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1、专题13 机械能守恒定律及其应用（讲义）1、 核心知识（一）重力做功与重力势能1重力做功的特点(1)重力做功与路径无关，只与始、末位置的高度差有关(2)重力做功不引起物体机械能的变化2重力做功与重力势能变化的关系(1)定性关系：重力对物体做正功，重力势能就减小；重力对物体做负功，重力势能就增大(2)定量关系：重力对物体做的功等于物体重力势能的减小量即WG(Ep2Ep1)Ep1Ep2Ep.(3)重力势能的变化量是绝对的，与参考面的选取无关3弹性势能(1)概念：物体由于发生弹性形变而具有的能(2)大小：弹簧的弹性势能的大小与形变量及劲度系数有关，弹簧的形变量越大，劲度系数越大，弹簧的弹性势能越大(
2、3)弹力做功与弹性势能变化的关系：类似于重力做功与重力势能变化的关系，用公式表示：WEp.（二）机械能守恒定律及应用1机械能：动能和势能统称为机械能，其中势能包括弹性势能和重力势能2机械能守恒定律(1)内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以相互转化，而总的机械能保持不变(2)表达式：mgh1mvmgh2mv.机械能守恒的三种表达式表达式物理意义注意事项守恒观点Ek1Ep1Ek2Ep2或E1E2.系统初状态的机械能等于末状态的机械能.要先选取零势能参考平面，并且在整个过程中必须选取同一个零势能参考平面转化观点EkEp.系统的机械能守恒时，系统增加(或减少)的动能等于系统减少(或增
3、加)的势能.转移观点EA增EB减若系统由A、B两部分组成，当系统的机械能守恒时，则A部分机械能的增加量等于B部分机械能的减少量.3守恒条件：只有重力或弹簧的弹力做功4对机械能守恒条件的理解(1)只受重力作用，例如不考虑空气阻力的各种抛体运动，物体的机械能守恒(2)除重力外，物体还受其他力，但其他力不做功(3)除重力外，只有系统内的弹力做功，并且弹力做的功等于弹性势能变化量的负值，那么系统的机械能守恒，注意并非物体的机械能守恒，如与弹簧相连的小球下降的过程小球机械能减少，而小球与弹簧组成系统机械能守恒5机械能是否守恒的三种判断方法(1)利用机械能的定义判断：若物体动能、势能之和不变，机械能守恒(
4、2)利用守恒条件判断(3)利用能量转化判断：若物体系统与外界没有能量交换，物体系统内也没有机械能与其他形式能的转化，则物体系统机械能守恒（三）功和能1功和能(1)做功的过程就是能量转化的过程，能量的转化必须通过做功来实现(2)功是能量转化的量度，即做了多少功，就有多少能量发生了转化2力学中常用的四种功能对应关系(1)合力做功等于物体动能的改变，即W合Ek2Ek1Ek.(动能定理)(2)重力做功等于物体重力势能的减少，即WGEp1Ep2Ep.(3)弹簧弹力做功等于弹性势能的减少，即W弹Ep1Ep2Ep.(4)除了重力和弹簧弹力之外的其他力所做的总功，等于物体机械能的改变，即W其他力E2E1E.(
5、功能原理)3.利用功能关系解题的“三点注意”(1)功能：分清是什么力做功，并且分析该力做正功还是做负功，根据功能之间的对应关系，可以判定能的转化形式，确定能量之间的转化情况(2)能功：根据能量之间的转化情况，确定是什么力做功，可以计算变力做功的多少(3)功能关系的实质：功能关系反映了做功和能量转化之间的对应关系，功是能量转化的量度，能量转化是做功过程的必然结果（四）能量守恒定律1内容能量既不会凭空产生，也不会凭空消失，它只会从一种形式转化为其他形式，或者从一个物体转移到另一个物体，而在转化和转移的过程中，能量的总量保持不变2表达式：E减E增二、重点题型分类例析题型1：重力势能【例题1】（202
6、0·开原市第二高级中学高三月考）质量为m的物体以加速度由静止竖直下落高度h，在此过程中，下列说法中正确的是 （）A物体的重力势能减少 B物体克服阻力做功mghC物体的动能增加 D重力对物体做功 题型2：弹性势能【例题2】（2020·安徽高三月考）（多选）如图所示，轻质弹簧一端固定，另一端连接一小物块，O点为弹簧在原长时物块的位置。物块由A点静止释放，沿粗糙程度相同的水平面向右运动，最远到达B点。在从A到B的过程中，下列判断正确的是（ ）A物块加速度先减小后增大B物块经过O点时的速度最大C弹簧的弹性势能一直减小D物块所受弹簧弹力做的功等于克服摩擦力做的功题型3：功能关系【例题
7、3】（2020·江苏省前黄高级中学高三月考）一物体静止在水平地面上，在竖直向上的拉力F的作用下开始向上运动，如图甲所示。在物体运动过程中，空气阻力不计，其机械能E与位移x的关系图象如图乙所示，其中曲线上点A处的切线的斜率最大。则（）A在x1处物体所受拉力最大B在x2处物体的速度最大C在x1x3过程中，物体的动能一直减小D在0x2过程中，物体的加速度先增大后减小题型4：机械能【例题4】（2020·河北高三月考）如图所示，半径为的光滑圆形管道固定在竖直平面内，质量为直径略小于管径的小球在管道内做圆周运动，小球通过最高点时对管道内壁的压力大小等于。增大小球的机械能，当它再次通过点
8、时对管道外壁的压力大小也等于，已知重力加速度为，则（）A小球两次经过点的速率之比是1：3B小球两次经过点的速率之比是1：2C增加的机械能为D增加的机械能为题型5：动能和势能的转化【例题5】（2020·博爱县英才学校高三月考）从地面竖直向上抛出一物体，其机械能E总等于动能Ek与重力势能Ep之和。取地面为重力势能零点，该物体的E总和Ep随它离开地面的高度h的变化如图所示。重力加速度取10 m/s2。由图中数据可得（ ）A物体的质量为4 kgBh=0时，物体的速率为20 m/sCh=2 m时，物体的动能Ek=40 JD从地面至h=4 m，物体的动能减少100 J题型6：机械能守恒的条件【例
9、题6】（2020·吉林长春市实验中学高三期中）（多选）如图所示，一个半径为的半球形的碗固定在桌面上，碗口水平，点为其球心，碗的内表面及碗口是光滑的左侧是一个足够长的固定光滑斜面，斜面倾角45°。一根不可伸长的轻质细线跨在碗口上，线的两端分别系有可视为质点的小球和物块，且m1=2m2。开始时m1恰在点，在斜面上且距离斜面顶端足够远，此时连接、的细线与斜面平行且恰好伸直，点是圆心的正下方。当m1由静止释放开始运动，则下列说法中正确的是（）A在沿碗面下降过程中，与组成的系统机械能守恒B当运动到点时，物块的速率是C能够沿碗面上升到点D沿斜面上滑过程中，地面对斜面的支持力始终保持恒定
10、题型7：机械能与曲线运动【例题7】（2020·江苏盐城市·盐城中学高三月考）如图所示，坚直平面内固定着两个半径均为R的四分之一圆轨道AB和BC，圆心连线水平，长为R的薄板DE置于水平面上，薄板的左端D到管道右端C的水平距离为，质量为m的小球（可视为质点）从水平面上以一定的初速度进入轨道，最后从C点抛出（不计一切摩擦，重力加速度为g），小球经C点时对轨道的弹力大小为mg。求：(1)小球经C点时的速度的大小；(2)小球经A点时的速度的大小；(3)通过计算说明小球能否到达薄板DE上。题型8：系统机械能守恒问题【例题8】（2020·陕西高三开学考试）如图所示，将倾角=30
11、°、表面粗糙的斜面固定在地面上，用一根轻质细绳跨过两个光滑的半径很小的滑轮连接甲、乙两物体（均可视为质点），把甲物体放在斜面上且细绳与斜面平行，把乙物体悬在空中，并使细绳拉直且偏离竖直方向=60°。开始时甲、乙均静止。现同时释放甲、乙两物体，乙物体将在竖直平面内往返运动，测得绳长OA为l=0.5m，当乙物体运动经过最高点和最低点时，甲物体在斜面上均恰好未滑动，已知乙物体的质量为 m=1kg，忽略空气阻力，取重力加速度g=10m/s2，求：(1)乙物体在竖直平面内运动到最低点时的速度大小以及所受的拉力大小(2)甲物体的质量以及斜面对甲物体的最大静摩擦力的大小(3)斜面与甲物体
12、之间的动摩擦因数（设最大静摩擦力等于滑动摩擦力）题型9：能量守恒定律及应用【例题9】（2020·山东高三月考）如图所示，半径为R3m的光滑半圆轨道ABC与倾角37°的粗糙斜面轨道DC相切于C，圆轨道的直径AC与斜面垂直。A点左侧有一光滑平台，平台与A点的高度差h0.9m，平台上一弹簧水平放置，左端固定，右端与质量为m0.5kg的小滑块P接触但不连接。推动P压缩弹簧至某一位置后释放，P刚好从半圆轨道的A点切入半圆轨道内侧，之后经半圆轨道沿斜面刚好滑到与A点等高的斜面轨道上D点，重力加速度g10m/s2，sin37°0.6，cos37°0.8，不计空气阻力。
13、求：(1)弹簧的最大弹性势能；(2)小滑块与斜面间的摩擦因数；(3)小滑块经过半圆轨道最低点B时，对轨道的压力的最小值。题型10：能量守恒定律与传送带【例题10】（2020·辽宁朝阳市·一尺和育英高级中学高三期中）如图所示，传送带与水平面之间的夹角为，其上A、B两点间的距离为，传送带在电动机的带动下以的速度匀速运动。现将一质量为的小物体（可视为质点）轻放在传送带的A点，小物体与传送带之间的动摩擦因数，在传送带将小物体从A点传送到B点的过程中，求：（g取10m/s2）(1)小物体做加速运动阶段的位移；(2)小物体与传送带之间的摩擦力做功产生的热量；(3)传送带对小物体做的功。
14、参考答案【例题1】C【解析】物体由静止竖直下落高度h，则重力做功mgh，重力势能减少mgh；根据动能定理可知，动能增加则物体的机械能减少mgh，克服阻力做功为mgh。故选C。【例题2】AD【解析】由A点开始运动时合力向右，小物块向右加速运动，弹簧压缩量逐渐减小，弹性势能减小，减小，根据牛顿第二定律得因此a减小，当运动到时，a减小为零，此时弹簧仍处于压缩状态，由于惯性，小物块继续向右运动，此时，小物块做减速运动，且随着压缩量继续减小，与差值增大，即加速度增大；当越过O点后，弹簧被拉伸，此时弹力方向与摩擦力方向相同，因此随着拉伸量增大，弹性势能增大，也增大，故从A到B过程中，物块加速度先减小后增大
15、，在压缩状态时速度达到最大，弹性势能先减小后增大，由动能定理知，A到B的过程中，弹力做功和摩擦力做功之和为0，故BC错误，AD正确。故选AD。【例题3】A【解析】A根据功能关系可知，即则E-x图象的斜率表示物体受到的拉力，可见，A处切斜的斜率最大，说明此位置受到的拉力F最大，故A正确；B在0x1过程中物体所受拉力是变力，物体做变加速运动，在x1x2过程中，图象的斜率越来越小，则说明受到的拉力越来越小，拉力先大于重力，后小于重力，在x2处物体的机械能最大，图象斜率为零，说明此时拉力为零，所以这一过程中物体先加速后减速，合力为零时速度最大，应在x1x2之间某个位置，故B错误；C由上分析知，在x1x
16、3过程中，物体的动能先增大后减小，故C错误；D在0x2过程中，拉力先增大后减小，直到变为零，则物体受到的合力应先向上增大，后减小，减小到零后，再反向增大，物体的加速度先向上增大，后减小，减小到零后，再反向增大，故D错误。故选A。【例题4】D【解析】AB小球第一次通过最高点时设速度为 则 解得小球第二次通过最高点时设速度为 ，则解得速度之比为AB错误；CD增加的机械能,C错误，D正确。故选D。【例题5】D【解析】A由图可知在最高点，得，A错误；B在初位置由图可知 ，解得 ，B错误；Ch=2m时，物体的动能故C错误；D根据图像可知从地面至h=4 m，物体的动能减少故D正确。故选D。【例题6】ABD
17、【解析】A在从A点运动到C点的过程中，与组成的系统只有重力做功，系统的机械能守恒，故A正确；B设小球到达最低点C时，、的速度大小分别为、，由运动的合成分解得则对、组成的系统由机械能守恒定律得解得,选项B正确；C若运动到C点时绳断开，至少需要有的速度才能沿碗面上升到B点，现由于上升的过程中绳子对它做负功，所以不可能沿碗面上升到B点。故C错误。D沿斜面上滑过程中，对斜面的压力是一定的，斜面的受力情况不变，由平衡条件可知地面对斜面的支持力始终保持恒定。故D正确。故选ABD。【例题7】(1)；(2)；(3)不能【解析】(1)小球在C点时，对小球受力分析解得(2)对小球从A运动到C的过程，由能量守恒解得
18、(3)小球从C点平抛，有解得故小球不能到达薄板DE上。【例题8】(1)2.24 m/s，20 N；(2)2.5 kg，7.5 N；(3)0.35【解析】(1)当乙物体运动到最低点时，绳子上的拉力最大，设为F1，对乙物体，由动能定理得 mgl（1-cos)=又由牛顿第二定律得F1-mg=乙物体在竖直平面内运动到最低点时v=m/s=2.24m/s 乙物体运动到最低点时所受的拉力FF1=20 N (2)当乙物体运动到最高点时，绳子上的拉力最小，设为F2，此时乙物体向心力为0，即F2=mgcos 此时甲物体恰好不下滑，有 Mgsin=Ff+F2 乙物体到最低点时，甲物体恰好不上滑，则有 Mgsin+F
19、f=F1联立解得M=2.5kgFf=7.5 N (3)对甲物体，有Ff=FNFN=Mgcos联立解得=0.35【例题9】(1)8J；(2)；(3)7N【解析】(1)小滑块离开平台做平抛运动，设此时速度为v0，则弹簧的最大弹性势能小滑块到达A点时，速度与水平方向的夹角为设竖直方向的速度为vy，则有由几何关系得联立解得 (2)小滑块从释放至到达D点，由能量守恒定律得解得(3)经判断可知滑块最终将在C点及与C点等高点之间的圆轨道上往复运动，这种情况下滑块经过B点的速度最小，对B点压力最小设滑块经过B点的最小速度为v2，由机械能守恒定律得在B点，由牛顿第二定律得解得由牛顿第三定律知，小滑块在B点对轨道压力的最小值为7N。【例题10】(1)0.8m；(2) 60J；(3) 270J【解析】(1)小物体做加速运动阶段，由动能定理得代入数值，得(2)小物体加速运动的时间为t，对于小物体对于传送带所以摩擦生热代入数值得(3)由功能关系得代入数值得