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1、嘉兴学院南湖学院（2011届） 本科毕业论文（设计）题目： 线性方程组的求解及其应用 专业： 数学与应用数学 班级 学号： 姓名： 指导教师： 完成日期： 2011.5.5 诚 信 声 明我声明，所呈交的论文(设计)是本人在老师指导下进行的研究工作及取得的研究成果据我查证，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文(设计)中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得嘉兴学院或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料我承诺，论文(设计)中的所有内容均真实、可信论文(设计)作者签名： 签名日期： 年 月 日授 权 声 明学校有权保留送交论文（设计）的原件，允许论文（设计）被查阅和借阅，学校
2、可以公布论文（设计）的全部或部分内容，可以影印、缩印或其他复制手段保存论文（设计），学校必须严格按照授权对论文(设计)进行处理，不得超越授权对论文（设计）进行任意处置论文(设计)作者签名： 签名日期： 年 月 日线性方程组的求解及其应用*（*学院）摘要：线性方程组是线性代数中一个最基础的内容，它在科学和工程计算等领域都发挥着重要的作用本文主要讨论线性方程组解的基本结构，并运用克拉默法则，高斯消元法和追赶法等来求解另外还研究了它在解析几何，高等代数，运筹学等学科以及其他学科领域中的一些简单的应用通过线性方程组的求解及其应用，使很多繁琐的问题变得方便快捷关键词：线性方程组；克拉默法则；高斯消元法；
3、LU分解；应用The Solution of Linear System of Equations and Its Application*（* University）Abstract：Linear system of equations is one of the most basic content in linear algebra. It plays an important role in many areas, for example in science and engineering calculation. This article discusses the basic s
4、tructure solution of linear equations, and use Cramer's rule, Gauss-elimination and chase way to find solutions. In addition, it also examines its in analytic geometry, higher algebra, operations research, as well as other areas of some simple applications. By the solution of linear system of eq
5、uations and its application, we can make a lot of complicated problems becoming more convenient. Key words：Linear equations; Cramer's rule; Gauss-elimination; LU-decomposition; Application目 录1 引言12 线性方程组求解22.1 概念22.2 解的情况及其通解32.3 克拉默法则52.4 高斯消元法72.5 追赶法92.5.1 LU分解92.5.2 追赶法103 线性方程组的应用133.1 在解析几
6、何中的应用133.2 在高等代数中的应用133.3 在运筹学中的应用143.4 在化学中的应用153.5 在经济学中的应用163.6 在控制科学中的应用184 结束语21致谢22参考文献23嘉兴学院南湖学院本科生毕业论文（设计）1 引言线性方程组即各个方程关于未知量均为一次的方程组对线性方程组的研究，中国比欧洲至少早1500年，记载在公元初九章算术方程章中线性方程组是线性代数的主要内容，它主要包括线性方程组有解性的判定、线性方程组的求解和线性方程组解的结构等而且随着现代工业的发展，线性方程组的应用出现在各个领域，伴随着大量方程和多未知数的出现，寻找简便而且准确的求解方法就显得十分重要而且具有现
7、实意义因此对线性方程组解法的研究就显得十分必要本文主要内容是讨论了线性方程组解的几种基本情况，以及有不唯一解时的通解表示形式其次还介绍了线性方程组当解唯一时的三种求解方法，分别是：1、克拉默法则；2、高斯消元法；3、追赶法另外本文还介绍了线性方程组在高等代数，解析几何，运筹学等数学领域以及在其他学科领域中的一些基本的应用232 线性方程组求解线性方程组的核心问题是研究它何时有解，以及解是什么本节主要对线性方程组解的情况进行讨论，给出当解不唯一时通解的表示形式另外还介绍了几种特殊的线性方程组的求解方法线性方程组可以分成两类，一类是未知量个数与方程的个数相等，另一类是未知量个数与方程的个数不等对于
8、前一类特殊的线性方程组，我们可以采用克拉默法则，对于后一种线性方程组我们可以采用高斯消元法而追赶法是数值计算中解线性方程组的一种直接法，它能在无舍入误差存在的情况下，经过有限步运算即可求得方程组的精确解的算法2.1 概念线性方程组的一般形式如下：(2.1)其中是n个未知量，是m个一次方程的系数，称为方程组的常数项我们总是假设系数和常数项在某个领域K中取值如果所有的常数项都等于0，即(2.2)则方程组(2.2)称为齐次线性方程组否则称为非齐次线性方程组线性方程组(2.1)的解是数域K的一个有序数组，当未知量分别用代入时，(2.1)中的每个方程都成立 我们将方程组(2.1)记为矩阵形式其中我们称为
9、此线性方程组的系数矩阵，如果再把常数项也添加进去，使它成为矩阵的最后一列：称它为此线性方程组的增广矩阵，记为2.2 解的情况及其通解一般求解线性方程组前，我们要先讨论该线性方程组解的情况它可能无解，可能只存在唯一解或者可能有无穷多组解本小节，我们主要讨论线性方程组解的情况，以及它的通解表示形式对于一般情况下的线性方程组(2.1)，将它的增广矩阵化为行阶梯矩阵记(2.3)其中比少了最后一列，为R的主元所在列的个数，即全不等于零若(即)，则原方程组(2.1)无解若(即)，且，则原方程组(2.1)有唯一解若(即)，且，则原方程组(2.1)有无穷多组解这无穷多组解可以用一般解来表示，其中自由变量有个，
10、主变量有个如果对于一般情况下的齐次线性方程组(2.2)，它显然有一组零解我们将方程组(2.2)的系数矩阵化为行阶梯矩阵(比(2.3)少最后一列)若，则齐次线性方程组(2.2)只有零解若，则齐次线性方程组(2.2)有无穷多个解若，则齐次线性方程组(2.2)必有非零解一般线性方程组的求解步骤大致为：1，写出它的增广矩阵；2，将增广矩阵变化为行阶梯矩阵，判断方程组是否有解；3，如果有解，写出行阶梯矩阵所对应的与原方程同解的方程组；4，写出原方程组的通解下面我们通过例子来说明线性方程组的通解的表示形式例2.2.1 求线性方程组的通解解：首先把增广矩阵化为行阶梯矩阵因为，所以方程组有解，且解有无穷多个所
11、以其中为主变量，为自由变量由于齐次线性方程组的增广矩阵最后一列元素全为零，在作初等变换时，所得矩阵的最后一列元素仍为零，所以只写出其系数矩阵求解即可2.3 克拉默法则对于其次线性方程组来说，它有一个零解：因此对于其次线性方程就是研究它何时有非零解及非零解的形式如何这一节，我们只考虑方程个数等于未知量个数，即当(2.1)中时的情况，即(2.4)并且系数矩阵的行列式不等于0如果线性方程组(2.4)中，系数矩阵的行列式不等于0，即，那么，此方程有唯一解：其中这就是克拉默(Cramer)法则如果对于齐次线性方程组它的系数矩阵的行列式不等于0，那么它只有零解下面我们通过具体的例子来应用克拉默法则求解线性
12、方程组例2.3.1 解线性方程组解： 而 所以即原方程组的解为例2.3.2 取何值时，下述方程组有非零解：解：该齐次方程组有非零解，当且仅当其系数矩阵的行列式所以因此，当时，所给齐次方程组有非零解2.4 高斯消元法高斯(Gauss)消元法解线性方程组最早出现在在我们古代的数学著作九章算术中九章算术第八章“方程”主要研究线性方程组的解法其基本思想是消元在解方程组时，将方程组的系数(包括常数)分离出来排成一个数表，相当于现在线性代数中的增广矩阵，然后通过类似于矩阵初等变换的方法消元此方法在西方被称为“高斯消元法”高斯消元法的基本思想是：通过一系列的加减进行消元运算，也就是代数中的加减消去法，将方程
13、组化为上三角矩阵，然后，再逐一回代，解出方程组本节将简单介绍高斯消元法的基本思想，并且运用它来解决形如(2.1)，并且存在唯一解的线性方程组下面我们通过具体的例子来了解高斯消元法的主要解题过程例2.4.1 解线性方程组(2.5)解：首先，我们将(2.5)中第二个方程减去第一个方程的倍，再将第三个方程减去第一个方程的2倍，则得到等价方程组 (2.6)其中(2.5)中的第二，第三个方程中的已经消去了类似的，我们将(2.6)中的第三个方程减去第二个方程的倍，又可以消去第三个方程中的变量，最后得到与(2.5)等价的方程组(2.7)这个方程很容易求解由第三个方程解出，将其带入第二个方程解出再将代入第一个
14、方程解出其中，将原方程组(2.5)化成方程组(2.7)的过程叫做消元过程，求解方程组(2.7)的过程称为回代过程下面，我们用矩阵变化来描绘消元的过程线性方程组(2.5)可以写成矩阵的形式其增广矩阵为把增广矩阵变成阶梯形矩阵后，再写出它代表的方程组用代入消元法解上述第一个阶梯形方程组，或者直接由第二个方程组就能求得原方程组的全部解2.5 追赶法求解线性方程组除了上述几种常规的方法外，还常用到追赶法将线性方程组的系数矩阵分解为一个下三角阵和一个上三角阵的乘积，再利用追赶法来求解线性方程组而如何将系数矩阵分解为一个下三角阵和一个上三角阵的乘积，则需要用到LU分解法，也称三角形分解法LU分解法的优点是
15、当方程组左端系数矩阵不变，仅仅是方程组右端列向量改变时，能够方便地求解方程组本小节将讨论LU分解的方法以及用如何用追赶法解线性方程组2.5.1 LU分解设的前n-1个顺序主子矩阵非奇异，则存在单位下三角阵，及上三角阵，使而且这样的分解是唯一的设矩阵有LU分解，即比较两端的第一行元素得比较两端的第一列元素得比较两端的第二行的其余元素得比较两端的第二列其余元素得则对于一般的用递推关系得出(2.8)即可求出和，从而实现的三角分解这一过程就是矩阵的LU分解2.5.2 追赶法将线性方程组的系数矩阵，通过公式(2.8)进行LU分解后，再通过追赶法解出该线性方程组，是最有效快捷的方法追赶法的关键在于它的追过
16、程和赶过程记a) 分解对计算b) 追过程对于计算c) 赶过程对于计算而对于线性方程组（2.1）中，可得该线性方程组的Jacobi迭代公式如下：简记成：下面我们通过具体的例子来了解用追赶法解线性方程组的解题过程例2.5.1 用追赶法解线性方程组解：系数矩阵利用公式(2.8)对进行LU分解，所以追过程：解即赶过程：解即即得线性方程组的解线性方程组的形式多种多样，对应的解法也不胜枚举本节只是讨论了平时最常用的几种特殊的求解方法随着现代工业的发展，线性方程组应用到了各方各面的领域中，对于线性方程组的解的各种研究也将持续的进行下去3 线性方程组的应用线性方程组一直都是理工科中最基础且最重要的知识之一，在
17、很多的解题过程中都会运用到线性方程组来进行求解并且随着现代化工业的发展，线性方程组的应用也越来越多的运用到了各个领域研究中这一节，我们主要讨论线性方程组在高等代数，解析几何，运筹学等数学学科以及在其他学科中的一些基本的应用3.1 在解析几何中的应用解析几何是数与形的有机结合，它将几何体用代数形式巧妙的表示出来，然后通过研究代数方程的相关性质，从而揭示几何图形的内在本质例3.1.1 已知三次曲线过4个点其中，互异试求方程的系数解：将四个点的坐标分别代入三次曲线的方程，得到非齐次线性方程组这个关于的方程组的系数行列式D是范德蒙(Vandermonde)行列式，即根据克拉默法则，它有唯一解，其中是以
18、替代D中第j列元素所得的行列式3.2 在高等代数中的应用线性方程组在高等代数中的一个应用是，当我们已知一组字母构成有非零解的齐次线性方程组的系数，可以求出或证明这组字母间的关系式例3.2.1 已知，求证：或或证明：由已经条件可得齐次线性方程组因为，所以该方程组存在非零解又因为齐次线性方程组的系数行列式不等于零时，只有非零解，所以有 展开此行列式并合并后可得 即：或或3.3 在运筹学中的应用在运筹学中，很多问题往往要用到线性方程组中的知识去运算求解例3.3.1 有三个生产同一产品的工厂，和，其年产量分别为40（吨），20（吨），10（吨），该产品每年有两个用户和，其用量分别为45（吨），25（吨
19、），由各产地到各用户的距离（公里）如下表所示（）各厂的产品如何调配才能使运费最少？455892587236解：为了解决这个问题，我们假设各厂调运到各户的产品数量分别如下表所示：那么，容易看出，三个厂的总产量与两个用户的总用量刚好相等，所以对产地来说产品应全部调出，因此有同时对用户来说调来的产品刚好是所需要的，因此又有从到就是应满足的一些条件我们再来看如何刻画运费，我们知道，在道路情况相同的情况下运费与距离成正比，因此把(吨)的货物由运到的运费为45的倍数，而把(吨)的货物由运到的运费为58的同一倍数，因此，它们的和s=45+58+92+58+72+36就可以用来刻画运费3.4 在化学中的应用线
20、性方程组在化学中应用到最多的，是化学方程式的配平问题化学方程式表示化学反应中消耗和产生的物质的量配平化学反应方程式就是必须找出一组数使得方程式左右两端的各类原子的总数对应相等一个系统的方法就是建立能够描述反应过程中每种原子数目的向量方程，然后找出该方程组的最简的正整数解例3.4.1 配平化学方程式其中为正整数解：上述化学反应式中包含5类原子（钾、锰、氧、硫、氢），所以对方程式的每一种反应物和生成物构造一个中的向量，其中每一种反应物和生成物构成如下向量：其中，每一个向量的各个分量依次表示反应物和生成物中钾、锰、氧、硫、氢的原子数目为了配平化学方程式，系数必须满足方程组求解该齐次线性方程组，得到通
21、解：由于化学方程式通常取最简的正整数，因此在通解中取即得配平后的化学方程式：3.5 在经济学中的应用当科学家、工程师或经济学家研究一些数量在网络中的流动时自然推导出线性方程组例如，城市规划和交通工程人员监控一个网络状的市区道路的交通流量模式；电气工程师计算流经电路的电流；以及经济学家分析通过分销商和零售商的网络从制造商到顾客的产品销售，许多网络中的方程组涉及成百甚至上千的变量和方程一个网络包含一组称为接合点或者节点的点集，并由称为分支的线或弧连接部分或全部的节点流的方向在每个分支上有标示，流量（速度）也有显示或用变量标记网络流的基本假设是网络的总流入量等于总流出量，且流经一个节点的总输入等于总
22、输出例3.5.1 如图(3.5.1)中的网络是巴尔的摩市区一些单行道路在一个下午早些时候（以每小时车辆数目计算）的交通流量计算该网络的车流量图(3.5.1)解： 写出该流量的方程组，并求其通解如图（3.5.1）所示，标记道路交叉口（节点）和未知的分支流量在每个交叉口，令其车辆驶入数目等于车辆驶入数目并且，网络中的总流入量（500+300+100+400）等于总流出量（300+600），经简化得=400该方程与上面四个方程联立并重排后得到下面的方程组：行化简相应的增广矩阵得到该网络的车流量为网络分支中的一个负流量对应模型中显示方向相反的流量由于本问题中的道路是单行线，这里不允许有负值变量这种情况
23、给变量的可能取值增加了某种限制例如，因为不能取负值，因此3.6 在控制科学中的应用在现代鲁棒控制问题中，求解矩阵的方程的基本思想是将方程转化成线性方程组，然后进行求解其中运用到积定义：设，则称由所确定的矩阵是和的积或称和的直积，记作性质：a)b)c)d)e) 设则f) 设则g) 设1) 若均为对称矩阵，则也是对称矩阵2) 若均为正规矩阵，则也是正规矩阵h) 设与分别是阶与阶可逆矩阵，则也为可逆矩阵，且考虑矩阵方程(3.6.1)式中，定理：方程（3.6.1）存在唯一解的充分条件是，矩阵和的任何两个特征值只和不为零，即和使式成立利用积，可以将矩阵方程（3.6.1）写成线性方程组(3.6.2)式中线
24、性方程组（3.6.2）有唯一解的充分条件是它的系数矩阵（3.6.3）非奇异，即（3.6.3）的矩阵的特征值不为零，为所以式不为零，是方程（3.6.1）有唯一解的充要条件很多复杂繁琐的问题，运用线性方程组的知识就能很方便快捷的求出它的解本节所举出的几个应用只是线性方程组在其他领域中一些最简单基本的应用在今后的研究道路上，随着新问题的不断涌现，线性方程组的应用将越来越广泛，线性方程组的重要性也将越来越呈现出来4 结束语本文主要讨论了线性方程组解的几种基本结构以及通解的表示形式，并且举出了当线性方程组存在唯一解时的三种常见的解题方法，还举出了线性方程组在各个领域的几种基本的应用线性方程组是线性代数中
25、一个最重要的内容，它除了本文介绍的几种解题的方法以及应用外，还有很多其它的解题方法以及更多广泛的应用它是数学以及其它理工科解题时必不可少的知识之一对线性方程组的解题方法以及它的应用，也会一直不断的研究下去而且随着现代工业的发展，现代科技的进步，线性方程组的思想也将越来越多的被应用到各个领域中去致谢行文至此，已接近尾声；岁月如梭，我四年的大学时光也即将敲响结束的钟声离别在即，站在人生的又一个转折点上，心中难免思绪万千，一种感恩之情油然而生生我者父母，感谢生我养我，含辛茹苦的父母是你们，为我的学习创造了条件；是你们，一如既往的站在我的身后默默的支持着我没有你们就不会有我的今天谢谢你们，我的父亲母亲
26、！育我成才者老师感谢我的论文指导老师舒伟仁老师，这篇论文是在舒老师的的悉心指导与鼓励下完成的舒老师为我提供了良好的开题条件，在撰写论文方面提供了很多专业性的指导舒老师渊博的学识、严谨的治学态度、精益求精的工作作风和诲人不倦的高尚师德，都将深深地感染和激励着我感谢我的生活指导老师马宗蔚老师在四年的大学学习生活中，马老师不仅在学业上给我悉心指导，同时还在思想、生活上给我无微不至的关怀，在此谨向马老师致以诚挚的感谢！感谢数学N07级的同学们四年来，是你们让我的大学生活变得更加丰富多彩，我们一起经历了大学的别样生活，愿同窗友谊之树长青最后感谢徐虹同学，一直陪伴我度过大学的四年时光，有福同享，有难同当她
27、曾让我感受到前所未有的自信与快乐，曾向我展示了一个特别的世界，让我意识到自己的许多不足，真诚地道一声“谢谢”!本文参考了大量的文献资料，在此，向各位学术界的前辈们致敬！参考文献1 李排昌, 左萍. 行列式与解线性方程组J. 中国人民公安大学学报(自然科学版). 2001, (01): 100-102 .2 Bernard Kolman, David R.Hill. Linera Algebra An Applied First CourseM. Beijing: Higher Education Press, 2005.3 朱家生. 数学史M. 北京: 高等教育出版社, 2004.4 黄明游,
28、 刘播, 徐涛. 数值计算方法M. 北京: 科学出版社, 2005.5 张俊祖, 葛键. 线性方程组理论在解析几何中的应用J. 陕西教育学院学报. 2006, (01): 105-107 .6 陈志杰. 高等代数与解析几何(上)M. 北京: 高等教育出版社, 2000.7 刘祖望. 有非零解的齐次线性方程组的应用J. 涪陵师范学院学报. 2002, (05):69-70 .8 潘杰,汪泉.齐次线性方程组有非零解条件的应用J.大学数学,2005,21(3):70-73.9 天津大学数学系代数研究组. 线性代数及其应用M. 北京: 科学出版社, 2007.10 David C. Lay. Linear Algebra and Its Applications(Third Edition)M. Beijing:China Machine Press,2005.11 史荣昌,魏丰.矩阵分析M.北京:北京理工大学出版社,2005.12 姜长生,吴庆宪,陈文华等.现代鲁棒控制基础M.哈尔滨:哈尔滨工业大学出版社,2005.