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1、专题2.1 不等式的性质及常见不等式解法新课程考试要求1.不等关系：了解现实世界和日常生活中的不等关系,了解不等式(组)的实际背景. 2.一元二次不等式： (1)会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型. (2)通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系. (3)会解一元二次不等式.3.会解|xb|c，|xb|c，|xa|xb|c，|xa|xb|c 型不等式.4.掌握不等式|a|b|ab|a|b|及其应用.核心素养培养学生数学运算（例2.3.4）、数学建模（例1）、逻辑推理（例2.3.4）等核心数学素养.考向预测1.不等式的性质及应用2一元二次不等式的解法3一元二次不等式
2、的恒成立问题【知识清单】1实数的大小(1)数轴上的任意两点中，右边点对应的实数比左边点对应的实数大.(2)对于任意两个实数a和b，如果ab是正数，那么a>b；如果ab是负数，那么a<b；如果ab等于零，那么ab.2不等关系与不等式我们用数学符号“”、“>”、“<”、“”、“”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系，含有这些符号的式子，叫做不等式.3不等式的性质(1)性质1：如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b.即a>bb<a.(2)性质2：如果a>b，b>c，那么a>c.即a>b，b>ca
3、>c.(3)性质3：如果a>b，那么ac>bc.(4)性质4：如果a>b，c>0那么ac>bc.如果a>b，c<0，那么ac<bc.(5)性质5：如果a>b，c>d，那么ac>bd.(6)性质6：如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd.(7)性质7：如果a>b>0，那么an>bn，(nN，n2)(8)性质8：如果a>b>0，那么>，(nN，n2)4一元二次不等式的概念及形式(1)概念：我们把只含有一个未知数，并且知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不
4、等式(2)形式：ax2bxc>0(a0)；ax2bxc0(a0)；ax2bxc<0(a0)；ax2bxc0(a0) (3)一元二次不等式的解集的概念：一般地，使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个不等式的解，一元二次不等式的所有解组成的集合叫做这个一元二次不等式的解集.5.一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如下表判别式b24ac>00<0二次函数yax2bxc(a>0)的图象一元二次方程ax2bxc0(a>0)的根有两相异实根x1，x2(x1<x2)有两相等实根x1x2没有实数根ax2bxc>0 (a>0)的解集x|x&l
5、t;x1或x>x2x|xx1x|xR ax2bxc<0(a>0)的解集x|x1<x<x26分式不等式的解法定义：分母中含有未知数，且分子、分母都是关于x的多项式的不等式称为_分式不等式_.>0f(x)g(x)_>_0，<0f(x)·g(x)_<_0.0f(x)·g(x)_>_0或.0f(x)·g(x)_<_0或7简单的高次不等式的解法高次不等式：不等式最高次项的次数高于2，这样的不等式称为高次不等式.解法：穿根法将f(x)最高次项系数化为正数；将f(x)分解为若干个一次因式的积或二次不可分因式的积；
6、将每一个一次因式的根标在数轴上，自上而下，从右向左依次通过每一点画曲线(注意重根情况，偶次方根穿而不过，奇次方根穿过)；观察曲线显现出的f(x)的值的符号变化规律，写出不等式的解集8.不等式恒成立问题 1一元二次不等式恒成立问题(1)ax2bxc>0(a0)恒成立(或解集为R)时，满足；(2)ax2bxc0(a0)恒成立(或解集为R)时，满足；(3)ax2bxc<0(a0)恒成立(或解集为R)时，满足；(4)ax2bxc0(a0)恒成立(或解集为R)时，满足.2含参数的一元二次不等式恒成立若能够分离参数成k<f(x)或k>f(x)形式则可以转化为函数值域求解设f(x)的
7、最大值为M，最小值为m.(1)k<f(x)恒成立k<m，kf(x)恒成立km.(2)k>f(x)恒成立k>M，kf(x)恒成立kM.9绝对值不等式的解法1形如|axb|cxd|的不等式，可以利用两边平方的形式转化为二次不等式求解2形如|axb|c(c>0)和|axb|c(c>0)型不等式(1)绝对值不等式|x|>a与|x|<a的解集 (2)|axb|c(c>0)和|axb|c(c>0)型不等式的解法|axb|ccaxbc(c>0)，|axb|caxbc或axbc(c>0)10绝对值不等式的应用如果a，b是实数，那么|ab|
8、a|b|，当且仅当ab0时，等号成立【常用结论】1倒数性质的几个必备结论(1)a>b，ab>0<.(2)a<0<b<.(3)a>b>0,0<c<d>.(4)0<a<x<b或a<x<b<0<<.2两个重要不等式若a>b>0，m>0，则 (1)<；>(bm>0)(2)>；<(bm>0)【考点分类剖析】考点一 ：用不等式表示不等关系例1.用一段长为30的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,墙长18,要求菜园的面积不小于216 ,靠墙的一边
9、长为,其中的不等关系可用不等式(组)表示为_. 【答案】【解析】矩形菜园靠墙的一边长为,则另一边长为,即,根据已知得【规律总结】用不等式(组)表示实际问题中不等关系的步骤：审题通读题目，分清楚已知量和待求量，设出待求量找出体现不等关系的关键词：“至少”“至多”“不少于”“不多于”“超过”“不超过”等列不等式组：分析题意，找出已知量和待求量之间的约束条件，将各约束条件用不等式表示【变式探究】 某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本根据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2 000本，若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元？
10、【答案】见解析【解析】提价后杂志的定价为x元，则销售的总收入为(8×0.2)x万元，那么不等关系“销售的收入不低于20万元”用不等式可以表示为：(8×0.2)x20.考点二：比较数或式子的大小例2. 已知xy0，比较(x2y2)(xy)与(x2y2)(xy)的大小【答案】见解析【解析】xy0，xy0，xy0，(x2y2)(xy)(x2y2)(xy)2xy(xy)0，(x2y2)(xy)(x2y2)(xy)【领悟技法】1.比较大小的常用方法(1)作差法一般步骤：作差；变形；定号；结论其中关键是变形，常采用配方、因式分解、通分、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式当两个式子
11、都为正数时，有时也可以先平方再作差(2)作商法一般步骤：作商；变形；判断商与1的大小关系；结论(3)函数的单调性法将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数的单调性得出大小关系【变式探究】(1)比较x2y21与2(xy1)的大小；(2)设aR且a0，比较a与的大小【答案】见解析【解析】 (1)x2y212(xy1)x22x1y22y2(x1)2(y1)210，x2y212(xy1)(2)由a当a±1时，a；当1a0或a1时，a；当a1或0a1时，a.考点三：不等式性质的应用例3. 【多选题】（2021·河北高三二模）若实数，满足，则下列选项中一定成立的有（ ）ABC
12、D【答案】AD【解析】根据条件，可得或，逐一分析四个选项，即可得答案.【详解】因为，所以，所以或，所以或，所以，故A正确；若，则，故B错误；若，则，所以，故C错误；因为或，所以，所以，故D正确.故选：AD例4. 若a，b，c，则()AabcBcbaCcab Dbac【答案】B【解析】方法一易知a，b，c都是正数，log81641，所以ab；log6251 0241，所以bc.即cba.方法二对于函数yf(x)，y，易知当xe时，函数f(x)单调递减因为e345，所以f(3)f(4)f(5)，即cba.例5. 设f(x)ax2bx，若1f(1)2,2f(1)4”，则f(2)的取值范围是 【答案】
13、5,10【解析】方法一(待定系数法)设f(2)mf(1)nf(1)(m，n为待定系数)，则4a2bm(ab)n(ab)，即4a2b(mn)a(nm)b，于是得解得所以f(2)3f(1)f(1)又因为1f(1)2,2f(1)4，所以53f(1)f(1)10，即5f(2)10.方法二(解方程组法)由所以f(2)4a2b3f(1)f(1)又因为1f(1)2,2f(1)4，所以53f(1)f(1)10，故5f(2)10.【规律总结】1判断不等式的真假(1)首先要注意不等式成立的条件，不要弱化条件(2)解决有关不等式选择题时，也可采用特值法进行排除，注意取值要遵循以下原则：一是满足题设条件；二是取值要简
14、单，便于验证计算(3)若要判断某结论正确，应说明理由或进行证明，推理过程应紧扣有关定理、性质等，若要说明某结论错误，只需举一反例2证明不等式(1)要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用(2)应用不等式的性质进行推证时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则3求取值范围(1)建立待求范围的代数式与已知范围的代数式的关系，利用不等式的性质进行运算，求得待求的范围(2)同向(异向)不等式的两边可以相加(相减)，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围4掌握各性质的条件和结论在各性质中
15、，乘法性质的应用最易出错，即在不等式的两边同时乘(除)以一个数时，必须能确定该数是正数、负数或零，否则结论不确定【变式探究】已知12<a<60,15<b<36，求ab及的取值范围【错解】12<a<60,15<b<36，1215<ab<6036，<<，3<ab<24，<<.【辨析】错解中直接将12<a<60,15<b<36相减得ab的取值范围，相除得的取值范围而致错【正解】15<b<36，36<b<15.1236<ab<6015，即24<
16、;ab<45.又15<b<36，<<.又12<a<60，<<，即<<4.综上，24<ab<45，<<4.【易错警示】错用不等式的性质致错.考点四：一元二次不等式的解法例6.（2020·全国高考真题（文）已知集合则（ ）ABCD【答案】D【解析】首先解一元二次不等式求得集合A，之后利用交集中元素的特征求得，得到结果.【详解】由解得，所以，又因为，所以，故选：D.【规律方法】1.解一元二次不等式的一般步骤(1)化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式(2)判：计算对应方程的判别式(3)求：求出对
17、应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根(4)写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集2含有参数的不等式的求解，往往需要对参数进行分类讨论(1)若二次项系数为常数，首先确定二次项系数是否为正数，再考虑分解因式，对参数进行分类讨论，若不易分解因式，则可依据判别式符号进行分类讨论(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，确定不等式是不是二次不等式，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式(3)对方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集【易错警示】忽视二次项系数的符号致误【变式探究】1（2021·江西九江市·高三三模（文）已知集合，
18、则（ ）ABCD【答案】B【解析】，所以或，所以，故选：B2. （2021·陕西省汉中中学高三其他模拟（理）已知集合，则（ ）ABCD【答案】A【解析】，因此，.故选：A.考点五：绝对值不等式的解法例7. （2021·浙江高三其他模拟）已知，则“”是“”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【答案】C【解析】先化简得，即得解.【详解】由得，所以.反之，也成立.所以“”是“”的充分必要条件.故选：C例8.（广东高考真题（理）不等式的解集为 .【答案】.【解析】令，则，（1）当时，由得，解得，此时有；（2）当时，此时不等式无解；（3）当时，
19、由得，解得，此时有；综上所述，不等式的解集为.【规律方法】形如|xa|xb|c(或c)型的不等式主要有三种解法：(1)分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(，a，(a，b，(b，)(此处设a<b)三个部分，在每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集(2)几何法：利用|xa|xb|>c(c>0)的几何意义：数轴上到点x1a和x2b的距离之和大于c的全体，|xa|xb|xa(xb)|ab|.(3)图象法：作出函数y1|xa|xb|和y2c的图象，结合图象求解【变式探究】1.（2017天津，文2）设，则“”是“”的（ ）（A）充分
20、而不必要条件 （B）必要而不充分条件（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件【答案】【解析】，则，则， ，据此可知：“”是“”的的必要的必要不充分条件，本题选择B选项.2.不等式|x-3|-|x+1|<1的解集为_【答案】x|x>12.【解析】当x<-1时，原不等式可化为-(x-3)+(x+1)<1，无解；当-1x<3时，原不等式可化为-(x-3)-(x+1)<1，即x>12，所以12<x<3；当x3时，原不等式可化为(x-3)-(x+1)<1，即-4<1，所以x3综上，原不等式的解集为x|x>12.考点六：绝对值不等式
21、的应用如果a，b是实数，那么|ab|a|b|，当且仅当ab0时，等号成立例9.（2020·陕西省西安中学高二期中（文）若关于x的不等式有实数解，则实数a的取值范围是（ ）A或BCD【答案】A【解析】分析：利用绝对值的几何意义求得最小值为，再由不等式有解可得实数的取值范围详解：由于表示数轴上的对应点到和对应点的距离之差，其最小值为，最大值为，因为关于的不等式有实数解，可得，即，解得或.故选：A.【总结提升】1.两类含绝对值不等式的证明问题一类是比较简单的不等式，往往可通过平方法、换元法去掉绝对值符号转化为常见的不等式证明题，或利用绝对值三角不等式性质定理：|a|b|a±b|a
22、|b|，通过适当的添、拆项证明；另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式，往往可考虑利用一般情况成立，则特殊情况也成立的思想，或利用一元二次方程的根的分布等方法来证明2.含绝对值不等式的应用中的数学思想(1)利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；(2)利用函数的图象求解，体现了数形结合的思想3.求f(x)|xa|xb|和f(x)|xa|xb|的最值的三种方法(1)转化法：转化为分段函数进而利用分段函数的性质求解. (2)利用绝对值三角不等式进行“求解”，但要注意两数的“差”还是“和”的绝对值为定值. (3)利用绝对值的几何意义. 【变式探究】1.（2020·广东省高三其他（
23、理）已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】（1）或或或或 即不等式的解集为.（2）考点七：不等式恒成立问题例10.（2020·浙江高考真题）已知a，bR且ab0，对于任意x0 均有(xa)(xb)(x2ab)0，则（ ）Aa<0Ba>0Cb<0Db>0【答案】C【解析】对分与两种情况讨论，结合三次函数的性质分析即可得到答案.【详解】因为，所以且，设，则的零点为当时，则，要使，必有，且，即，且，所以；当时，则，要使，必有.综上一定有.故选：C例11.（2020·江苏省太湖高级中学高一
24、期中）已知函数，关于的不等式的解集为.（1）求实数，的值；（2）求关于的不等式的解集；（3）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1），（2）当时，解集为，当时，不等式无解，当时，解集为，（3）【解析】（1）由题意得不等式的解集为，由根与系数的关系得，从而可求出实数，的值；（2）由，得，即，然后分，求解即可；（3）令（），则在上恒成立，即，即，令，然后分对称轴在轴左侧和右侧两种情况求解即可【详解】（1）因为关于的不等式的解集为，即不等式的解集为，所以，解得，所以，（2）由，得，即，若，则，若，则不等式无解，若，则，所以当时，解集为，当时，不等式无解，当时，解集为（3）令（），则在上恒
25、成立，即，即，令，当，即，对称轴在轴左侧，所以，即，所以，当时，即对称轴在轴右侧，则，解得，综上【规律方法】(1)若f(x)>0在集合A中恒成立，即集合A是不等式f(x)>0的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值(或范围)(2)转化为函数值域问题，即已知函数f(x)的值域为m，n，则f(x)a恒成立f(x)mina，即ma；f(x)a恒成立f(x)maxa，即na.【变式探究】函数f(x)x2ax3.(1)当xR时，f(x)a恒成立，求实数a的取值范围；(2)当x2,2时，f(x)a恒成立，求实数a的取值范围【答案】(1)实数a的取值范围是6,2(2)实数a的取值范围为7,2【解析】 (1)当xR时，x2ax3a0恒成立，需a24(3a)0，即a24a120，解得6a2，实数a的取值范围是6,2(2)对于任意x2,2，f(x)0恒成立即x2ax3a0对任意x2,2恒成立，令g(x)x2ax3a.则有0或或解得6a2，解得a，解得7a<6.综上可知，实数a的取值范围为7,2【总结提升】解决不等式恒成立问题的两种思路(1)转化成含有参数的不等式,借助对应函数图象,找到满足题目要求的条件,构造含参数的不等式(组),求得参数范围.(2)分离参数,通过求函数的最值,进而确定参数的范围.