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1、第二节等差数列及其前n项和最新考纲1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数的关系1等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列用符号表示为an1and(nN*，d为常数)(2)等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A，其中A叫做a，b的等差中项2等差数列的通项公式与前n项和公式(1)通项公式：ana1(n1)d.(2)前n项和公式：Snna1.3等差数列的通项公式及前n项和公式
2、与函数的关系(1)ana1(n1)d可化为andna1d的形式当d0时，an是关于n的一次函数；当d0时，数列为递增数列；当d0时，数列为递减数列数列an是等差数列anpnq(p，q为常数)(2)Snna1dn2n，当d0时，Sn是关于n的二次函数(缺少常数项)，数列an是等差数列SnAn2Bn(A，B为常数)4等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：anam(nm)d(n，mN*)(2)已知an是等差数列，若klmn，则akalaman；若2kpq，则apaq2ak，其中k，l，m，n，p，qN*.(3)若an是等差数列，公差为d，则a2n和a2n1也是等差数列，公差为2d.(4)若an，b
3、n是等差数列，则panqbn也是等差数列(5)若an是等差数列，公差为d，则ak，akm，ak2m，(k，mN*)是公差为md的等差数列(6)数列Sm，S2mSm，S3mS2m，也是等差数列1等差数列前n项和的最值在等差数列an中，若a10，d0，则Sn有最大值，即所有正项之和最大，若a10，d0，则Sn有最小值，即所有负项之和最小2两个等差数列an，bn的前n项和分别为Sn，Tn，则有.3等差数列an的前n项和为Sn，则数列也是等差数列一、思考辨析(正确的打“”，错误的打“×”)(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列()(2)等差数列an的单
4、调性是由公差d决定的()(3)已知等差数列an的通项公式为an32n，则它的公差为2.()(4)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数()答案(1)×(2)(3)(4)×二、教材改编1等差数列11,8,5，中，49是它的()A第19项B第20项C第21项 D第22项C由题意知an11(n1)×(3)3n14，令3n1449得n21，故选C.2在等差数列an中a114.5，d0.7，an32，则Sn()A600 B603.5C604.5 D602.5C由ana1(n1)d得3214.50.7(n1)，解得n26，所以S2613(14.532)604.5.3小于
5、20的所有正奇数的和为 100小于20的正奇数组成首项为1，末项为19的等差数列，共有10项，因此它们的和S10100.4在等差数列an中，若a3a4a5a6a7450，则a2a8 .180由a3a4a5a6a75a5450得a590.所以a2a82a5180.考点1等差数列的基本运算(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d，然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解(2)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题(1)(2019·全国卷)记Sn为等差数列an的前n项和已知S40，a
6、55，则()Aan2n5Ban3n10CSn2n28n DSnn22n(2)(2019·全国卷)记Sn为等差数列an的前n项和，若a10，a23a1，则 .(1)A(2)4(1)设数列an的公差为d，由题意得解得所以an32(n1)2n5，Snn×(3)×2n24n，故选A.(2)由a10，a23a1，可得d2a1.所以S55a1d25a1，S1010a1d100a1，所以4.(3)(2019·全国卷)记Sn为等差数列an的前n项和已知S9a5.若a34，求an的通项公式；若a10，求使得Snan的n的取值范围解设an的公差为d.由S9a5得a14d0.
7、由a34得a12d4.于是a18，d2.因此an的通项公式为an102n.由得a14d，故an(n5)d，Sn.由a10知d0，故Snan等价于n211n100，解得1n10.所以n的取值范围是n|1n10，nN*a1和d是等差数列的两个基本量，求出a1和d进而解决问题，是常用的方法之一1.(2018·全国卷)记Sn为等差数列an的前n项和若3S3S2S4，a12，则a5()A12B10 C10D12B法一：设等差数列an的公差为d，3S3S2S4，32a1d4a1d，解得da1，a12，d3，a5a14d24×(3)10.故选B.法二：设等差数列an的公差为d，3S3S2
8、S4，3S3S3a3S3a4，S3a4a3，3a1dd.a12，d3，a5a14d24×(3)10.故选B.2已知等差数列an的前n项和为Sn，若a24，S422，an28，则n()A3B7 C9D10D因为S4a1a2a3a44a22d22，d3，a1a2d431，ana1(n1)d13(n1)3n2，由3n228，解得n10.考点2等差数列的判定与证明等差数列的判定与证明的方法方法解读适合题型定义法对于任意自然数n(n2)，anan1(n2，nN*)为同一常数an是等差数列解答题中证明问题等差中项法2an1anan2(n3，nN*)成立an是等差数列通项公式法anpnq(p，q为
9、常数)对任意的正整数n都成立an是等差数列选择、填空题中的判定问题前n项和公式法验证SnAn2Bn(A，B是常数)对任意的正整数n都成立an是等差数列已知数列an中，a1，an2(n2，nN*)，数列bn满足bn(nN*)(1)求证：数列bn是等差数列；(2)求数列an中的最大项和最小项，并说明理由解(1)证明：因为an2(n2，nN*)，bn(nN*)，所以bn1bn1.又b1.所以数列bn是以为首项，1为公差的等差数列(2)由(1)知bnn，则an11.设f(x)1，则f(x)在区间和上为减函数所以当n3时，an取得最小值1，当n4时，an取得最大值3.母题探究本例中，若将条件变为a1，n
10、an1(n1)ann(n1)，试求数列an的通项公式解由已知可得1，即1，又a1，是以为首项，1为公差的等差数列，(n1)·1n，ann2n.求数列的最大项和最小项，实际就是求函数的最值问题，可借助函数的图象及函数的单调性求解教师备选例题已知Sn是等差数列an的前n项和，S22，S36.(1)求数列an的通项公式和前n项和Sn；(2)是否存在正整数n，使Sn，Sn22n，Sn3成等差数列？若存在，求出n；若不存在，请说明理由解(1)设数列an的公差为d，则an46(n1)106n，Snna1d7n3n2.(2)由(1)知SnSn37n3n27(n3)3(n3)26n24n6，2(Sn
11、22n)2(3n25n22n)6n26n4，若存在正整数n使得Sn，Sn22n，Sn3成等差数列，则6n24n66n26n4，解得n5，存在n5，使Sn，Sn22n，Sn3成等差数列1.数列an满足a11，an1，则数列的通项公式an .由an1得，即2.又1，因此数列是首项为1，公差为2的等差数列，所以12(n1)2n1，所以an.2在数列an中，a12，an是1与anan1的等差中项求证：数列是等差数列，并求an的通项公式证明由题意知2an1anan1，1.又a12，1，数列是首项为1，公差为1的等差数列考点3等差数列性质的应用(多维探究)利用等差数列的性质解题的两个关注点(1)两项和的转
12、换是最常用的性质，利用2amamnamn可实现项的合并与拆分，在Sn中，Sn与a1an可相互转化(2)利用Sm，S2mSm，S3mS2m成等差数列，可求S2m或S3m.等差数列项的性质(1)已知在等差数列an中，a5a64，则log2()A10B20C40D2log25(2)已知数列an是等差数列，若a94，a5a6a76，则S14()A84 B70 C49 D42一般地amanamn，等号左右两边必须是两项相加，当然也可以是amnamn2am.等差数列前n项和的性质(1)(2019·莆田模拟)已知等差数列an的前n项和为Sn.若S57，S1021，则S15等于()A35 B42 C
13、49 D63(2)已知Sn是等差数列an的前n项和，若a12 018，6，则S2 020 .(1)B(2)2 020(1)由题意知，S5，S10S5，S15S10成等差数列，即7,14，S1521成等差数列，S1521728，S1542，故选B.(2)由等差数列的性质可得也为等差数列，设其公差为d，则6d6，d1，2 019d2 0182 0191，S2 0202 020.本例T(2)，也可以根据条件先求出a1，d，再求结果，但运算量大，易出错1.设等差数列an的前n项和为Sn，若S39，S636，则a7a8a9等于()A63 B45 C36 D27B由题意知，S3，S6S3，S9S6成等差数
14、列，即9,27，S9S6成等差数列S9S645，即a7a8a945.2等差数列an的前n项和为Sn，若am10，S2m1110，则m .6S2m1110，解得m6.3等差数列an与bn的前n项和分别为Sn和Tn，若，则 .考点4等差数列的前n项和及其最值求等差数列前n项和Sn最值的两种方法(1)二次函数法利用等差数列前n项和的函数表达式Snan2bn，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解(2)通项变号法a10，d0时，满足的项数m使得Sn取得最大值为Sm；当a10，d0时，满足的项数m使得Sn取得最小值为Sm.(1)一题多解已知等差数列an的前n项和为Sn，a113，S3S11，当Sn最
15、大时，n的值是()A5 B6 C7 D8C法一(通项变号法)：由S3S11，得a4a5a110，根据等差数列的性质，可得a7a80.根据首项等于13可推知这个数列递减，从而得到a70，a80，故n7时，Sn最大法二(二次函数法)：由S3S11，可得3a13d11a155d，把a113代入，得d2，故Sn13nn(n1)n214n.根据二次函数的性质，知当n7时Sn最大法三(图象法)：根据a113，S3S11，知这个数列的公差不等于零，且这个数列的和是先递增后递减根据公差不为零的等差数列的前n项和是关于n的二次函数，以及二次函数图象的对称性，可得只有当n7时，Sn取得最大值(2)已知等差数列an
16、的前三项和为3，前三项的积为8.求等差数列an的通项公式；若a2，a3，a1成等比数列，求数列|an|的前n项和Tn.解设等差数列an的公差为d，则a2a1d，a3a12d.由题意得解得或所以由等差数列通项公式可得an23(n1)3n5或an43(n1)3n7.故an3n5或an3n7.当an3n5时，a2，a3，a1分别为1，4,2，不成等比数列；当an3n7时，a2，a3，a1分别为1,2，4，成等比数列，满足条件故|an|3n7|记数列3n7的前n项和为Sn，则Snn2n.当n2时，Tn|a1|a2|an|(a1a2an)n2n，当n3时，Tn|a1|a2|a3|an|(a1a2)(a3
17、a4an)Sn2S2n2n10，综上知：TnnN*.当公差d0时，等差数列an的前n项和Sn是关于n的二次函数，故在对称轴处Sn有最值，当对称轴不是正整数时，离对称轴最近的n值使Sn取得最值教师备选例题在等差数列an中，a1a3a5105，a2a4a699，以Sn表示an的前n项和，则使Sn达到最大值的n是()A21B20C19D18B因为a1a3a53a3105，a2a4a63a499，所以a335，a433，所以d2，a139.由ana1(n1)d392(n1)412n0，解得n，所以当n20时Sn达到最大值，故选B.1.设数列an的通项公式为an2n10(nN*)，则|a1|a2|a15
18、| .130由an2n10(nN*)知an是以8为首项，2为公差的等差数列，又由an2n100得n5，所以n5时，an0，当n5时，an0，所以|a1|a2|a15|(a1a2a3a4a5)(a6a15)S152S5130.2(2019·北京高考)设an是等差数列，a110，且a210，a38，a46成等比数列(1)求an的通项公式；(2)记an的前n项和为Sn，求Sn的最小值解(1)设an的公差为d.因为a110，所以a210d，a3102d，a4103d.因为a210，a38，a46成等比数列，所以(a38)2(a210)(a46)所以(22d)2d(43d)解得d2.所以ana1(n1)d2n12.(2)由(1)知，an2n12.则当n7时，an0；当n6时，an0.所以Sn的最小值为S5S630.13