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1、第十节圆锥曲线中的范围、最值问题最新考纲1.掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法.2. 理解数形结合的思想；3. 会求与圆锥曲线有关的范围、最值问题考点1范围问题求参数范围的4种方法(1)函数法：用其他变量表示该参数，建立函数关系，利用求函数值域的方法求解(2)不等式法：根据题意建立含参数的不等式，通过解不等式求参数范围(3)判别式法：建立关于某变量的一元二次方程，利用判别式求参数的范围(4)数形结合法：研究该参数所表示的几何意义，利用数形结合思想求解(2019·山师附中模拟)已知椭圆C：1，直线l：ykxm(m0)，设直线l与椭圆C交于A，B两点(1)若|m|>，求
2、实数k的取值范围；(2)若直线OA，AB，OB的斜率成等比数列(其中O为坐标原点)，求OAB的面积的取值范围解(1)联立方程1和ykxm，得(23k2)x26kmx3m260，所以(6km)24(23k2)(3m26)>0，所以m2<23k2，所以23k2>3，即k2>，解得k>或k<.所以实数k的取值范围为.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2.设直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，因为直线OA，AB，OB的斜率成等比数列，所以k1k2k2，即k2(m0)，化简得23k26k2，即k2.因为|AB|x1x2|，点O到直线l的距
3、离h|m|，所以SOAB|AB|·h·×，当m±时，直线OA或OB的斜率不存在，等号取不到，所以OAB的面积的取值范围为. 本例求解采用了学生熟知的两种方法：不等式法和判别式法，利用判别式构建目标不等式的核心是抓住直线与圆锥曲线的位置关系和判别式的关系建立目标不等式教师备选例题(2019·江南十校联考)已知右焦点为F2(c，0)的椭圆C：1(a>b>0)过点，且椭圆C关于直线xc对称的图形过坐标原点(1)求椭圆C的方程；(2)过点作直线l与椭圆C交于E，F两点，线段EF的中点为M，点A是椭圆C的右顶点，求直线MA的斜率k的取值范围解
4、(1)椭圆C过点，1，椭圆C关于直线xc对称的图形过坐标原点，a2c，a2b2c2，b2a2，由得a24，b23，椭圆C的方程为1.(2)依题意，直线l过点且斜率不为零，故可设其方程为xmy.由方程组消去x，并整理得4(3m24)y212my450.设E(x1，y1)，F(x2，y2)，M(x0，y0)y1y2，y0，x0my0，k.当m0时，k0当m0时，k，当m>0时，4m8，0<.0<k，当m<0时，4m8，k<0.k且k0.综合、可知，直线MA的斜率k的取值范围是.1.如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y24x上存在不同的两点A，B满足P
5、A，PB的中点均在C上(1)设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；(2)若P是半椭圆x21(x<0)上的动点，求PAB面积的取值范围解(1)证明：设P(x0，y0)，A，B.因为PA，PB的中点在抛物线上，所以y1，y2为方程4·，即y22y0y8x0y0的两个不同的实根所以y1y22y0，所以PM垂直于y轴(2)由(1)可知所以|PM|(yy)x0y3x0，|y1y2|2.所以PAB的面积SPAB|PM|·|y1y2|.因为x1(1x0<0)，所以y4x04x4x044，5，所以PAB面积的取值范围是.2已知椭圆C：1(a>b>0)的焦距为4，且过
6、点(，2)(1)求椭圆C的方程；(2)过椭圆焦点的直线l与椭圆C分别交于点E，F，求·的取值范围解(1)椭圆C：1(a>b>0)的焦距是4，所以焦点坐标是(0，2)，(0，2)，2a4，所以a2，b2，即椭圆C的方程是1.(2)若直线l垂直于x轴，则点E(0，2)，F(0，2)，·8.若直线l不垂直于x轴，设l的方程为ykx2，点E(x1，y1)，F(x2，y2)，将直线l的方程代入椭圆C的方程得到：(2k2)x24kx40，则x1x2，x1x2，所以·x1x2y1y2(1k2)x1x22k(x1x2)448，因为0<10，所以8<
7、3;2，综上所述，·的取值范围是8，2考点2最值问题圆锥曲线中最值问题的解决方法(1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质数形结合求解(2)代数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，或者不等关系，或者已知参数与新参数之间的等量关系等，则利用代数法求参数的范围利用基本不等式求最值已知椭圆C：x22y24.(1)求椭圆C的离心率；(2)设O为原点，若点A在直线y2上，点B在椭圆C上，且OAOB，求线段AB长度的最小值解(1)由题意，椭圆C的标准方程为1，所以a24，b22，从而c2a2b22.因此a2，c.故椭圆C的离心率e.(2)设点A，
8、B的坐标分别为(t，2)，(x0，y0)，其中x00.因为OAOB，所以·0，即tx02y00，解得t.又x2y4，所以|AB|2(x0t)2(y02)2(y02)2xy4x44(0x4)因为4(0<x4)，且当x4时等号成立，所以|AB|28.故线段AB长度的最小值为2.已知点A(0，2)，椭圆E：1(a>b>0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点(1)求E的方程；(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当OPQ的面积最大时，求l的方程解(1)设F(c，0)，由条件知，得c.又，所以a2，b2a2c21.故E的方程为y21.(2)
9、当lx轴时不合题意，故设l：ykx2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)将ykx2代入y21，得(14k2)x216kx120.当16(4k23)>0，即k2>时，x1，2.从而|PQ|x1x2|.又点O到直线PQ的距离d.所以OPQ的面积SOPQ·d·|PQ|.设t，则t>0，SOPQ1.当且仅当t2，即k±时等号成立，且满足>0.所以当OPQ的面积最大时，l的方程为2y±x40.利用函数性质求最值在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：x22py(p0)的焦点为F，点A在C上，若|AO|AF|.(1)求C的方程；(2)设直线l与C
10、交于P，Q，若线段PQ的中点的纵坐标为1，求OPQ的面积的最大值解(1)点A在C上，|AO|AF|，p2，C的方程为x24y.(2)设直线方程为ykxb，代入抛物线方程，可得x24kx4b0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1x24k，x1x24b，y1y24k22b，线段PQ的中点的纵坐标为1，2k2b1，OPQ的面积S·b·b·(0b1)，设yb3b2，y3b22b0，故函数单调递增，b1时，OPQ的面积的最大值为2.若题目中的条件和要求的结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立目标函数，然后根据其结构特征，构建函数模型求最值，一般情况下，可以构建二
11、次型函数、双曲线型函数、多项式型函数等教师备选例题如图，已知点F(1,0)为抛物线y22px(p>0)的焦点过点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在抛物线上，使得ABC的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q，且Q在点F的右侧记AFG，CQG的面积分别为S1，S2.(1)求p的值及抛物线的准线方程；(2)求的最小值及此时点G点坐标解(1)由抛物线的性质可得：1，p2，抛物线的准线方程为x1；(2)设A(xA，yA)，B(xB，yB)，C(xC，yC)，重心G(xG，yG)，令yA2t，t0，则xAt2，由于直线AB过F，故直线AB的方程为xy1，代入y24x，得：y2y40，2tyB4，即
12、yB，B(，)，又xG(xAxBxC)，yG(yAyByC)，重心在x轴上，2tyC0，C，G，直线AC的方程为y2t2t(xt2)，得Q(t21,0)，Q在焦点F的右侧，t2>2，2，令mt22，则m>0，2221，当m时，取得最小值为1，此时G(2,0)已知抛物线y24x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点(1)若2，求直线AB的斜率；(2)设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB面积的最小值解(1)依题意知F(1，0)，设直线AB的方程为xmy1.将直线AB的方程与抛物线的方程联立，消去x得y24my40.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以y1y24m，y1y24.因为2，所以y12y2.联立和，消去y1，y2，得m±.所以直线AB的斜率是±2.(2)由点C与原点O关于点M对称，得M是线段OC的中点，从而点O与点C到直线AB的距离相等，所以四边形OACB的面积等于2SAOB.因为2SAOB2··|OF|·|y1y2|4，所以当m0时，四边形OACB的面积最小，最小值是4.11