《2022届高三数学一轮复习（原卷版）第3讲 第1课时 两角和与差的正弦、余弦和正切公式.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022届高三数学一轮复习（原卷版）第3讲 第1课时 两角和与差的正弦、余弦和正切公式.doc（13页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、 第 3 讲 简单的三角恒等变换 一、知识梳理 1两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin()sin_cos_cos_sin_； cos()cos_cos_sin_sin_； tan( )tan tan 1tan tan ，均不为k2，kZ . 2二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 22sin_cos_； cos 2cos2sin22cos2112sin2； tan 22tan 1tan2，2均不为k2，kZ . 3三角函数公式的关系 常用结论 四个必备结论 (1)降幂公式：cos21cos 22，sin21cos 22. (2)升幂公式：1cos 22cos2，1cos 22sin2. (
2、3)tan tan tan( )(1 tan tan )， 1sin 2(sin cos )2， 1sin 2(sin cos )2， sin cos 2sin4. (4)辅助角公式 asin xbcos x a2b2sin (x)，其中 tan ba. 二、教材衍化 1若 cos 45. 是第三象限的角，则 sin4_ 解析： 因为 是第三象限角， 所以 sin 1cos235， 所以 sin4352245227 210. 答案：7 210 2sin 347cos 148sin 77cos 58_ 解析：sin 347cos 148sin 77cos 58 sin(27077)cos(905
3、8)sin 77cos 58 (cos 77) (sin 58)sin 77cos 58 sin 58cos 77cos 58sin 77 sin(5877)sin 13522. 答案：22 3化简：sin 50sin 65 1cos 50_ 解析：原式cos 40cos 25 1cos 50 cos 40cos 25 2sin 25cos 4022sin 50 2. 答案： 2 一、思考辨析 判断正误(正确的打“”，错误的打“”) (1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角 ， 是任意角( ) (2)两角和与差的正切公式中的角 ， 是任意角( ) (3)cos 80cos 20sin 80sin
4、 20cos(8020)cos 6012.( ) (4)公式 tan()tan tan 1tan tan 可以变形为 tan tan tan()(1tan tan )， 且对任意角 ， 都成立( ) (5)存在实数 ，使 tan 22tan .( ) 答案：(1) (2) (3) (4) (5) 二、易错纠偏 常见误区| (1)不会用公式找不到思路； (2)不会合理配角出错 1sin 15sin 75的值是_ 解析：sin 15sin 75sin 15cos 15 2sin(1545) 2sin 6062. 答案：62 2若 tan 3，tan()2，则 tan _ 解析：tan tan()t
5、an tan（）1tan tan（） 3213217. 答案：17 第 1 课时 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 考点一 和差公式的直接应用(基础型) 复习指导| 1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式 2能从两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系 核心素养：逻辑推理、数学运算 1已知 sin 35，2， ，tan()12，则 tan()的值为( ) A211 B211 C112 D112 解析：选 A因为 sin 35，2， ， 所以 cos 1sin245， 所以 tan sin cos 34. 因为 tan()12ta
6、n ， 所以 tan 12， 则 tan()tan tan 1tan tan 211. 2(2019 高考全国卷)已知 0，2，2sin 2cos 21，则 sin ( ) A15 B55 C33 D2 55 解析：选 B由 2sin 2cos 21，得 4sin cos 12sin21，即 2sin cos 1sin2.因为 0，2，所以 cos 1sin2 ， 所以 2sin 1sin2 1sin2 ， 解得 sin 55，故选 B 3已知 2， ，sin 55. (1)求 sin4 的值； (2)求 cos562 的值 解：(1)因为 2， ，sin 55， 所以 cos 1sin22
7、55， 故 sin4 sin 4cos cos 4sin 222 5522551010. (2)由(1)知sin 22sin cos 2552 5545， cos 212sin21255235，所以 cos562 cos 56cos 2sin 56sin 23235124543 310. 利用三角函数公式时应注意的问题 (1)首先要注意公式的结构特点和符号变化规律 例如两角差的余弦公式可简记为： “同名相乘，符号反” (2)应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用 (3)应注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用 考点二 三角函数公式的逆用与变形应用(基础型) 复习指导| 能运用三角函
8、数公式进行简单的恒等变换(包括引导导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆) 核心素养：数学运算 (1)在ABC 中，若 tan Atan Btan Atan B1，则 cos C 的值为( ) A22 B22 C12 D12 (2)(2018 高考全国卷)已知 sin cos 1， cos sin 0， 则 sin()_ 【解析】 (1)由 tan Atan Btan Atan B1，可得tan Atan B1tan Atan B1， 即 tan(AB)1，又(AB)(0，)， 所以 AB34，则 C4，cos C22. (2)因为 sin cos 1，cos sin 0， 所以 si
9、n2cos22sin cos 1 ， cos2sin22cos sin 0 ， 两式相加可得 sin2cos2sin2cos22(sin cos cos sin )1， 所以 sin()12. 【答案】 (1)B (2)12 (1)三角函数公式活用技巧 逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式； tan tan ， tan tan (或 tan tan )， tan()(或 tan()三者中可以知二求一，注意公式的正用、逆用和变形使用 (2)三角函数公式逆用和变形使用应注意的问题 公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系； 注意特殊角的应用，当式子中出现12，1，32，
10、 3等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”以便构造适合公式的形式 1(1tan215)cos215的值等于( ) A1 32 B1 C32 D12 解析：选 C(1tan215)cos215cos215sin215cos 3032. 2已知 sin 213，则 cos24( ) A13 B13 C23 D23 解析：选 Dcos241cos2221212sin 212121323. 3(一题多解) 3cos 154sin215cos 15( ) A12 B22 C1 D 2 解析：选 D法一： 3cos 154sin215cos 15 3cos 152sin 152sin 15cos
11、 15 3cos 152sin 15sin 30 3cos 15sin 152cos(1530)2cos 45 2.故选 D 法二： 因为 cos 156 24， sin 156 24， 所以 3cos 154sin215 cos 15 36 2446 2426 246 24( 32 3)6 24(2 32) 2.故选 D 考点三 三角公式的灵活应用(综合型) 复习指导| 三角公式的灵活应用实质是三角恒等变换，恒等变换前需清楚已知式中角的差异、函数名称的差异、运算结构的差异，寻求联系，实现转化 角度一 三角函数公式中变“角” (2020 黑龙江大庆实验中学考前训练)已知 ，34， ，sin()
12、35，sin42425，则 cos4_ 【解析】 由题意知，32，2 ，sin()350，所以 cos()45，因为 42，34，所以 cos4725，cos4cos（）4cos()cos4sin()sin445. 【答案】 45 角度二 三角函数公式中变“名” 求值：1cos 202sin 20sin 101tan 5tan 5. 【解】 原式2cos21022sin 10cos 10sin 10cos 5sin 5sin 5cos 5 cos 102sin 10sin 10cos25sin25sin 5cos 5 cos 102sin 10sin 10cos 1012sin 10 cos
13、102sin 102cos 10cos 102sin 202sin 10 cos 102sin（3010）2sin 10 cos 10212cos 1032sin 102sin 103sin 102sin 1032. 三角函数公式应用的解题思路 (1)角的转换：明确各个角之间的关系(包括非特殊角与特殊角、已知角与未知角)，熟悉角的变换技巧，及半角与倍角的相互转化，如：2()()，()()，406020，4 4 2，224等 (2)名的变换：明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦 提醒 转化思想是实施三角恒等变换的主导思想，恒等
14、变换前需清楚已知式中角的差异、函数名称的差异、运算结构的差异，寻求联系，实现转化 求 4sin 20tan 20的值 解：原式4sin 20sin 20cos 20 2sin 40sin 20cos 202sin （6020）sin 20cos 20 3cos 20sin 20sin 20cos 20 3. 基础题组练 1计算sin 133cos 197cos 47cos 73的结果为( ) A12 B33 C22 D32 解析：选 Asin 133cos 197cos 47cos 73 sin 47(cos 17)cos 47sin 17 sin(4717)sin 3012. 2(2020
15、福建五校第二次联考)已知 cos4 45，则 sin 2( ) A15 B15 C725 D725 解析：选 C法一：因为 cos4 45，所以 sin 2sin224cos 24 2cos24 124521725.故选 C 法二：因为 cos4 45，所以22(cos sin )45，所以 cos sin 4 25，平方得1sin 23225，得 sin 2725.故选 C 3(2020 陕西榆林模拟)已知cos sin 3cos(2)，|2，则 sin 2( ) A8 29 B2 23 C4 29 D2 29 解析：选 C因为cos sin 3cos(2)，所以cos sin 3cos .
16、 又|2，故 sin 13，cos 2 23， 所以 sin 22sin cos 2132 234 29， 故选 C 4(2020 武汉模拟)已知 cosx614，则 cos xcosx3( ) A34 B34 C14 D34 解析：选 A因为 cosx614， 所以 cos xcosx3cos x12cos x32sin x 332cos x12sin x 3cosx6 31434. 故选 A 5(2020 湘东五校联考)已知 sin()12，sin()13，则 log5tan tan 2等于( ) A2 B3 C4 D5 解析：选 C因为 sin()12，sin()13，所以 sin co
17、s cos sin 12，sin cos cos sin 13，所以 sin cos 512，cos sin 112，所以tan tan 5，所以 log5tan tan 2log5524.故选 C 6(2020 洛阳统考)已知 sin cos 52，则 cos 4_ 解析：由 sin cos 52，得 sin2cos22sin cos 1sin 254，所以 sin 214，从而 cos 412sin221214278. 答案：78 7(2020 甘肃、青海、宁夏联考改编)若 tan(2)2，tan 3，则 tan()_，tan _ 解析：因为 tan(2)2，tan 3， 所以 tan()
18、tan(2)tan（2）tan 1tan（2）tan 2（3）12（3）1.tan tan()1（3）1（1）（3）12. 答案：1 12 8 已知 sin()cos cos()sin 35， 是第三象限角， 则 sin54_ 解析：依题意可将已知条件变形为 sin()sin 35，所以 sin 35. 又 是第三象限角，因此有 cos 45， 所以 sin54sin4 sin cos 4cos sin 47 210. 答案：7 210 9已知 tan 2. (1)求 tan4的值； (2)求sin 2sin2sin cos cos 21的值 解：(1)tan4tan tan 41tan ta
19、n 4211213. (2)sin 2sin2sin cos cos 21 2sin cos sin2sin cos 2cos22tan tan2tan 2224221. 10已知角 的顶点与原点 O 重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P35，45. (1)求 sin() 的值； (2)若角 满足 sin()513，求 cos 的值 解：(1)由角 的终边过点 P35，45，得 sin 45，所以 sin()sin 45. (2)由角 的终边过点 P35，45，得 cos 35， 由 sin()513，得 cos()1213. 由 () 得 cos cos()cos sin()s
20、in ， 所以 cos 5665或 cos 1665. 综合题组练 1(2020 河南百校联盟联考)已知 为第二象限角，且 tan tan 122tan tan 122，则 sin56等于( ) A1010 B1010 C3 1010 D3 1010 解析：选 Ctan tan 122tan tan 122tan tan 121tan tan 122tan122，因为为第二象限角， 所以sin122 55， cos1255， 则sin56sin6sin124cos12sin 4sin12cos 43 1010. 2(创新型)公元前 6 世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图
21、，发现了黄金分割约为 0.618，这一数值也可以表示为 m2sin 18，若 m2n4，则m n2cos2271( ) A8 B4 C2 D1 解析：选 C因为 m2sin 18，m2n4， 所以 n4m244sin2184cos218. 所以m n2cos22712sin 18 4cos2182cos22714sin 18cos 182cos22712sin 36cos 542sin 36sin 362.故选 C 3已知 02，且 sin 35，则 tan54_；sin2sin 2cos2cos 2_ 解析：因为 02，且 sin 35，所以 cos 1sin245，所以 tan sin c
22、os 34， 则 tan54tan(4)tan 11tan 7. sin2 sin 2cos2cos 2sin22sin cos 2cos2sin2 tan22tan 2tan29166429163323. 答案：7 3323 4设 ，0，且满足 sin cos cos sin 1，则 sin(2)sin(2)的取值范围为_ 解析：由 sin cos cos sin 1，得 sin()1， 又 ，0，所以 2， 所以0，02，即2， 所以 sin(2)sin(2) sin22sin(2) cos sin 2sin4. 因为2，所以34454， 所以1 2sin41， 即取值范围为1，1 答案：
23、1，1 5已知函数 f(x)sinx12，xR. (1)求 f4的值； (2)若 cos 45，0，2，求 f23的值 解：(1)f4sin412sin612. (2)f23sin2312 sin2422(sin 2cos 2) 因为 cos 45，0，2，所以 sin 35， 所以 sin 22sin cos 2425， cos 2cos2sin2725， 所以 f2322(sin 2cos 2) 22242572517 250. 6已知 sin cos 3 55，0，4，sin435，4，2. (1)求 sin 2 和 tan 2 的值； (2)求 cos(2)的值 解：(1)由题意得(sin cos )295， 即 1sin 295，所以 sin 245. 又 20，2，所以 cos 2 1sin2235， 所以 tan 2sin 2cos 243. (2)因为 4，2，所以 40，4， 又 sin435，所以 cos445， 于是 sin 242sin4cos42425. 又 sin 24cos 2， 所以 cos 22425， 又 22， ，所以 sin 2725， 又 cos21cos 2245，0，4， 所以 cos 2 55，sin 55. 所以 cos(2)cos cos 2sin sin 2 2 55242555725 11 525.