检查查该该
40、行行中中是是否否存存在在负负数数，且且对对应应的的前前L-1行行的的系系数数是是零零。若若有有，取取其其中中最最小小者者对对应应的的变变量量为为换换入入变变量量，转转。若若无无负负数数，则则转转。按按最最小小比比值值规规则则（规规则则）确确定定换换出出变变量量，当当存存在在两两个个和和两两个个以以上相同的最小比值时，选取具有较高优先级别的变量为换出变量。上相同的最小比值时，选取具有较高优先级别的变量为换出变量。按单纯形法进行基变换运算，建立新的计算表，返回按单纯形法进行基变换运算，建立新的计算表，返回。当当l=L时时，计计算算结结束束，表表中中的的解解即即为为满满意意解解。否否则则置置l=l+
41、1，返返回回。第四十二张，PPT共七十六页，创作于2022年6月例例4：试用试用单纯形法单纯形法求解例求解例2所描述的目标规划问题所描述的目标规划问题.解解：首先将这一问题化为如下：首先将这一问题化为如下标准形式标准形式：第四十三张，PPT共七十六页，创作于2022年6月取取 为初始基变量，列出初始单纯形表。为初始基变量，列出初始单纯形表。取取l=1，检查检验数的，检查检验数的p1行，因该行无负检验数，故转行，因该行无负检验数，故转。因为因为l=1L=3，置，置l=l+1=2，返回，返回。检查发现检验数检查发现检验数p2行中有行中有-1，-2，因为有，因为有min-1,-2=-2，所以，所以x
42、2为为换入变量，转入换入变量，转入。第四十四张，PPT共七十六页，创作于2022年6月按按 规规则则计计算算：，所所以以d2-为为换换出出变变量量，转入转入。进行换基运算，得表进行换基运算，得表3。以此类推，直至得到最终单纯形表。以此类推，直至得到最终单纯形表4为止。为止。第四十五张，PPT共七十六页，创作于2022年6月表表2第四十六张，PPT共七十六页，创作于2022年6月表表3由由表表3可可知知，x1*=2，x2*=4，为为满满意意解解。检检查查检检验验数数行行，发发现现非非基变量基变量d3+的检验数为的检验数为0，这表明该问题存在多重解。，这表明该问题存在多重解。第四十七张，PPT共七
43、十六页，创作于2022年6月表表4 4在表在表3中，以非基变量中，以非基变量d3+为换入变量，为换入变量，d1-为换出变量，经迭代得为换出变量，经迭代得到表到表4。从表从表4可以看出，可以看出，x1*=10/3，x2*=10/3也是该问题的满意解。也是该问题的满意解。第四十八张，PPT共七十六页，创作于2022年6月用目标达到法求解多目标规划的计算过程，可以通过调用用目标达到法求解多目标规划的计算过程，可以通过调用Matlab软件系统优化工具箱中的软件系统优化工具箱中的fgoalattain函数实现。该函数的使用方函数实现。该函数的使用方法，如下法，如下:多目标规划的多目标规划的Matlab求
44、解求解X=FGOALATTAIN(FUN,X0,GOAL,WEIGHT)X=FGOALATTAIN(FUN,X0,GOAL,WEIGHT,A,B,Aeq,Beq,LB,UB)X,FVAL,ATTAINFACTOR,EXITFLAG,OUTPUT=FGOALATTAIN(FUN,X0,.)第四十九张，PPT共七十六页，创作于2022年6月49在在MATLAB中，多目标问题的标准中，多目标问题的标准形式为形式为:其中：其中：x、b、beq、lb、ub是向量；是向量；A、Aeq为矩阵；为矩阵；C(x)、Ceq(x)和和F(x)是返回向量的函数；是返回向量的函数；F(x)、C(x)、Ceq(x)可以是
45、非线性函数；可以是非线性函数；weight为权值系数向量，用于控制对应的目标函数与用户定义的目标函为权值系数向量，用于控制对应的目标函数与用户定义的目标函数值的接近程度；数值的接近程度；goal为用户设计的与目标函数相应的目标函数值向量；为用户设计的与目标函数相应的目标函数值向量；为一个松弛因子标量；为一个松弛因子标量；F(x)为多目标规划中的目标函数向为多目标规划中的目标函数向量。量。第五十张，PPT共七十六页，创作于2022年6月50例例：某工厂因生产需要，欲采购一种原料，市场上这种原材料有两个：某工厂因生产需要，欲采购一种原料，市场上这种原材料有两个等级，甲级单价等级，甲级单价2元元/k
46、g,乙级单价乙级单价1元元/kg，现要求总费用不超过现要求总费用不超过200元，购得原料总量不少于元，购得原料总量不少于100kg,其中甲级原料不少于其中甲级原料不少于50kg，问如，问如何确定最好的采购方案。何确定最好的采购方案。分析分析:列出方程列出方程x150;2x1+x2200;x1+x2100;x1,x20化为标准形化为标准形minf1=2x1+x2minf2=x1 x2minf3=x1s.t:2x1+x2200 x1 x2 100 x1 50 x1,x20第五十一张，PPT共七十六页，创作于2022年6月51matlab程序程序fun=2*x(1)+x(2),-x(1)-x(2),
47、-x(1);a=21;-1-1;-10;b=200-100-20;goal=200,-100,-50;weight=goal;x0=55,55;lb=0,0;X,FVAL,ATTAINFACTOR,EXITFLAG,OUTPUT,LAMBDA=fgoalattain(fun,x0,goal,weight,a,b,lb,)化为标准形化为标准形minf1=2x1+x2minf2=x1 x2minf3=x1s.t:2x1+x2200 x1 x2 100 x1 50 x1,x20第五十二张，PPT共七十六页，创作于2022年6月52Optimizationterminated:Searchdirect
48、ionlessthan2*options.TolXandmaximumconstraintviolationislessthanoptions.TolCon.Activeinequalities(towithinoptions.TolCon=1e-006):lowerupperineqlinineqnonlin223x=50.000050.0000fval=150.0000-100.0000-50.0000attainfactor=-1.4476e-024exitflag=4第五十三张，PPT共七十六页，创作于2022年6月53一、土地利用问题一、土地利用问题 二、生产计划问题二、生产计划问题
49、 三、投资问题三、投资问题 四四 多目标规划应用实例多目标规划应用实例第五十四张，PPT共七十六页，创作于2022年6月大豆大豆一、土地利用问题一、土地利用问题例例:某农场某农场I、II、III等耕地的面积分别为等耕地的面积分别为100hm2、300hm2和和200hm2，计划种植水稻、大豆和玉米，要求三种作物的最低收获量分别为，计划种植水稻、大豆和玉米，要求三种作物的最低收获量分别为190000kg、130000kg和和350000kg。I、II、III等耕地种植三种作物的等耕地种植三种作物的单产如下表所示。若三种作物的售价分别为水稻单产如下表所示。若三种作物的售价分别为水稻1.20元元/k
50、g，大豆，大豆1.50元元/kg，玉米，玉米0.80元元/kg。那么，（。那么，（1）如何制订种植计划，才）如何制订种植计划，才能使总产量最大和总产值最大？能使总产量最大和总产值最大？I I等等耕耕地地IIII等等耕耕地地IIIIII等等耕耕地地水稻水稻11000110009500950090009000大豆大豆800080006800680060006000玉米玉米140001400012000120001000010000第五十五张，PPT共七十六页，创作于2022年6月取取xij决决策策变变量量，它它表表示示在在第第j 等等级级的的耕耕地地上上种种植植第第i种种作作物物的的面面积积。如如