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1、导数的计算及其几何意义知识讲解一、导数的概念及其几何意义1.函数的平均变化率：定义：已知函数，是其定义域内不同的两点，记，则当时，商称作函数在区间（或）的平均变化率注意：这里，可为正值，也可为负值但，可以为2.函数的瞬时变化率、函数的导数：定义：设函数在附近有定义，当自变量在附近改变量为时，函数值相应的改变如果当趋近于时，平均变化趋近于一个常数（也就是说平均变化率与某个常数的差的绝对值越来越小，可以小于任意小的正数），那么常数称为函数在点的瞬时变化率“当趋近于零时，趋近于常数”可以用符号“”记作：“当时，”，或记作“”，符号“”读作“趋近于”函数在的瞬时变化率，通常称为在处的导数，并记作这时又
2、称在处是可导的于是上述变化过程，可以记作“当时，”或“”注：是个数3.可导与导函数：定义：如果在开区间内每一点都是可导的，则称在区间可导这样，对开区间内每个值，都对应一个确定的导数于是，在区间内，构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数的导函数记为或（或）注意：导函数通常简称为导数如果不特别指明求某一点的导数，那么求导数指的就是求导函数4.导数的几何意义：内容：设函数的图象如图所示：为过点与的一条割线由此割线的斜率是，可知曲线割线的斜率就是函数的平均变化率当点沿曲线趋近于点时，割线绕点转动，它的最终位置为直线，这条直线叫做此曲线过点的切线，即切线的斜率由导数的几何意义可知，曲线在点的切线的斜率
3、等于5.在点处的切线方程与过点的切线方程1）函数在点处的切线方程为；2）函数过点的切线方程此时可能是切点，也可能不是切点；因此设切点为，求出在处切线方程代入，得，解出，再代入即可注意：过点的切线方程与在点处切线方程不同，应按（2）的做法进行；函数“在点处切线方程”与“在处的切线方程”表达相同的意思；“函数在点处切线方程是”二、导数的运算1.导数公式表基本初等函数导函数（为常数）注意：，这两个经常在考试中碰到，可当成公式记忆2.复合函数的导数复合函数对自变量的导数等于已知函数对中间变量的导数与中间变量的导数的乘积即设则注意：为了便于理解，记，（这里表示趋于0的自变量的改变量，表示趋于0的因变量的
4、改变量），因此，即复合函数求导法则3.导数的四则运算1），即两个函数和的导数，等于两个函数的导数的和2），即两个函数差的导数，等于两个函数的导数的差3），即两个函数积的导数，等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数的乘上第二个函数的导数4），即两个可导函数商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方注意：，这里为常数；经典例题一选择题（共12小题）1已知函数f（x）=x4+2ax2+（a1）x为偶函数，则f（x）的导函数f（x）的图象大致为（）ABCD【解答】解：函数f（x）=x4+2ax2+（a1）x为偶函数，则a1=0，解得a=1，f（x）=x4
5、+2x2，f（x）=4x3+4x；设g（x）=f（x），则g（x）=12x2+4，令g（x）=0，解得x=±33，当0x33时，g（x）0，当x33时，g（x）0；g（x）在x=33时取得极大值为g（33）=4×(33)3+4×33=8392，导函数f（x）的图象大致为选项A所示故选：A2已知曲线y=lnx的切线过原点，则此切线的斜率为（）AeBeC1eD1e【解答】解：设切点坐标为（a，lna），y=lnx，y=1x，切线的斜率是1a，切线的方程为ylna=1a（xa），将（0，0）代入可得lna=1，a=e，切线的斜率是1a=1e；故选：C3设函数f（x）=x
6、lnx，则f（x）的极小值为（）AeB1eCe2D1e【解答】解：函数的定义域为（0，+）f（x）=xlnx，f（x）=lnx+1=0，可得x=1e，0x1e，f（x）0，x1e，f（x）0，x=1e时，f（x）的极小值为1e故选：D4曲线y=13x3-2在点(1，-53)处切线的倾斜角为（）A6B4C34D56【解答】解：y=13x3-2，则y=x2，则k=1，从而tan=1则=4故倾斜角为4，故选：B5已知f（x）=sinx2cosx，实数满足（f（）=3f（），则tan2=（）A43B43C-724D724【解答】解：由于函数f（x）=sinx2cosx，由（f（）=3f（），则0=3（
7、sin2cos），则sin=2cos，可得tan=2，因此，tan2=2tan1-tan2=2×21-22=-43，故选：A6下列求导数运算错误的是（）A（3x）=3xln3B（log3x）=1xln3C（cosxx）=xsinx-cosxx2D（x2lnx）=2xlnx+x【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，（3x）=3xln3，正确；对于B，（log3x）=1xln3，正确；对于C，（cosxx）=(cosx)'x-cosx(x)'x2=-xsinx-cosxx2，计算有误；对于D，（x2lnx）=（x2）lnx+x2（lnx）=2xlnx+x，正确；故选
8、：C7设f（x）=x28lnx，则f'（x）0的解集为（）A（0，+）B（0，1）（2，+）C（，2）（2，+）D（2，+）【解答】解：根据题意，f（x）=x28lnx，必有x0，即函数f（x）=x28lnx的定义域为（0，+），则其导数f'（x）=2x8x，若f'（x）0，则2x8x0，解可得x2，即f'（x）0的解集为（2，+）；故选：D8已知函数f（x）=6x3，g（x）=ex1，则这两个函数的导函数分别为（）Af（x）=63x2，g（x）=exBf（x）=3x2，g（x）=ex1Cf（x）=3x2，g（x）=exDf（x）=63x2，g（x）=ex1【解
9、答】解：f（x）=3x2，g（x）=ex，故选：C9如图是函数f（x）=x3+bx2+cx+d的大致图象，则x1+x2=（）A23B109C89D289【解答】解：f（x）=x3+bx2+cx+d，由图象知，1+bc+d=0，0+0+0+d=0，8+4b+2c+d=0，d=0，b=1，c=2 f（x）=3x2+2bx+c=3x22x2 由题意有x1和x2是函数f（x）的极值，故有x1和x2是f（x）=0的根，x1+x2=23，故选：A10若函数f(x)=13x3-f'(1)x2+2x+5，则f（2）=（）A3B6C2D73【解答】解：由f(x)=13x3-f'(1)x2+2x+
10、5，得f（x）=x22f（1）x+2取x=1得：f（1）=122f（1）+2，所以f（1）=1则f（x）=x22x+2，所以f（2）=222×2+2=2故选：C11函数y=x2+a2x的导数值为0时，x等于（）AaB±aCaDa2【解答】解：y=x2+a2x=x+a2x，y'=1-a2x2令y=0，即1-a2x2=0，解得x=±a故选：B12设f(x)=lnx2+1，则f（2）=（）A45B25C15D35【解答】解：f（x）=lnx2+1，令u（x）=x2+1，则f（u）=lnu，f（u）=1u，u（x）=122xx2+1=xx2+1，由复合函数的导数公
11、式得：f（x）=1x2+1xx2+1=xx2+1，f（2）=25故选：B二填空题（共4小题）13函数y=ln1+x21-x2的导数为2x1-x4【解答】解：y=11+x21-x2（1+x21-x2）=11+x21-x2121+x21-x2（1+x21-x2）=11+x21-x2121+x21-x2.2x(1+x2)-(1+x2)(-2x)(1-x2)2=1-x22(1+x2)4x(1-x2)2=2x1-x4故答案为：2x1-x414函数y=cos（2x2+x）的导数是（4x+1）sin（2x2+x）【解答】解：y=（4x+1）sin（2x2+x），故答案为（4x+1）sin（2x2+x）15已
12、知函数f（x）的导函数为f（x），若f(x)=f'(9)sin3x+cos3x，则f'(9)=33【解答】解：f(x)=f'(9)sin3x+cos3x，f（x）=f'(9)3cos3x3sin3x，令x=9可得 f'(9)=f'(9) 3cos33sin3=f'(9) 323 32，解得 f'(9)=33，故答案为 3316已知曲线f（x）=2x2+1在点M（x0，y0）处的瞬时变化率为8，则点M的坐标为（2，9）【解答】解：y=2x2+1，y=4x，令4x0=8，则x0=2，y0=9，点M的坐标是（2，9），故答案为：（2，9
13、）三解答题（共2小题）17设a0，函数f（x）=x2+a|lnx1|（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（2）当x1，+）时，求函数f（x）的最小值【解答】解（1）当a=1时，f（x）=x2+|lnx1|，x0，当0xe时，f（x）=x2+1lnx，f'(x)=2x-1x，当x=e时，f（x）=x2，f'（x）=2x，当xe时，f（x）=x2+lnx1，f'(x)=2x+1x，令x=1得f（1）=2，f'（1）=1，所以切点为（1，2），切线的斜率为1，所以曲线y=f（x）在x=1处的切线方程为：xy+1=0（2）当xe时，f（x）=x2+
14、alnxa，f'(x)=2x+ax（xe）a0，f（x）0恒成立f（x）在e，+）上增函数故当x=e时，ymin=f（e）=e2当1xe时，f（x）=x2alnx+a，f'(x)=2x-ax=2x(x+a2)(x-a2)（1xe）（i）当a21，即0a2时，f'（x）在x（1，e）时为正数，所以f（x）在区间1，e）上为增函数故当x=1时，ymin=1+a，且此时f（1）f（e）（ii）当1a2e，即2a2e2时，f'（x）在x(1，a2)时为负数，在间x(a2，e)时为正数所以f（x）在区间1，a2)上为减函数，在(a2，e上为增函数故当x=a2时，ymin=
15、3a2-a2lna2，且此时f(a2)f(e)（iii）当a2e；即a2e2时，f'（x）在x（1，e）时为负数，所以f（x）在区间1，e上为减函数，当x=e时，ymin=f（e）=e2综上所述，当a2e2时，f（x）在xe时和1xe时的最小值都是e2所以此时f（x）的最小值为f（e）=e2；当2a2e2时，f（x）在xe时的最小值为f(a2)=3a2-a2lna2，而f(a2)f(e)，所以此时f（x）的最小值为f(a2)=3a2-a2lna2当0a2时，在xe时最小值为e2，在1xe时的最小值为f（1）=1+a，而f（1）f（e），所以此时f（x）的最小值为f（1）=1+a所以函数
16、y=f（x）的最小值为ymin=&1+a，0a2&3a2-a2lna2，2a2e2&e2，a2e218已知f（x）=sin2x+3sinx+3cosx（0x2），（1）求f（x）的值域；（2）求f（x）的单调区间【解答】解：（1）由题意得：f（x）=2sinxcosx+3（sinx+cosx），设sinx+cosx=t(-2t2)，则sin2x=t21，于是只要求g（t）=t2+3t1的值域又g(t)=(t+32)2-134，故与t=±2时，g（t）取得最值即f（x）的值域为1-32，1+32（6分）（2）f'（x）=2cos2x+3（cosxsinx）=（cosxsinx）（2cosx+2sinx+3）而2cosx+2sinx+30故f（x）的单调递减区间为4，54，f（x）的单调递增区间为0，4，54，2（12分）