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1、例1如图，某根水平固定的长木杆上有n(n3)个质量均为m的圆环(内径略大于木杆直径)，每相邻的两个圆环之间有不可伸长的柔软轻质细线相连，细线长度均为L，开始时所有圆环挨在一起(但未相互挤压)；现给第1个圆环一个初速度使其在木杆上向左滑行，当前、后圆环之间的细线拉紧后都以共同的速度向前滑行，但第n个圆环恰好未被拉动。已知所有细线拉紧的时间极短，且每个圆环与木杆间的动摩擦因数均为，求：(1)当n3时，整个运动过程中克服摩擦力做的功；(2)当n3时，求第一个圆环向左运动的初速度大小v；(3)若第一个圆环的初速度大小为v0，求整个过程中由于细绳拉紧损失的机械能。【解析】(1)当n3时，仅有1、2两个圆
2、环在运动，克服摩擦力做的功为：WfmgLmg·2L3mgL。(2)当n3时，易知从1开始运动到1、2之间的细绳恰好拉直的过程中，有：mv2mv12mgL。2、3之间的细绳拉直过程，取向左为正方向，由动量守恒有：mv12mv2。·2mv22·2mgL。由以上三式可得 v。(3)从开始运动到第n个圆环恰好未被拉动的过程中，克服摩擦力做功为：WfmgLmg·2Lmg(n1)L由能量守恒可知Emv02Wfmv02。例2如图所示，高H1.6 m的赛台ABCDE固定于地面上，其上表面ABC光滑；质量M1 kg、高h0.8 m、长L的小车Q紧靠赛台右侧CD面（不粘连）
3、，放置于光滑水平地面上。质量m1 kg的小物块P从赛台顶点A由静止释放，经过B点的小曲面无损失机械能的滑上BC水平面，再滑上小车的左端。已知小物块与小车上表面的动摩擦因数0.4，g取10 m/s2。(1)求小物块P滑上小车左端时的速度v1；(2)如果小物块没有从小车上滑脱，求小车最短长度L0；(3)若小车长L1.2 m，距离小车右端s处有与车面等高的竖直挡板，小车碰上挡板后立即停止不动，讨论小物块在小车上运动过程中，克服摩擦力做功Wf与s的关系。【解析】(1)小物块P从A滑到C点的过程中，根据机械能守恒定律，有：mg(Hh)mv12解得小物块P滑上小车左端时的速度v14 m/s。(2)小物块在
4、小车Q的上表面滑动的过程中，P、Q构成的系统所受合外力为零，动量守恒，取小车最短长度0时，小物块刚好在小车右端共速为v2，则：mv1(Mm)v2相对运动过程中系统的能量守恒，有：mv12(Mm)v22mgL0联立解得：v22 m/s，L01 m。(3)小车长1.2 m，说明小车与竖直挡板相撞前小物块不会滑脱小车，设共速时小车位移x1，物块对地位移x2，分别对小车和物块由动能定理可知：mgx1Mv22mgx2mv22mv12联立可得：x10.5 m，x21.5 m若s x1，说明小车与挡板碰撞前小物块与小车已具有共同速度，且共速后一起匀速至挡板处，小物块将在小车上继续向右做初速度为v22 m/s
5、 的匀减速运动，距离车尾位移为：L1LL00.2 m设减速到0位移为L2，则：mgx2mv22可得L20.5 m>L1则小物块在车上飞出去，Wfmg(x2L1)6.8 J若s< x1，说明小车与挡板碰撞前小物块与小车还没有共速，小物块全程都受摩擦力作用，则：Wfmg(Ls)(4.84s) J。1如图所示，遥控赛车比赛中一个规定项目是“飞跃壕沟”，比赛要求：赛车从起点出发，沿水平直轨道运动，在B点飞出后越过“壕沟”，落在平台EF段。已知赛车的额定功率P10.0 W，赛车的质量m1.0 kg，在水平直轨道上受到的阻力f2.0 N，AB段长L10.0 m，BE的高度差h1.25 m，BE
6、的水平距离x1.5 m。赛车车长不计，空气阻力不计，g取10 m/s2。(1)若赛车在水平直轨道上能达到最大速度，求最大速度vm的大小；(2)要越过壕沟，求赛车在B点最小速度v的大小；(3)若在比赛中赛车通过A点时速度vA1 m/s，且赛车达到额定功率。要使赛车完成比赛，求赛车在AB段通电的最短时间t。2如图所示，顶端带有光滑定滑轮的三角形斜面体ABC固定在水平地面上，AB、AC表面均光滑，与水平面之间的夹角分别为30°、53°，A点与水平面之间的高度m，轻质弹簧两端连接两个质量分别为mMmN2 kg的物块M、N（均可看成质点），M紧靠挡板，N通过不可伸长的轻质细绳跨过滑轮
7、与质量为mP3 kg的物块P（可看成质点）相连，细绳与斜面平行，物块P在外力作用下静止在AC的顶端，此时细绳刚好拉直，斜面AC、半径R0.4 m的竖直光滑圆弧轨道分别与粗糙水平轨道CD平滑连接，轨道CD长度L1.5 m。现由静止释放物块P，当P滑至C点时细绳断裂，物块M恰好离开挡板，整个过程中弹簧始终在弹性限度内，物块N始终在斜面AB上，重力加速度g10 m/s2，sin 53°0.8。求： (1)弹簧的劲度系数k；(2)物块P刚好能够滑到圆弧轨道最右端时，物块P最终停止的位置与C点之间的距离；(3)为使物块P能滑上圆弧轨道而不脱离，物块P与水平轨道CD之间的动摩擦因数的取值范围。3
8、距光滑水平平台的右端L0.5 m处有一木块A（视为质点），紧靠平台右端的水平地面PQ上放置一右侧带挡板（厚度不计）的水平木板B，木板的质量mB1 kg，长度L0.5 m，且木板的上表面与平台等高。木块A在水平向右、大小F6 N的拉力作用下由静止开始运动，当木块A运动到平台右端时立即撤去拉力。已知木块A与木板B、木板B与水平地面间的动摩擦因数均为0.2，取重力加速度大小g10 m/s2。(1)若木块A的质量mA2 kg，求木块A与木板B右侧挡板碰撞前的速度大小v1；(2)若木块A的质量mA2 kg，木块A与木板B的碰撞为弹性碰撞且碰撞时间极短，求木板B向右运动的最大距离x1；(3)若木块A与木板
9、B碰撞后粘在一起，为使碰撞后整体向右运动的距离最大，求木块A的质量m及木板运动的最大距离x2。4如图所示的简化模型，主要由光滑曲面轨道AB、光滑竖直圆轨道、水平轨道BD、水平传送带DE和足够长的落地区FG组成，各部分平滑连接，圆轨道最低点B处的入、出口靠近但相互错开，滑块落到FG区域时马上停止运动。现将一质量m0.2 kg的滑块从轨道AB上某一位置由静止释放，若已知圆轨道半径R0.2 m，水平面BD长x13 m，传送带长x24 m，距落地区的竖直高度H0.2 m，滑块与水平轨道BD和传送带间的动摩擦因数均为0.2，传送带以恒定速度v04 m/s逆时针转动，重力加速度g10 m/s2。(1)求滑
10、块恰好过圆轨道最高点C时在C点的速度v的大小；(2)要使滑块恰能运动到E点，求滑块释放点的高度h0；(3)当滑块能通过C点时，求滑块静止时距B点的水平距离x与释放点高度h的关系。5如图所示，粗糙平直轨道与半径为R的光滑半圆形竖轨道平滑连接，可视为质点质量为m的滑块A与质量为2m的滑块B放在光滑水平面上，中间放有弹性物质，滑块与平直轨道间的动摩擦因数为，平直轨道长为L。现释放弹性物质的能量，使A以水平向右的初速度滑上平直轨道，滑过平直轨道后冲上圆形轨道，在圆形轨道最低点处有压力传感器，滑块沿圆形轨道上滑的最大高度h与滑块通过圆形轨道最低点时压力传感器的示数F之间的关系其中两个值如图乙所示。(1)
11、若滑块A沿圆形轨道上滑的最大高度为R，求弹性物质释放的能量；(2)求图乙中的F0的最小值；(3)请通过推导写出h与F的关系式，并将图乙补充完整。答 案1【解析】(1)赛车在水平轨道上达到最大速度时，设其牵引力为F，根据牛顿第二定律有：Ff0又因为PFvm1解得：vm5 m/s。(2)赛车通过B点在空中做平抛运动，设赛车能越过壕沟的最小速度为v，在空中运动时间为t1，则有：hgt12且xvt1解得：v3.0 m/s。(3)若赛车恰好能越过壕沟，且赛车通电时间最短，在赛车从A点运动到B点的过程中根据动能定理有：PtfLmv2mvA2带入数据解得：t2.4 s。2【解析】(1)初始时，弹簧处于压缩状
12、态，弹力细绳刚断的瞬间，弹簧处于伸长状态，弹力此过程中物块N的位移根据胡克定律得解得弹簧的劲度系数为。(2)物块P从A滑至C的过程中，初末状态弹簧的弹性势能相同，根据机械能守恒定律得解得当物块P恰好能上升至圆弧轨道的最右侧时有解得设物块P在轨道CD段滑过的总路程为s，根据动能定理得解得所以物块P最终停止的位置与C点之间的距离为。(3)当物块恰好能通过圆弧轨道的最高点时有解得根据功能关系可得解得当物块P恰好能滑上圆弧轨道时有解得所以物块P能滑上圆弧轨道且不脱离圆弧轨道时，物块P与水平轨道CD之间的动摩擦因数的取值范围为或者。3【解析】(1)由动能定理可知，A到达平台右端时的动能EkFL对B受力分
13、析可知由于地面对B的最大静摩擦力大于A对B的滑动摩擦力，所以A与B相碰前B保持静止由动能定理可知，A到达B上滑行的过程中有解得。(2)A与B的碰撞为弹性碰撞，由动量守恒定律及能量关系有：得对A受力分析有对B受力分析有当A、B速度相等时有得可得A、B速度相等时的速度大小得相对运动过程中，B的位移大小为得之后对A、B整体分析，有A、B一起向右运动有得B向右运动的最大距离解得。(3)由动能定理可知，A与B碰撞前有A、B碰撞粘连，由动量守恒定律有由动能定理有可得令，可得当时，即时，最大距离。4【解析】(1)当滑块恰好过最高点时，有解得。(2)若滑块恰好能过最高点，从到，根据动能定理有解得要使滑块恰能运
14、动到点，则滑块到点的速度，从到，根据动能定理有解得显然，要使滑块恰能运动到点，则滑块释放点的高度。(3)当滑块释放点的高度范围满足时，滑块不能运动到点，最终停在上，设其在上滑动的路程为，根据动能定理有可得当滑块释放点的高度范围满足时，滑块从传送带返回点，最终停在上，在上滑动的路程为，根据动能定理有可得当滑块释放点的高度范围满足时，滑块从传送带返回点，重回圆轨道，最终停在上，分析可知滑块在上滑动的路程为，根据动能定理有可得当滑块释放点的高度时，滑块从点飞出，根据动能定理有解得由平抛运动知识可知，平抛运动的时间可得。5【解析】(1)滑块由A到沿圆轨道上滑高度R的过程，根据动能定理，有A与B动量守恒
15、得，所以所以弹性物质释放的能量。(2)由图乙可得，当压力传感器的示数为F0时，滑块沿圆轨道上滑的最大高度恰为2R，根据牛顿第三定律可得此时滑块所受支持力大小为F0，设滑块通过圆轨道最低点的速度为v1，到达圆轨道最高点的速度为v2，根据牛顿第二定律，有滑块在圆轨道最低点滑块在圆轨道最高点滑块由圆轨道最低点滑到圆轨道最高点的过程，根据动能定理，有解得。(3)根据牛顿第三定律可得滑块所受支持力大小为F，设滑块通过圆轨道最低点的速度为v，沿圆轨道上滑的最大高度为h，根据牛顿第二定律，有在F取值03mg间滑块在圆轨道最低点滑块由圆轨道最低点沿圆轨道滑到最大高度h的过程，根据动能定理，有联立上述两式解得在3mg6mg间滑块在圆轨道最低点滑块在圆轨道脱离的最高点其中滑块由圆轨道最低点沿圆轨道滑到最大高度h的过程，根据动能定理，有得即在F大于6mg时，h最高点均为2R完整图如图所示