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1、 1 第五节第五节 空间向量及其应用空间向量及其应用 第第 1 课时课时 系统知识牢基础系统知识牢基础空间向量及其应用空间向量及其应用 知识点一知识点一 空间向量的概念及有关定理空间向量的概念及有关定理 1空间向量的有关概念空间向量的有关概念 名称名称 定义定义 空间向量空间向量 在空间中，具有在空间中，具有大小大小和和方向方向的量的量 相等向量相等向量 方向方向相同相同且模且模相等相等的向量的向量 相反向量相反向量 方向方向相反相反且模且模相等相等的向量的向量 共线向量共线向量 (或平行向量或平行向量) 表示空间向量的有向线段所在的直线互相表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行平行或或重合
2、重合的向量的向量 共面向量共面向量 平行于平行于同一个平面同一个平面的向量的向量 2.空间向量的有关定理空间向量的有关定理 (1)共线向量定理：对空间任意两个向量共线向量定理：对空间任意两个向量 a a，b b(b b0 0)，a ab b 的充要条件是存在实数的充要条件是存在实数 ，使得，使得a ab b. (2)共共面向量定理：如果两个向量面向量定理：如果两个向量 a a，b b 不共线，那么向量不共线，那么向量 p p 与向量与向量 a a，b b 共面的充要条件是共面的充要条件是存在存在唯一唯一的有序实数对的有序实数对(x，y)，使，使 p pxa ayb b. (3)空间向量基本定理
3、：如果三个向量空间向量基本定理：如果三个向量 a a，b b，c c 不共面，那么对空间任一向量不共面，那么对空间任一向量 p p，存在有序，存在有序实数组实数组x，y，z，使得，使得 p pxa ayb bzc c，其中，其中，a a，b b，c c叫做空间的一个基底叫做空间的一个基底 重温经典重温经典 1(教材改编题教材改编题)若若 O，A，B，C 为空间四点，且向量为空间四点，且向量OA ，OB ，OC 不能构成不能构成空间的一个空间的一个基底，则基底，则( ) AOA ，OB ，OC 共线共线 BOA ，OB 共线共线 COB ，OC 共线共线 DO，A，B，C 四点共面四点共面 解析
4、：解析：选选 D 向量向量OA ，OB ，OC 不能构成空间的一个基底，不能构成空间的一个基底，向量向量OA ，OB ，OC 共共面，因此面，因此 O，A，B，C 四点共面，故选四点共面，故选 D. 2 已知正方体 已知正方体 ABCD- A1B1C1D1中， 点中， 点 E 为上底面为上底面 A1C1的中心， 若的中心， 若AE AA1 xAB yAD ，则则 x，y 的值分别为的值分别为( ) A1,1 B1，12 C.12，12 D.12，1 2 解析：解析：选选 C AE AA1 A1E AA1 12A1C1 AA1 12(AB AD )，故，故x12，y12. 3(多选多选)如图所示
5、，如图所示，M 是四面体是四面体 OABC 的棱的棱 BC 的中点，点的中点，点 N 在线段在线段OM 上，点上，点 P 在线段在线段 AN 上，且上，且 AP3PN，ON 23OM ，设，设OA a a，OB b b，OC c c，则下列等式成立的是，则下列等式成立的是( ) AOM 12b b12c c BAN 13b b13c ca a C AP 14b b14c c34a a D OP 14a a14b b14c c 解析：解析：选选 BD 对于对于 A，利用向量的四边形法则，利用向量的四边形法则， OM 12OB 12OC 12b b12c c，A 错；错； 对于对于 B，利用向量的
6、四边形法则和三角形法则，得，利用向量的四边形法则和三角形法则，得 AN ON OA 23OM OA 23 12 OB 12 OC OA 13OB 13OC OA 13b b13c ca a，B 对；对； 对于对于 C，因为点，因为点 P 在线段在线段 AN 上，且上，且 AP3PN， 所以所以AN 43AP 13b b13c ca a， 所以所以 AP 34 13b13ca 14b b14c c34a a，C 错；错； 对于对于 D，OP OA AP a a14b b14c c34a a14a a14b b14c c，D 对，故选对，故选 B、D. 4.如图所示， 在长方体如图所示， 在长方体
7、 ABCD- A1B1C1D1中，中， O 为为 AC 的中点， 用的中点， 用AB ，AD ，AA1 表示表示OC1 ，则，则OC1 _. 解析：解析：OC 12AC 12( AB AD )，OC1 OC CC1 12( AB AD )AA1 12AB 12AD AA1 . 答案：答案：12AB 12AD AA1 5.如图所示，在四面体如图所示，在四面体 OABC 中，中，OA a a，OB b b，OC c c，D 为为 BC 3 的中点，的中点，E 为为 AD 的中点，则的中点，则OE _(用用 a a，b b，c c 表示表示) 解析：解析：OE OA AE a a12AD a a12
8、(OD OA )12a a12OD 12a a1212(OB OC )12a a14b b14c c. 答案：答案：12a a14b b14c c 6设设 a a(2x,1,3)，b b(1,3,9)，若，若 a ab b，则，则 x_. 解析：解析：a ab b，2x11339，x16. 答案：答案：16 7(易错题易错题)给出下列命题：给出下列命题： 若向量若向量 a a，b b 共线，则向量共线，则向量 a a，b b 所在的直线平行；所在的直线平行； 若三个向量若三个向量 a a，b b，c c 两两共面，则向量两两共面，则向量 a a，b b，c c 共面；共面； 已知空间的三个向量
9、已知空间的三个向量 a a，b b，c c，则对于空间的任意一个向量，则对于空间的任意一个向量 p p，总存在实数，总存在实数 x，y，z 使得使得p pxa ayb bzc c； 若若 A，B，C，D 是空间任意四点，则有是空间任意四点，则有AB BC CD DA 0. 其中为真命题的是其中为真命题的是_(填序号填序号) 解析：解析：若若 a a 与与 b b 共线，则共线，则 a a，b b 所在的直线可能平行也可能重合，故所在的直线可能平行也可能重合，故不正确；三个向量不正确；三个向量 a a，b b，c c 中任两个一定共面，但它们三个却不一定共面，故中任两个一定共面，但它们三个却不一
10、定共面，故不正确；只有当不正确；只有当 a a，b b，c c 不共面不共面时，空间任意一个向量时，空间任意一个向量 p p 才一定能表示为才一定能表示为 p pxa ayb bzc c，故，故不正确；据向量运算法则可不正确；据向量运算法则可知知正确正确 答案：答案： 知识点二知识点二 两个向量的数量积及其运算两个向量的数量积及其运算 1空间向量的数量积及运算律空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念数量积及相关概念 两向量的夹角：已知两个非零向量两向量的夹角：已知两个非零向量 a a，b b，在空间任取一点，在空间任取一点 O，作，作OA a a，OB b b，则，则AOB 叫做向量
11、叫做向量 a a 与与 b b 的夹角，记作的夹角，记作a a，b b，其范围是，其范围是0，若，若a a，b b2，则，则 4 称称 a a 与与 b b 互相垂直互相垂直，记作，记作 a ab b. 非零向量非零向量 a a，b b 的数量积的数量积 a a b b|a a|b b|cosa a，b b (2)空间向量数量积的运算律空间向量数量积的运算律 结合律：结合律：(a a) b b(a a b b)； 交换律：交换律：a a b bb b a a； 分配律：分配律：a a (b bc c)a a b ba a c c. 2空间向量的坐标表示及其应用空间向量的坐标表示及其应用 设设
12、a a(a1，a2，a3)，b b(b1，b2，b3). 向量表向量表示示 坐标表示坐标表示 数量积数量积 a a b b a1b1a2b2a3b3 共线共线 a ab b(b b0 0，R R) a1b1，a2b2，a3b3 垂直垂直 a a b b0 0(a a0 0，b b0 0) a1b1a2b2a3b30 模模 |a a| a21a22a23 夹角夹角 a a，b b(a a0 0，b b0 0) cosa a，b b a1b1a2b2a3b3a21a22a23 b21b22b23 重温经典重温经典 1在空间四边形在空间四边形 ABCD 中中， AB CD AC DB AD BC 的
13、值为的值为( ) A1 B0 C1 D2 解析解析：选选 B 如图如图，令令AB a a， AC b b，AD c c， 则则 AB CD AC DB AD BC AB (AD AC ) AC ( AB AD )AD ( AC AB ) a a (c cb b)b b (a ac c)c c (b ba a) a a c ca a b bb b a ab b c cc c b bc c a a 0. 5 2.如图所示如图所示， 已知已知 PA平面平面 ABC， ABC120 ， PAABBC6， 则则| PC |等于等于( ) A6 2 B6 C12 D144 解析解析：选选 C PC PA
14、AB BC ， PC 2 PA 2 AB 2 BC 22AB BC 363636236cos 60 144，| PC |12，故选故选 C. 3(教材改编题教材改编题)已知已知 a a(1,2，2)，b b(0,2,4)，则，则 a a，b b 夹角的余弦值为夹角的余弦值为_ 解析：解析：cosa a，b ba b|a|b|2 515. 答案：答案：2 515 4已知已知 a a(2,3,1)，b b(4,2，x)，且，且 a ab b，则，则|b b|_. 解析：解析：a ab b，86x0，解得，解得 x2， 故故|b b| 4 222222 6. 答案：答案：2 6 5 已知 已知 a
15、a(cos ， 1， sin )， b b(sin ， 1， cos )， 则向量， 则向量 a ab b 与与 a ab b 的夹角是的夹角是_ 解析：解析：a ab b(cos sin ，2，cos sin )，a ab b(cos sin ，0，sin cos )， (a ab b) (a ab b)(cos2sin2)(sin2cos2)0， (a ab b)(a ab b)，则，则 a ab b 与与 a ab b 的夹角是的夹角是2. 答案：答案：2 6(易错题易错题)如图所示，在大小为如图所示，在大小为 45 的二面角的二面角 A- EF- D 中，四边形中，四边形ABFE，CD
16、EF 都是边长为都是边长为 1 的正方形，则的正方形，则 B，D 两点间的距离是两点间的距离是_ 解析：解析：BD BF FE ED ， |BD |2| BF |2| FE |2|ED |22 BF FE 2FE ED 2BF ED 111 232，故，故|BD |3 2. 答案：答案：3 2 知识点三知识点三 空间中的平行与垂直的向量表示空间中的平行与垂直的向量表示 6 1直线的方向向量和平面的法向量直线的方向向量和平面的法向量 (1)直线的方向向量：如果表示非零向量直线的方向向量：如果表示非零向量 a a 的有向线段所在直线与直线的有向线段所在直线与直线 l 平行或重合平行或重合，则称，则
17、称此向量此向量 a a 为直线为直线 l 的方向向量的方向向量 (2)平面的法向量：直线平面的法向量：直线 l，取直线，取直线 l 的方向向量的方向向量 a a，则向量，则向量 a a 叫做平面叫做平面 的法向量的法向量 2空间位置关系的向量表示空间位置关系的向量表示 位置关系位置关系 向量表示向量表示 直线直线 l1，l2的方向向量分的方向向量分别为别为 n n1，n n2 l1l2 n n1n n2n n1n n2 l1l2 n n1n n2n n1 n n20 直线直线 l 的方向向量为的方向向量为 n n，平面，平面 的法向的法向量为量为 mm l n nmmn n mm0 l n n
18、mmn nmm 平面平面 ， 的法向量分别为的法向量分别为 n n，mm n nmmn nmm n nmmn n mm0 重温经典重温经典 1已知已知 A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，则下列向量是平面，则下列向量是平面 ABC 法向量的是法向量的是( ) A(1,1,1) B(1，1,1) C. 33，33，33 D. 33，33，33 解析：解析：选选 C 设设 n n(x，y，z)为平面为平面 ABC 的法向量，的法向量， 则则 n AB 0，n AC 0，化简得，化简得 xy0，xz0，xyz，故选，故选 C. 2已知直线已知直线 l 与平面与平面 垂直，直线垂直，
19、直线 l 的一个方向向量为的一个方向向量为 u u(1，3，z)，向量，向量 v v(3，2,1)与平面与平面 平行，则平行，则 z 等于等于( ) A3 B6 C9 D9 解析：解析：选选 C l，v v 与平面与平面 平行，平行， u uv，即，即 u u v0， 7 13(3)(2)z10， z9. 3平面平面 的一个法向量为的一个法向量为(1,2，2)，平面，平面 的一个法向量为的一个法向量为(2，4，k)若若 ，则，则k 等于等于( ) A2 B4 C4 D2 解析：解析：选选 C ，两平面的法向量平行，两平面的法向量平行， 2142k2，k4. 4(教材改编题教材改编题)已知平面已
20、知平面 ， 的法向量分别为的法向量分别为 n n1(2,3,5)，n n2(3,1，4)，则，则( ) A B C， 相交但不垂直相交但不垂直 D以上均不对以上均不对 解析：解析：选选 C n n1n n2，且，且 n n1 n n2230， 相交但不垂直相交但不垂直 5.如图所示， 在正方体如图所示， 在正方体 ABCD- A1B1C1D1中，中， O 是底面正方形是底面正方形 ABCD 的中心，的中心，M 是是 D1D 的中点，的中点，N 是是 A1B1的中点，则直线的中点，则直线 ON，AM 的位置关系是的位置关系是_ 解析：解析：以以 A 为原点，分别以为原点，分别以 AB ，AD ，
21、AA1 所在直线为所在直线为 x，y，z 轴，建立轴，建立空间直角坐标系空间直角坐标系(图略图略)，设正方体的棱长为，设正方体的棱长为 1， 则则 A(0,0,0)，M 0，1，12，O 12，12，0 ，N 12，0，1 . AM ON 0，1，12 0，12，1 0， ON 与与 AM 垂直垂直 答案：答案：垂直垂直 6(易错题易错题)如图所示，在四棱锥如图所示，在四棱锥 P- ABCD 中，底面中，底面 ABCD 是正方形是正方形，侧，侧棱棱 PD底面底面 ABCD，PDDC，E 是是 PC 的中点，过点的中点，过点 E 作作 EFBP 交交BP 于点于点 F. (1)证明：证明：PA平
22、面平面 EDB； (2)证明：证明：PB平面平面 EFD. 证明：证明：如图所示，以如图所示，以 D 为坐标原点，射线为坐标原点，射线 DA，DC，DP 分别为分别为 x 轴、轴、y 轴、轴、z 轴的正方向轴的正方向建立空间直角坐标系设建立空间直角坐标系设 DCa. (1)连接连接 AC 交交 BD 于点于点 G，连接，连接 EG. 依题意得依题意得 A(a,0,0)，P(0,0，a)，E 0，a2，a2. 8 因为底面因为底面 ABCD 是正方形，是正方形， 所以所以 G 是此正方形的中心是此正方形的中心， 故点故点 G 的坐标为的坐标为 a2，a2，0 ，所以，所以 PA (a,0，a)，
23、EG a2，0，a2. 则则 PA 2EG ，故，故 PAEG. 而而 EG平面平面 EDB，PA 平面平面 EDB，所以，所以 PA平面平面 EDB. (2)依题意得依题意得 B(a，a,0)，所以，所以 PB (a，a，a) 又又 DE 0，a2，a2，故，故 PB DE 0a22a220，所以，所以 PBDE.由题可知由题可知 EFPB，且，且EFDEE，所以，所以 PB平面平面 EFD. 知识点四知识点四 利用空利用空间向量求空间角间向量求空间角 1异面直线所成角异面直线所成角 设异面直线设异面直线 a，b 所成的角为所成的角为 ，则，则 cos |a a b b| a a |b b|
24、，其中，其中 a a，b b 分别是直线分别是直线 a，b 的方向向量的方向向量 2直线与平面所成角直线与平面所成角 如图所示，设如图所示，设 l 为平面为平面 的斜线，的斜线，lA，a a 为为 l 的方向向量，的方向向量，n n 为平面为平面 的法向量，的法向量， 为为 l 与与 所成的角，则所成的角，则 sin |cosa a，n n|a a n n|a a|n n|. 3二面角二面角 (1)若若 AB，CD 分别是二面角分别是二面角 - l- 的两个平面内与棱的两个平面内与棱 l 垂直的异面直线，则二面角垂直的异面直线，则二面角(或其补或其补角角)的大小就是向量的大小就是向量AB 与与
25、CD 的夹角，如图的夹角，如图 a. (2)平面平面 与与 相交于直线相交于直线 l，平面，平面 的法向量为的法向量为 n n1，平面，平面 的法向量为的法向量为 n n2，n n1，n n2，则二面角则二面角 - l- 为为 或或 .设二面角大小为设二面角大小为 ，则，则|cos |cos |n n1 n n2|n n1|n n2|，如图，如图 b，c. 重温经典重温经典 1(易错题易错题)已知两平面的法向量分别为已知两平面的法向量分别为 mm(0,1,0)，n n(0,1，1)，则两平面所成的二面角为，则两平面所成的二面角为( ) A45 B135 C45 或或 135 D90 9 解析解
26、析：选选 C cosmm，n nmm n n|mm|n n|11 222，即即mm，n n45 ，两平面所成的二面两平面所成的二面角为角为 45 或或 135 . 2(教材改编题教材改编题)已知向量已知向量 mm，n n 分别是直线分别是直线 l 和平面和平面 的方向向量和法向量，的方向向量和法向量， 若若 cosmm，n n12，则，则 l 与与 所成的角为所成的角为( ) A30 B60 C120 D150 解析：解析：选选 A 由于由于 cosmm，n n12，所以，所以mm，n n120 ，所以直线，所以直线 l 与与 所成的角所成的角为为 30 . 3在正方体在正方体 ABCD- A
27、1B1C1D1中，中，BB1与平面与平面 ACD1所成角的正弦值为所成角的正弦值为( ) A.32 B.33 C.35 D.25 解析：解析：选选 B 设正方体的棱长为设正方体的棱长为 1，以，以 D 为坐标原点为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为所在直线分别为 x 轴、轴、y 轴、轴、z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示则轴，建立空间直角坐标系，如图所示则B(1,1,0)，B1(1，1,1)，A(1,0,0)，C(0,1,0)，D1(0，0,1) 所以所以BB1 (0,0,1)， AC (1,1,0)，AD1 (1,0,1) 令平面令平面 ACD1的法向量为的法向量为 n n(x，y
28、，z)，则，则 n n AC xy0，n n AD1 xz0，令，令 x1，可得，可得 n n(1,1,1)， 所以所以 sin |cosn n，BB1 |13133. 4在长方体在长方体 ABCD- A1B1C1D1中，中，AB3，BC2，AA11，则异面直线，则异面直线 AB1与与 BC1所成所成角的余弦值为角的余弦值为_ 解析：解析：建立如图所示的空间直角坐标系建立如图所示的空间直角坐标系 易得易得 A(2,0,0)，B(2,3,0)，B1(2,3,1)，C1(0,3,1)， 则则AB1 (0,3,1)，BC1 (2,0,1) 设异面直线设异面直线 AB1与与 BC1所成的角为所成的角为
29、 ， 则则 cos AB1 ，BC1 |110 5210. 答案：答案：210 10 5过正方形过正方形 ABCD 的顶点的顶点 A 作线段作线段 PA平面平面 ABCD，若，若 ABPA，则平面，则平面 ABP 与平面与平面CDP 所成的二面角为所成的二面角为_ 解析：解析： 如图， 建立空间直角坐标系， 设如图， 建立空间直角坐标系， 设 ABPA1， 则， 则 A(0,0,0)， D(0,1,0)，P(0,0,1)，由题意，由题意，AD平面平面 PAB，设，设 E 为为 PD 的中点，连接的中点，连接 AE，则，则AEPD，又，又 CD平面平面 PAD， 所以所以 CDAE，从而，从而 AE平面平面 PCD.所以所以AD (0,1,0)， AE 0，12，12分别是平面分别是平面 PAB，平面，平面 PCD 的法向量，且的法向量，且AD ，AE 45 . 故平面故平面 PAB 与平面与平面 PCD 所成的二面角为所成的二面角为 45 . 答案：答案：45