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1、第十六章 二次根式16.1 二次根式第1课时 二次根式的概念学习目标：1.理解二次根式的概念；2. 掌握二次根式有意义的条件；3.会利用二次根式的非负性解决相关问题.重点：理解二次根式的概念及有意义的条件.难点：利用二次根式的有意义的条件及其非负性解题.自主学习一、知识链接1.什么叫作平方根？2.什么叫作算术平方根？什么数有算术平方根？二、新知预习1. 用带根号的式子填空:(1)如图的海报为正方形，若面积为2m2,则边长为 m；若面积为S m2，则边长为_ m图图(2) 如图的海报为长方形，若长是宽的2倍，面积为6m2，则它的宽为_m(3) 一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间 t（单位
2、：s）与开始落下的高度h（单位：m）满足关系 h =5t2，如果用含有h 的式子表示 t ，那么t为_2.自主归纳：（1）二次根式的概念：一般地，我们把形如的式子叫作二次根式. “_”称为二次根号.（2）二次根式的双重非负性：二次根式的被开方数为_数,二次根式的值为_数.三、自学自测1.下列各式中是二次根式的是（）A. B. C. D.2.二次根式有意义的条件是_. 四、我的疑惑_课堂探究一、 要点探究探究点1：二次根式的意义及有意义的条件问题1 分别表示什么意义？问题2 这些式子有什么共同特征？要点归纳：一般地，我们把形如的式子叫作二次根式. “”称为_.典例精析例1 下列各式中，哪些是二次
3、根式？哪些不是？方法总结:判断二次根式是，抓住二次根式两个必备特征：外貌特征：含有“”；内在特征：被开方数a0.例2 (教材P2例1变式题)当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？方法总结:要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方数0，列不等式求解即可.若二次根式为分母或二次根式为分式的分母时，应同时考虑分母不为零.【变式题】当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？方法总结:被开方数是多项式时，需要对组成多项式的项进行恰当分组凑成含完全平方的形式，再进行分析讨论.针对训练1. 下列各式:一定是二次根式的个数有( ) A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 2. (1)若式
4、子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_; (2)若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_.探究点2：二次根式的双重非负性问题1：当x是怎样的实数时，在实数范围内有意义？呢？ 问题2：二次根式的被开方数a的取值范围是什么？它本身的取值范围又是什么？ 要点归纳：二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平方根.对于任意一个二次根式，我们知道：（1）a为被开方数，为保证其有意义，可知a_0；（2）表示一个数或式的算术平方根，可知_0.典例精析例3 若，求a-b+c的值.方法总结:多个非负数的和为零，则可得每个非负数均为零.初中阶段学过的非负数主要有绝对值、偶次幂及二次根式.例4 已知y=,求
5、3x+2y的算术平方根.【变式题】已知a，b为等腰三角形的两条边长，且a，b满足，求此三角形的周长方法总结:若，则根据被开方数大于等于0，可得a=0.针对训练已知|3x-y-1|和 互为相反数，求x+4y的平方根二、课堂小结二次根式的概念一般地，我们把形如的式子叫作_. “”称为二次根号，根指数为_,可省略.二次根式有意义的条件被开方数（式）为_,即有意义 a0.二次根式的非负性双重非负性：当堂检测1. 下列式子中，不属于二次根式的是（ ）2. 式子有意义的条件是 （ ）A. x2 B.x2 C.x2 D.x23.当x=_时，二次根式取最小值，其最小值为_4.当a是怎样的实数时，下列各式在实数
6、范围内有意义？5. (1)若二次根式有意义，求m的取值范围(2) 无论x取任何实数，代数式都有意义，求m的取值范围6.若x，y是实数，且y ,求的值.拓展提升7.先阅读，后回答问题：当x为何值时，有意义？解：由题意得x(x-1)0，由乘法法则得解得x1 或x0.即当x1 或x0时，有意义.体会解题思想后，试着解答：当x为何值时，有意义？第十六章 二次根式16.1 二次根式第2课时 二次根式的性质学习目标：1.经历二次根式的性质的发现过程，体验归纳、猜想的思想方法；2.会运用二次根式的两个性质进行化简计算.重点：掌握二次根式的两个性质：.难点：会利用二次根式的性质解题.自主学习一、知识回顾1.二
7、次根式的概念是什么？我们上节课学了它的哪些性质？2.使式子有意义的条件是_.课堂探究二、 要点探究探究点1：的性质活动1 如图是一块具有民族风的正方形方巾，面积为a，求它的边长，并用所求得的边长表示出面积，你发现了什么？ 活动2 为了验证活动1的结论是否具有广泛性，下面根据算术平方根及平方的意义填空，你又发现了什么？024._._.a(a0) 算术平方根 平方运算 观察两者有什么关系？要点归纳：一般地，(a_0),即一个非负数的算术平方根的平方等于_.典例精析例1(教材P3例2变式题)计算：例2 在实数范围内分解因式：方法总结:本题逆用了在实数范围内分解因式.在实数范围内分解因式时，原来在有理
8、数范围内分解因式的方法和公式仍然适用.针对训练计算：探究点2：的性质议一议: 下面根据算术平方根的意义填空，你有什么发现？1.计算： ; ; ; .观察其结果与根号内幂底数的关系，归纳得到：当 .2.计算： ; ; ; .观察其结果与根号内幂底数的关系，归纳得到：当 .3.计算： ;当 .要点归纳：将上面得到的结论综合起来，得到二次根式的又一条非常重要的性质：即任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值.典例精析例3 (教材P4例3变式题)化简： 方法总结:利用化简求值时，先应确定a的正负，再化简.例4 实数a、b在数轴上的对应点如图所示，请你化简:【变式题】实数a、b在数轴上的对应点如图
9、所示，化简：.方法总结:利用数轴和二次根式的性质进行化简，关键是要要根据a,b的大小讨论绝对值内式子的符号.例5 已知a、b、c是ABC的三边长，化简：三边长均为正数，a+bc利用三角形三边关系分析：两边之和大于第三边，b+c-a0，c-b-a0针对训练1. 计算：2.请同学们快速分辨下列各题的对错：探究点3：代数式的定义 用基本运算符号（包括加、减、乘、除、乘方和开方）把_或_连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式.典例精析例6 （1）一条河的水流速度是2.5 km/h，船在静水中的速度是 v km/h，用代数式表示船在这条河中顺水行驶和逆水行驶时的速度；（2）如图，小语要制作一个长与宽之
10、比为5:3的长方形贺卡，若面积为S，用代数式表示出它的长.方法总结:列代数式的要点：要抓住关键词语，明确它们的意义以及它们之间的关系，如和、差、积、商及大、小、多、少、倍、分、倒数、相反数等；理清语句层次明确运算顺序；牢记一些概念和公式针对训练1.在下列各式中，不是代数式的是（）A.7 B.32 C. D.2. 如图是一圆形挂钟，正面面积为S，用代数式表示出钟的半径为_. 二、课堂小结二次根式的性质内容性质1一个非负数的算术平方根的平方等于它_.即性质2一个数的平方的算术平方根等于它的_.即当堂检测1.化简得（ ）A. 4 B. 2 C. 4 D.-42.当1x”“ ”或“= ”）. 4.计算
11、： 5. 在一个边长为cm的正方形内部，挖去一个边长为 cm的正方形，求剩余部分的面积.6.(1) 已知，求的值；(2) 已知，求的值.能力提升7.阅读下列材料，然后回答问题：在进行类似于二次根式的运算时，通常有如下两种方法将其进一步化简：方法一：方法二：(1)请用两种不同的方法化简：(2)化简：第十七章 勾股定理17.1 勾股定理第1课时 勾股定理学习目标：1.经历勾股定理的探究过程，了解关于勾股定理的一些文化历史背景，会用面积法来证明勾股定理，体会数形结合的思想；2.会用勾股定理进行简单的计算.重点：用面积法来证明勾股定理，体会数形结合的思想.难点：会用勾股定理进行简单的计算.自主学习一、
12、知识回顾1.网格中每个小正方形的面积为单位1,你能数出图中的正方形A、B 的面积吗？你又能想到什么方法算出正方形C的面积呢？方法1：补形法(把以斜边为边长的正方形补成各边都在网格线上的正方形）： 左图：Sc=_;右图：Sc=_.方法2：分割法(把以斜边为边长的正方形分割成易求出面积的三角形和四边形）： 左图：Sc=_;右图：Sc=_.课堂探究七、 要点探究探究点1：勾股定理的认识及验证想一想 1.2500年前，毕达哥拉斯去老朋友家做客，看到他朋友家用等腰三角形砖铺成的地面，联想到了正方形A，B和C面积之间的关系，你能想到是什么关系吗？ 2.右图中正方形A、B、C所围成的等腰直角三角形三边之间有
13、什么特殊关系？ 3.在网格中一般的直角三角形，以它的三边为边长的三个正方形A、B、C 是否也有类似的面积关系？(每个小正方形的面积为单位1) 4.正方形A、B、C 所围成的直角三角形三条边之间有怎样的特殊关系？ 思考 你发现了直角三角形三条边之间的什么规律？你能结合字母表示出来吗？猜测：如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b，斜边长为c,那么_.活动2 接下来让我们跟着以前的数学家们用拼图法来证明活动1的猜想.证法 利用我国汉代数学家赵爽的“赵爽弦图” 证明：S大正方形_，S小正方形_,S大正方形_S三角形S小正方形， _=_+_. 要点归纳：勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a,b
14、,斜边长为c,那么a2+b2=c2.公式变形： 探究点2：利用勾股定理进行计算典例精析例1如图，在RtABC中， C=90.（1） 若a=b=5,求c;（2） 若a=1,c=2,求b. 变式题1 在RtABC中， C=90.（1） 若a：b=1：2 ，c=5,求a;（2） 若b=15，A=30,求a,c.方法总结:已知直角三角形两边关系和第三边的长求未知两边时，要运用方程思想设未知数，根据勾股定理列方程求解.变式题2 在RtABC中，AB4，AC3，求BC的长.方法总结:当直角三角形中所给的两条边没有指明是斜边或直角边时，其中一较长边可能是直角边，也可能是斜边，这种情况下一定要进行分类讨论，否
15、则容易丢解.例2已知ACB=90,CDAB,AC=3,BC=4.求CD的长.方法总结:由直角三角形的面积求法可知直角三角形两直角边的积等于斜边与斜边上高的积，它常与勾股定理联合使用针对训练求下列图中未知数x、y的值：二、课堂小结内 容勾股定理如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.注 意1.在直角三角形中2.看清哪个角是直角3.已知两边没有指明是直角边还是斜边时一定要分类讨论当堂检测1.下列说法中,正确的是 （ ）A.已知a,b,c是三角形的三边，则a2+b2=c2B.在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方C.在RtABC中，C=90,所以a2+b2=c2
16、D.在RtABC中，B=90,所以a2+b2=c22. 右图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为_.3.在ABC中，C=90.（1）若a=15，b=8，则c=_. （2）若c=13，b=12，则a=_.4.若直角三角形中，有两边长是5和7，则第三边长的平方为_.5.求斜边长17cm、一条直角边长15cm的直角三角形的面积.6.如图，在ABC中，ADBC，B=45，C=30，AD=1，求ABC的周长 能力提升：7.如图，以RtABC的三边长为斜边分别向外作等腰直角三角形若斜边AB3，求ABE及阴影部分的面积. 第十七章 勾股定理17.1 勾股定理第2课时 勾股定理在实际生活中的应用学习目标
17、：1.会运用勾股定理求线段长及解决简单的实际问题；2.能从实际问题中抽象出直角三角形这一几何模型，利用勾股定理建立已知边与未知边长度之间的联系，并进一步求出未知边长.重点：运用勾股定理求线段长及解决简单的实际问题.难点：能从实际问题中抽象出直角三角形这一几何模型，利用勾股定理建立已知边与未知边长度之间的联系，并进一步求出未知边长.自主学习一、知识回顾1. 你能补全以下勾股定理的内容吗？如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么_.2. 勾股定理公式的变形：a=_,b=_,c=_.3. 在RtABC中，C=90. (1)若a=3,b=4,则c=_;(2)若a=5,c=13,则b=_
18、. 课堂探究八、 要点探究探究点1：勾股定理的简单实际应用典例精析例1在一次台风的袭击中，小明家房前的一棵大树在离地面6米处断裂，树的顶部落在离树根底部8米处.你能告诉小明这棵树折断之前有多高吗？方法总结:利用勾股定理解决实际问题的一般步骤：（1）读懂题意，分析已知、未知间的关系；（2）构造直角三角形；（3）利用勾股定理等列方程；（4）解决实际问题.针对训练1. 湖的两端有A、B两点，从与BA方向成直角的BC方向上的点C测得CA=130米,CB=120米,则 AB为 ( )A.50米 B.120米 C.100米 D.130米2.如图，学校教学楼前有一块长方形长为4米，宽为3米的草坪，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在草坪内走出了一条“径路”，却踩伤了花草.（1）求这条“径路”的长；（2）他们仅仅少走了几步(假设2步为1米)？探究点2：利用勾股定理求两点距离及验证“HL”思考:在八年级上册中，我们曾经