《2022届高三数学一轮复习（原卷版）第九章 9.5椭圆-教师版.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022届高三数学一轮复习（原卷版）第九章 9.5椭圆-教师版.docx（30页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、 椭圆知识梳理1椭圆的概念平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距集合PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：(1)若a>c，则集合P为椭圆；(2)若ac，则集合P为线段；(3)若a<c，则集合P为空集2椭圆的标准方程和几何性质标准方程1 (a>b>0)1 (a>b>0)图形性质范围axabybbxbaya对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1(a，0)，A2(a，0)B1(0，b)，B2(0，b)A1(0
2、，a)，A2(0，a)B1(b,0)，B2(b,0)轴长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b焦距|F1F2|2c离心率e(0,1)a，b，c的关系a2b2c2【知识拓展】点P(x0，y0)和椭圆的关系(1)点P(x0，y0)在椭圆内<1.(2)点P(x0，y0)在椭圆上1.(3)点P(x0，y0)在椭圆外>1.例题解析题型一 基础【例1】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“×”)(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆(×)(2)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成PF1F2的周长为2a2c(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆
3、的半焦距)()(3)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆(×)(4)方程mx2ny21(m>0，n>0，mn)表示的曲线是椭圆()(5)1(ab)表示焦点在y轴上的椭圆(×)(6)1(a>b>0)与1(a>b>0)的焦距相等()【例2】1、椭圆1的焦距为4，则m等于()A4 B8 C4或8 D12答案C解析由题意知或解得m4或m8.2已知椭圆1(m>0)的左焦点为F1(4,0)，则m等于()A2 B3 C4 D9答案B解析由题意知25m216，解得m29，又m>0，所以m3.3直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离
4、为其短轴长的，则该椭圆的离心率为()A. B. C. D.答案B解析如图，由题意得，|BF|a，|OF|c，|OB|b，|OD|×2bb.在RtFOB中，|OF|×|OB|BF|×|OD|，即cba·b，解得a2c，故椭圆离心率e，故选B.4已知点P是椭圆1上y轴右侧的一点，且以点P及焦点F1，F2为顶点的三角形的面积等于1，则点P的坐标为_答案或解析设P(x，y)，由题意知c2a2b2541，所以c1，则F1(1,0)，F2(1,0)，由题意可得点P到x轴的距离为1，所以y±1，把y±1代入1，得x±，又x>0，所以
5、x，所以P点坐标为或.题型二椭圆的定义及标准方程命题点1利用定义求轨迹【例3】如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是()A椭圆 B双曲线C抛物线 D圆答案A解析由条件知|PM|PF|.|PO|PF|PO|PM|OM|R>|OF|.P点的轨迹是以O，F为焦点的椭圆命题点2利用待定系数法求椭圆方程【例4】(1)已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴长是短轴长的3倍，并且过点P(3,0)，则椭圆的方程为_(2)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P1(，1)，P2(，)，则
6、椭圆的方程为_答案(1)y21或1(2)1 解析(1)若焦点在x轴上，设方程为1(a>b>0)，椭圆过P(3,0)，1，即a3，又2a3×2b，b1，方程为y21.若焦点在y轴上，设方程为1(a>b>0)椭圆过点P(3,0)1，即b3.又2a3×2b，a9，方程为1.所求椭圆的方程为y21或1.(2)设椭圆方程为mx2ny21(m>0，n>0且mn)椭圆经过点P1，P2，点P1，P2的坐标适合椭圆方程则两式联立，解得所求椭圆方程为1.命题点3利用定义解决“焦点三角形”问题【例5】已知F1，F2是椭圆C：1(a>b>0)的两个焦
7、点，P为椭圆C上的一点，且.若PF1F2的面积为9，则b_.答案3解析设|PF1|r1，|PF2|r2，则2r1r2(r1r2)2(rr)4a24c24b2，又r1r2b29，b3.【同步练习】1在例5中增加条件“PF1F2的周长为18”，其他条件不变，求该椭圆的方程解由原题得b2a2c29，又2a2c18，所以ac1，解得a5，故椭圆方程为1.2在例5中条件“”、“PF1F2的面积为9”分别改为“F1PF260°”“3”，结果如何？解|PF1|PF2|2a，又F1PF260°，所以|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 60°|F1F2|2，即(|P
8、F1|PF2|)23|PF1|PF2|4c2，所以3|PF1|PF2|4a24c24b2，所以|PF1|PF2|b2，又因为|PF1|PF2|·sin 60°×b2×b23，所以b3.3、(1)已知两圆C1：(x4)2y2169，C2：(x4)2y29，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为()A.1 B.1C.1 D.1(2)设F1、F2分别是椭圆y21的左、右焦点，若椭圆上存在一点P，使()·0(O为坐标原点)，则F1PF2的面积是()A4 B3 C2 D1答案(1)D(2)D解析(1)设圆M的半径为r，
9、则|MC1|MC2|(13r)(3r)16>8|C1C2|，所以M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，且 2a16,2c8，故所求的轨迹方程为1.(2)()·()··0，PF1PF2，F1PF290°.设|PF1|m，|PF2|n，则mn4，m2n212,2mn4，mn1.思维升华(1)求椭圆的方程多采用定义法和待定系数法，利用椭圆的定义定形状时，一定要注意常数2a>|F1F2|这一条件(2)求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于a，b的方程组如果焦点位置不确定，要考虑是否
10、有两解，有时为了解题方便，也可把椭圆方程设为mx2ny21(m>0，n>0，mn)的形式(3)当P在椭圆上时，与椭圆的两焦点F1，F2组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长；利用定义和余弦定理可求|PF1|·|PF2|；通过整体代入可求其面积等题型三椭圆的几何性质【例5】(1)已知点F1，F2是椭圆x22y22的左，右焦点，点P是该椭圆上的一个动点，那么|的最小值是()A0 B1 C2 D2(2)已知O为坐标原点，F是椭圆C：1(ab0)的左焦点，A，B分别为椭圆C的左，右顶点P为C上一点，且PFx轴过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线
11、BM经过OE的中点，则C的离心率为()A. B. C. D.答案(1)C(2)A解析(1)设P(x0，y0)，则(1x0，y0)，(1x0，y0)，(2x0，2y0)，|22.点P在椭圆上，0y1，当y1时，|取最小值2.故选C.(2)设M(c，m)，则E，OE的中点为D，则D，又B，D，M三点共线，所以，a3c，e.【同步练习】1、如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆1(ab0)的右焦点，直线y与椭圆交于B，C两点，且BFC90°，则该椭圆的离心率是_答案解析联立方程组解得B，C两点坐标为B，C，又F(c,0)，则，又由BFC90°，可得·0，代入坐标可得c
12、2a20，又因为b2a2c2.代入式可化简为，则椭圆离心率为e.思维升华(1)利用椭圆几何性质的注意点及技巧注意椭圆几何性质中的不等关系在求与椭圆有关的一些量的范围，或者最大值、最小值时，经常用到椭圆标准方程中x，y的范围，离心率的范围等不等关系利用椭圆几何性质的技巧求解与椭圆几何性质有关的问题时，要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的内在联系(2)求椭圆的离心率问题的一般思路求椭圆的离心率或其范围时，一般是依据题设得出一个关于a，b，c的等式或不等式，利用a2b2c2消去b，即可求得离心率或离心率的范围题型四直线与椭圆【例6】设椭圆1(a>)
13、的右焦点为F，右顶点为A.已知，其中O为原点，e为椭圆的离心率(1)求椭圆的方程；(2)设过点A的直线l与椭圆交于点B(B不在x轴上)，垂直于l的直线与l交于点M，与y轴交于点H.若BFHF，且MOAMAO，求直线l的斜率解(1)设F(c,0)，由，即，可得a2c23c2.又a2c2b23，所以c21，因此a24.所以椭圆的方程为1.(2)设直线l的斜率为k(k0)，则直线l的方程为yk(x2)设B(xB，yB)，由方程组消去y，整理得(4k23)x216k2x16k2120.解得x2或x.由题意得xB，从而yB.由(1)知，F(1,0)，设H(0，yH)，有(1，yH)，.由BFHF，得&#
14、183;0，所以0，解得yH.因此直线MH的方程为yx.设M(xM，yM)，由方程组消去y，解得xM.在MAO中，MOAMAO|MA|MO|，即(xM2)2yxy，化简得xM1，即1，解得k或k.所以直线l的斜率为或.思维升华(1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题涉及弦中点的问题时用“点差法”解决，往往会更简单(2)设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB| (k为直线斜率)提醒：利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式【同步练习】1
15、、温州第一次适应性测试)如图，已知椭圆C：1(a>b>0)经过点(1，)，且离心率等于.点A，B分别为椭圆C的左，右顶点，M，N是椭圆C上不同于顶点的两点，且OMN的面积等于.(1)求椭圆C的方程；(2)过点A作APOM交椭圆C于点P，求证：BPON.(1)解由题意得解得故椭圆C的方程为1.(2)证明方法一设直线OM，ON的方程为ykOMx，ykONx，联立方程组解得M(，)，同理可得N(，)，作MMx轴，NNx轴，M，N为垂足，SOMNS梯形MMNNSOMMSONN(yMyN)(xMxN)xMyMxNyN(xMyNxNyM)()，已知SOMN，化简可得kOMkON.设P(xP，y
16、P)，则4x2y，又已知kAPkOM，所以要证kBPkON，只要证明kAPkBP即可而kAPkBP·，所以可得BPON.(M，N在y轴同侧同理可得)方法二设直线AP的方程为ykOM(x2)，代入x22y24，得(2k1)x28kx8k40，设P(xP，yP)，则它的两个根为2和xP，可得xP，yP，从而kBP.所以只需证kON，即kOMkON，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，若直线MN的斜率不存在，易得x1x2±，从而可得kOMkON.若直线MN的斜率存在，设直线MN的方程为ykxm，代入1，得(2k21)x24kmx2m240，则x1x2，x1x2，8(4k22m2
17、)>0，SOMN|m|·|x1x2|m|·，化简得m4(4k22)m2(2k21)20，得m22k21，kOM·kON.所以可得BPON.题型五 高考中求椭圆的离心率问题考点分析离心率是椭圆的重要几何性质，是高考重点考查的一个知识点，这类问题一般有两类：一类是根据一定的条件求椭圆的离心率；另一类是根据一定的条件求离心率的取值范围，无论是哪类问题，其难点都是建立关于a，b，c的关系式(等式或不等式)，并且最后要把其中的b用a，c表示，转化为关于离心率e的关系式，这是化解有关椭圆的离心率问题难点的根本方法【例7】已知椭圆E：1(ab0)的右焦点为F，短轴的一个端
18、点为M，直线l：3x4y0交椭圆E于A，B两点若|AF|BF|4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是()A. B.C. D.解析左焦点F0，连接F0A，F0B，则四边形AFBF0为平行四边形|AF|BF|4，|AF|AF0|4，a2.设M(0，b)，则，1b2.离心率e ，故选A.答案A【例8】如图，设椭圆y21(a1)(1)求直线ykx1被椭圆截得的线段长(用a，k表示)；(2)若任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围解(1)设直线ykx1被椭圆截得的线段为AM，由得(1a2k2)x22a2kx0， 3分故x10，x2，因此|AM|x
19、1x2|·.6分(2)假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y轴左侧的椭圆上有两个不同的点P，Q，满足|AP|AQ|.记直线AP，AQ的斜率分别为k1，k2，且k1>0，k20，k1k2.8分由(1)知|AP|，|AQ|，故，所以(kk)1kka2(2a2)kk0. 10分由k1k2，k1>0，k20得1kka2(2a2)kk0，因此1a2(a22)， 12分因为式关于k1，k2的方程有解的充要条件是1a2(a22)1，所以a.因此，任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1a，由e，得0<e. 14分所以离心率的取值范围是(0，. 15分
20、课后练习1已知椭圆的中心在原点，离心率e，且它的一个焦点与抛物线y24x的焦点重合，则此椭圆方程为()A.1 B.1C.y21 D.y21答案A解析依题意，可设椭圆的标准方程为1(a>b>0)，由已知可得抛物线的焦点为(1,0)，所以c1，又离心率e，解得a2，b2a2c23，所以椭圆方程为1.2已知椭圆1的离心率为，则k的值为()A21 B21C或21 D.或21答案D解析当9>4k>0，即4>k>5时，a3，c29(4k)5k，解得k.当9<4k，即k<5时，a，c2k5，解得k21，故选D.3已知A1，A2分别为椭圆C：1(a>b&g
21、t;0)的左，右顶点，P是椭圆C上异于A1，A2的任意一点，若直线PA1，PA2的斜率的乘积为，则椭圆C的离心率为()A. B. C. D.答案D解析设P(x0，y0)，则×，化简得1，则，e ，故选D.4已知椭圆：x21，过点P(，)的直线与椭圆相交于A，B两点，且弦AB被点P平分，则直线AB的方程为()A9xy40 B9xy50C2xy20 Dxy50答案B解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为A，B在椭圆x21上，所以两式相减得xx0，得(x1x2)(x1x2)0，又弦AB被点P(，)平分，所以x1x21，y1y21，将其代入上式得x1x20，得9，即直线AB的斜率为9
22、，所以直线AB的方程为y9(x)，即9xy50，故选B.5以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为()A1 B. C2 D2答案D解析设a，b，c分别为椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距，依题意知，当三角形的高为b时面积最大，所以×2cb1，bc1，而2a222(当且仅当bc1时取等号)，故选D.6.设A1，A2为椭圆1(a>b>0)的左，右顶点，若在椭圆上存在异于A1，A2的点P，使得·0，其中O为坐标原点，则椭圆的离心率e的取值范围是()A(0，) B(0，) C(，1) D(，1)答案D解析A1(a,0)，A2(a,0)
23、，设P(x，y)，则(x，y)，(ax，y)，·0，(ax)(x)(y)(y)0，y2axx2>0，0<x<a.将y2axx2代入1，整理得(b2a2)x2a3xa2b20，其在(0，a)上有解，令f(x)(b2a2)x2a3xa2b2，f(0)a2b2<0，f(a)0，如图，(a3)24(b2a2)·(a2b2)a2(a44a2b24b4)a2(a22b2)20，对称轴满足0<<a，即0<<a，<1，>.又0<<1，<<1，故选D.7若椭圆1(a>0，b>0)的焦点在x轴上，过
24、点(2,1)作圆x2y24的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程为_答案1解析设切点坐标为(m，n)，则·1，即m2n2n2m0.m2n24，2mn40，即直线AB的方程为2xy40.直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，2c40，b40，解得c2，b4，a2b2c220，椭圆方程为1.8已知P为椭圆1上的一点，M，N分别为圆(x3)2y21和圆(x3)2y24上的点，则|PM|PN|的最小值为_答案7解析由题意知椭圆的两个焦点F1，F2分别是两圆的圆心，且|PF1|PF2|10，从而|PM|PN|的最小值为|PF1|PF2|127.9椭圆y21的
25、左，右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆上一动点，若F1PF2为钝角，则点P的横坐标的取值范围是_答案(，)解析设椭圆上一点P的坐标为(x，y)，则(x，y)，(x，y)F1PF2为钝角，·<0，即x23y2<0，y21，代入得x231<0，x2<2，x2<.解得<x<，x(，)10已知过椭圆1(a>b>0)的左顶点A(a，0)作直线l交y轴于点P，交椭圆于点Q，若AOP是等腰三角形，且2，则椭圆的离心率为_答案解析AOP是等腰三角形，A(a,0)，P(0，a)设Q(x0，y0)，2，(x0，y0a)2(ax0，y0)解得代入椭圆方
26、程化简，可得，e .11如图，椭圆C：1(a>b>0)的右焦点为F，右顶点，上顶点分别为A，B，且|AB|BF|.(1)求椭圆C的离心率；(2)若斜率为2的直线l过点(0,2)，且l交椭圆C于P，Q两点，OPOQ，求直线l的方程及椭圆C的方程解(1)由已知|AB|BF|，即a，4a24b25a2,4a24(a2c2)5a2，e.(2)由(1)知a24b2，椭圆C：1.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，直线l的方程为y22(x0)，即2xy20.由消去y，得x24(2x2)24b20，即17x232x164b20.32216×17(b24)>0，解得b>.x
27、1x2，x1x2.OPOQ，·0，即x1x2y1y20，x1x2(2x12)(2x22)0，5x1x24(x1x2)40.从而40，解得b1，满足b>.椭圆C的方程为y21.12已知点C(x0，y0)是椭圆y21上的动点，以C为圆心的圆过点F(1,0)(1)若圆C与y轴相切，求实数x0的值；(2)若圆C与y轴相交于A，B两点，求|FA|·|FB|的取值范围解(1)当圆C与y轴相切时，|x0|，又因为点C在椭圆上，所以y1，解得x02±2，因为x0，所以x022.(2)圆C的方程是(xx0)2(yy0)2(x01)2y，令x0，y22y0y2x010，设A(0
28、，y1)，B(0，y2)，则y1y22y0，y1·y22x01，由4y4(2x01)>0及y1x，得22<x0<22，又由点C在椭圆上，得x0，所以x0<22，|FA|·|FB|·(2x0)所以|FA|·|FB|(44,2213已知椭圆1(a>b>0)的左焦点为F，右顶点为A，上顶点为B，O为坐标原点，M为椭圆上任意一点过F，B，A三点的圆的圆心坐标为(p，q)(1)当pq0时，求椭圆的离心率的取值范围；(2)若点D(b1,0)，在(1)的条件下，当椭圆的离心率最小时，()·的最小值为，求椭圆的方程解(1)设椭圆半焦距为c.由题意AF，AB的中垂线方程分别为x，y(x)，于是圆心坐标为(，)所以pq0，整理得abbcb2ac0，即(ab)(bc)0，所以bc，于是b2c2，即a2b2c22c2.所以e2，即e<1.(2)当e时，abc，此时椭圆的方程为1，设M(x，y)，则cxc，所以()·x2xc2(x1)2c2.当c时，上式的最小值为c2，即c2，得c2；当0<c<时，上式的最小值为(c)2cc2，即(c)2cc2，解得c，不合题意，舍去综上所述，椭圆的方程为1. 30 / 30 数形结合思想（教师版）