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1、考点20 平面向量的数量积及向量的应用1平面向量的数量积（1）理解平面向量数量积的含义及其物理意义.（2）了解平面向量的数量积与向量投影的关系.（3）掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.（4）能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.2向量的应用（1）会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.（2）会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.一、平面向量的数量积1平面向量数量积的概念（1）数量积的概念已知两个非零向量，我们把数量叫做向量与的数量积(或内积)，记作,即，其中是与的夹角.【注】零向量与任一向量的数量积为0.（2）投影的概念设非零向量与
2、的夹角是，则()叫做向量在方向上(在方向上)的投影.如图（1）（2）（3）所示，分别是非零向量与的夹角为锐角、钝角、直角时向量在方向上的投影的情形，其中，它的意义是，向量在向量方向上的投影长是向量的长度. （3）数量积的几何意义由向量投影的定义，我们可以得到的几何意义：数量积等于的长度与在方向上的投影的乘积.2平面向量数量积的运算律已知向量和实数,则交换律：；数乘结合律：；分配律：.二、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角及性质设非零向量，是与的夹角.（1）数量积：.（2）模：.（3）夹角： .（4）垂直与平行：；aba·b=±|a|b|.【注】当与同向时,；当与反向时,.（
3、5）性质：|a·b|a|b|(当且仅当ab时等号成立).三、平面向量的应用1向量在平面几何中常见的应用已知.（1）证明线段平行、点共线问题及相似问题，常用向量共线的条件：（2）证明线段垂直问题，如证明四边形是正方形、矩形，判断两直线（或线段）是否垂直等，常用向量垂直的条件：（其中为非零向量）（3）求夹角问题，若向量与的夹角为，利用夹角公式：（其中为非零向量）（4）求线段的长度或说明线段相等，可以用向量的模：，或（其中两点的坐标分别为）（5）对于有些平面几何问题，如载体是长方形、正方形、直角三角形等，常用向量的坐标法，建立平面直角坐标系，把向量用坐标表示出来，通过代数运算解决综合问题.
4、2向量在物理中常见的应用（1）向量与力、速度、加速度及位移力、速度、加速度与位移的合成与分解，实质上就是向量的加减法运算.（2）向量与功、动量力做的功是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，实质是力和位移两个向量的数量积，即为和的夹角).考向一 平面向量数量积的运算平面向量数量积的类型及求法：(1)平面向量数量积有两种计算公式：一是夹角公式；二是坐标公式.(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.典例1 若向量m=(2k-1,k)与向量n=(4,1)共线,则mn=A0B4C D【答案】D【解析】因为向量m=(2k-1,k)与向量n=(4,1)
5、共线，所以2k-1=4k，解得k=-12.即m=(-2,-12)，n=(4,1)，所以mn=.选D典例2 已知向量与的夹角为450，则_【答案】1+2【解析】由向量与的夹角为450，得.1在平行四边形ABCD中，ABCD，则=AB2C3D42已知菱形的边长为2，则A4B6CD考向二 平面向量数量积的应用平面向量数量积主要有两个应用：(1)求夹角的大小：若a，b为非零向量，则由平面向量的数量积公式得(夹角公式)，所以平面向量的数量积可以用来解决有关角度的问题(2)确定夹角的范围：数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两
6、向量的夹角为钝角.典例3 在平行四边形中，若则ABCD【答案】C【解析】如图所示,平行四边形中，因为，所以，则，所以.故选C3已知向量,且与的夹角为钝角，则实数的取值范围是 .考向三 平面向量的模及其应用平面向量的模及其应用的类型与解题策略：(1)求向量的模解决此类问题应注意模的计算公式，或坐标公式的应用，另外也可以运用向量数量积的运算公式列方程求解(2)求模的最值或取值范围解决此类问题通常有以下两种方法：几何法：利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则，结合模的几何意义求模的最值或取值范围；代数法：利用向量的数量积及运算法则转化为不等式或函数求模的最值或取值范围(3)由向量的模求夹角对于此
7、类问题的求解，其实质是求向量模方法的逆运用.典例4 已知平面向量的夹角为，且，则ABCD【答案】B【解析】，所以.故选B4已知OA=2，0，OB=0，2，AC=tAB，tR.当OC最小时，t=_.考向四 平面向量的应用1向量与平面几何综合问题的解法与步骤：(1)向量与平面几何综合问题的解法坐标法把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决基向量法适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程来进行求解【注】用坐标法解题时，建立适当的坐标系是解题的关键，用基向量解题时要选择适当的基底(2)用向量
8、解决平面几何问题的步骤建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；通过向量运算研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；把运算结果“翻译”成几何关系.2利用向量求解三角函数问题的一般思路：(1)求三角函数值，一般利用已知条件将向量关系转化为三角函数关系式利用同角三角函数关系式及三角函数中常用公式求解(2)求角时通常由向量转化为三角函数问题，先求值再求角(3)解决与向量有关的三角函数问题的思想方法是转化与化归的数学思想，即通过向量的相关运算把问题转化为三角函数问题(4)解三角形利用向量的坐标运算，把向量垂直或共线转化为相应的方程，在三角形中利用内角和
9、定理或正、余弦定理解决问题.3用向量法解决物理问题的步骤如下：(1)抽象出物理问题中的向量，转化为数学问题；(2)建立以向量为主体的数学模型；(3)利用向量的线性运算或数量积运算，求解数学模型；(4)用数学模型中的数据解释或分析物理问题. 4常见的向量表示形式：(1)重心若点G是的重心，则或 (其中P为平面内任意一点)反之，若，则点G是的重心(2)垂心若H是的垂心，则.反之，若，则点H是的垂心(3)内心若点I是的内心，则.反之，若，则点I是的内心(4)外心若点O是的外心，则或.反之，若，则点O是的外心.典例5 等腰直角三角形中两直角边上的中线所成的钝角的余弦值为ABCD【答案】A【解析】如图，
10、分别以等腰直角三角形的两直角边所在的直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，设，则，.设向量的夹角为， 则.【思路点拨】根据已知建立平面直角坐标系，将等腰直角三角形的两直角边所在直线作为x轴和y轴，分别设出三角形顶点和两直角边中点的坐标，再代入坐标求解两中线所对应的向量的数量积和模，进而求得夹角的余弦值.5扇形OAB的半径为1，圆心角为90，P是AB上的动点，则OP(OA-OB)的最小值是A0 B-1C-2 D12典例6 已知，函数.（）求函数fx的零点；（）若锐角的三个内角A、B、C的对边分别是a、b、c，且fA=1，求的取值范围.【解析】（）由条件可知:，.故函数fx的零点满足,由，解得, （
11、）由正弦定理得.由（）知，而fA=1，得，又，得.，代入化简得： ， 又在锐角中，有，又，则有，即：3<b+ca2.【名师点睛】利用向量的共线与垂直和数量积之间的关系建立三角方程或三角函数式，从而解决三角函数中的求值、求角或求最值等问题是高考考查的热点.6在中,内角的对边分别为,且向量，若.（1）求的值；（2）若, 求在方向上的投影.典例7 一质点受到平面上的三个力F1、F2、F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态已知F1、F2成60°角，且F1、F2的大小分别为2和4，则F3的大小为_【答案】【解析】由题意知F3=(F1F2)，|F3|=|F1F2|，|F3|2=|F1|2|
12、F2|22|F1|F2|cos60°=28，|F3|=.7在水流速度为的河流中，有一艘船正沿与水流垂直的方向以的速度航行，则船自身航行的速度大小为_.1已知向量a=(3,0)，b=(x,-2)，且a(a-2b)，则x=A-3 B-32C3 D322已知向量，则A0B1C2或2D3已知共点力F1=(lg 2，lg 2)，F2=(lg 5，lg 2)作用在物体M上，产生位移s=(2lg 5,1)，则共点力对物体做的功W为Alg 2Blg 5C1D24设向量a，b满足a=2b=2且2a+3b=1，则向量a在向量b方向的投影为A-2 B-1C1 D25已知向量，则下列结论正确的是ABCD6已
13、知向量，若，的夹角为钝角，则的取值范围是ABC且D7在矩形中，,若点，分别是，的中点，则A4B3C2D18在中，设点、满足，若，则AB2CD39中，设，若，则是A直角三角形 B锐角三角形C钝角三角形 D无法确定其形状10已知向量、为单位向量，且在的方向上的投影为，则向量与的夹角为ABCD11已知向量a=(x-1,2),b=(2,1),则“x>0”是“a与b的夹角为锐角”的A充分不必要条件B充要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件12已知是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则的最小值是AB2CD113已知点，若，则的值为ABCD14已知O是内部一点，OA+OB+OC=0，A
14、BAC=2且BAC=60°，则的面积为A33 B3C32 D2315平面直角坐标系xOy中，分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量，向量，则以下说法正确的是A BC D16已知是互相垂直的单位向量,向量,则_17平面向量a与b的夹角为45°，a=(1,-1)，|b|=1，则|a+2b|=_18已知，且，共线，则向量在方向上的投影为_19如图，在矩形中，点为的中点，点在边上，且，则的值是 ABCEFD20在平行四边形中，点在边上，则的取值范围是 21设向量，其中，若，则 . 22已知向量AB与AC的夹角为120°，且AB=2，AC=3.若AP=AB+AC，且APBC
15、,则实数的值为_23在平行四边形中，.（1）用表示； （2）若，求的值.24如图，在四边形OBCD中，CD=2BO，OA=2AD，D=90°，且BO=AD=1.（1）用OA,OB表示CB；（2）点P在线段AB上，且AB=3AP，求cosPCB的值.1（2019年高考全国I卷理数）已知非零向量a，b满足，且b，则a与b的夹角为A BC D 2（2019年高考全国II卷理数）已知=(2,3)，=(3，t)，=1，则=A3B2C2D33（2018新课标全国理科）已知向量，满足，则A4B3C2D04（2019年高考北京卷理数）设点A，B，C不共线，则“与的夹角为锐角”是“”的A充分而不必要条
16、件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件5（2018新课标全国理科）设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则=A5 B6C7 D86（2018浙江）已知a，b，e是平面向量，e是单位向量若非零向量a与e的夹角为，向量b满足b24e·b+3=0，则|ab|的最小值是A1B+1C2D27（2017新课标全国理科）已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是ABCD8（2017北京理科）设m,n为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件9（2019年高
17、考全国III卷理数）已知a，b为单位向量，且a·b=0，若，则_.10（2019年高考天津卷理数）在四边形中，点在线段的延长线上，且，则_11（2017新课标全国理科）已知向量a，b的夹角为60°，|a|=2，|b|=1，则| a +2b |=_12（2017天津理科）在中，若，且，则的值为_13（2017山东理科）已知是互相垂直的单位向量，若与的夹角为，则实数的值是_14（2017浙江）已知向量a，b满足则的最小值是_，最大值是_15（2019年高考江苏卷）如图，在中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点.若，则的值是_变式拓展1【答案】C【解析】
18、在平行四边形中，则，则故选C2【答案】B【解析】如图所示，菱形的边长为2，且，故选B3【答案】【解析】与的夹角为钝角，即，.又当与反向时，夹角为180°，即，则，解得.应该排除反向的情形，即排除， 于是实数的取值范围为.【误区警示】依据两向量夹角的情况,求向量坐标中的参数时,需注意当夹角为0°时,;当夹角为180°时,这是容易忽略的地方.4【答案】12【解析】AC=tAB,OC-OA=tOB-OA，得OC=tOB+1-tOA=2-2t,2t，OC=2-2t2+4t2=42t-122+12，当t=12时，OC有最小值12.5【答案】B【解析】根据题意建立平面直角坐标
19、系，如图所示，设点P(x,y)，则0x10y1x2+y2=1，OP=(x,y)，OA=(1,0)，OB=(0,1)，OP(OA-OB)=x-y，由图形可知，当x=0，y=1时，上式取得最小值是-1故选B6【解析】（1），又为的内角，.（2）在中，由正弦定理，得，为锐角，由余弦定理，得，解得或（舍去）.在方向上的投影为.7【答案】 【解析】如图，代表水流速度，代表船自身航行的速度，而代表实际航行的速度，所以有，所以船自身航行的速度大小为.考点冲关1【答案】D【解析】a=(3,0)，b=(x,-2)，a-2b=3-2x，4，又a(a-2b)，33-2x=0，x=32.故选D.2【答案】A【解析】因
20、为，所以，所以.故选A3【答案】D 【解析】由题意，共点力F1=(lg 2，lg 2)，F2=(lg 5，lg 2)作用在物体M上，其合力为F1+F2=（1，2lg2）, 产生位移s=(2lg 5,1)，则共点力对物体做的功W=( F1+F2)s=2lg5+2lg2=2.故选D.4【答案】A【解析】由题意可知：a=2b=2，则2a+3b2=4a2+12ab+9b2=1.故选A.5【答案】D【解析】选项A：=，所以选项A错误；选项B：，不平行于，所以选项B错误；选项C：，因为，所以选项C错误；选项D：，因为，所以选项D正确，故选D.6【答案】C【解析】若，的夹角为钝角，则且不反向共线，由，得.当
21、向量，共线时，得，此时.所以且.故选C7【答案】C【解析】由题意作出图形，如图所示：由图及题意，可得：，.故选C8【答案】D【解析】因为，所以，所以.由已知，则.故选D.9【答案】C【解析】因为c(c+a-b)=AB(AB+BC-CA)=2ABAC=2|AB|AC|cosA<0，所以cosA<0,则A为钝角，是钝角三角形.故选C10【答案】A【解析】设向量与的夹角为，因为向量、为单位向量，且在的方向上的投影为，所以，即，则，又，所以，故选A11【答案】C【解析】若a与b的夹角为锐角,则a·b>0,且a与b不平行,所以a·b=2x>0,得x>0,
22、且x-14,x5,所以“x>0”是“a与b的夹角为锐角”的必要不充分条件.故选C12【答案】A【解析】以为轴，以边上的高为轴建立平面直角坐标系，如图，则，设，则，所以当时，取得最小值.故选A13【答案】C【解析】，则，.故选C.14【答案】A【解析】由OA+OB+OC=0可知点O是的重心，又ABAC =|AB|AC|cos600=2，所以|AB|AC|=4，则=33，故选A15【答案】B【解析】由题意不妨设，则，据此逐一考查所给的选项：a=4+0=2，b=1+1=2，则ab，选项A错误；a-b=1,-1,a-bb=1,-11,1=0，则a-bb，选项B正确；ab=2,01,1=2，则ab
23、1，选项C错误；不存在实数满足a=b，则不成立，选项D错误.故选B.16【答案】2【解析】由题得.17【答案】10 【解析】由a=1,-1，得a=2，又b=1，且向量a与b的夹角为45，a+2b2=a2+4abcos45+4b2=2+4×2×1×22+4=10，a+2b=10.18【答案】【解析】由与共线得：，解得：.向量在方向上的投影为：.19【答案】【解析】以为原点，为轴，为轴，建立平面直角坐标系，则，.20【答案】【解析】因为点在边上，所以设，则，所以，又，所以，故答案为21【答案】【解析】将的两边平方并化简可得，又，是单位向量，即，即，又，.22【答案】【
24、解析】由题意可得APBC=0，即(AB+AC)(AC-AB)=0，整理得AC2+(-1)ABAC-AB2=0，因为向量AB与AC的夹角为120°，且AB=2，AC=3，所以9+(-1)×2×3×(-12)-4=0，解得.23【解析】（1）.（2），.由图可得：，.24【解析】（1）因为OA=2AD，所以DO=32AO.因为CD=2BO，所以CB=CD+DO+OB =2BO+32AO+OB=-32OA-OB.（2）因为CD=2BO，所以OBCD.因为OA=2AD，所以点O,A,D共线.因为D=90°，所以O=90°.以O为坐标原点，OA
25、所在的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系. 因为BO=AD=1，CD=2BO，OA=2AD，所以A(2,0),B(0,1),C(3,2).所以AC=(1,2)，AB=(-2,1).因为点P在线段AB上，且AB=3AP，所以AP=13AB=(-23,13)，所以CP=AP-AC=(-53,-53).因为CB=(-3,-1)，所以.直通高考1【答案】B【解析】因为b，所以=0，所以，所以=，所以a与b的夹角为，故选B【名师点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为2【答案】C【解析】由，得，则，故选C【名师点
26、睛】本题考点为平面向量的数量积，侧重基础知识和基本技能，难度不大3【答案】B【解析】因为,所以选B.4【答案】C【解析】与的夹角为锐角，所以，即，因为，所以|+|>|；当|+|>|成立时，|+|2>|-|2>0，又因为点A，B，C不共线，所以与的夹角为锐角.故“与的夹角为锐角”是“|+|>|”的充分必要条件.故选C【名师点睛】本题考查充要条件的概念与判断平面向量的模夹角与数量积,同时考查了转化与化归数学思想.5【答案】D【解析】根据题意，过点（2，0）且斜率为23的直线方程为y=23(x+2)，与抛物线方程联立，消元整理得：y2-6y+8=0，解得M(1,2),N
27、(4,4)，又F(1,0)，所以FM=(0,2),FN=(3,4)，从而可以求得FMFN=0×3+2×4=8，故选D.6【答案】A【解析】设a=(x,y),e=(1,0),b=(m,n)，则由a,e=3得ae=|a|e|cos3,x=12x2+y2,y=±3x，由b24e·b+3=0得m2+n2-4m+3=0,(m-2)2+n2=1,因此|ab|的最小值为圆心(2,0)到直线y=±3x的距离减去半径1，为3-1.选A.7【答案】B【解析】如图，以为轴，的垂直平分线为轴，为坐标原点建立平面直角坐标系，则，设，所以，所以，当时，所求的最小值为，故选
28、B【名师点睛】平面向量中有关最值问题的求解通常有两种思路：“形化”，即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决8【答案】A【解析】若，使，则两向量反向，夹角是，那么；若，那么两向量的夹角为，并不一定反向，即不一定存在负数，使得，所以是充分而不必要条件，故选A.9【答案】【解析】因为，所以，所以，所以【名师点睛】本题主要考查平面向量的数量积、向量的夹角渗透了数学运算、直观想象素养使用转化思想得出答
29、案10【答案】【解析】建立如图所示的直角坐标系，DAB=30°，则，.因为，所以，因为，所以，所以直线的斜率为，其方程为，直线的斜率为，其方程为.由得，所以.所以.【名师点睛】平面向量问题有两大类解法：基向量法和坐标法，在便于建立坐标系的问题中使用坐标方法更为方便.11【答案】【解析】方法一：，所以.方法二：利用如下图形，可以判断出的模长是以2为边长，一夹角为60°的菱形的对角线的长度，则为.【名师点睛】平面向量中涉及有关模长的问题时，常用到的通法是将模长进行平方，利用向量数量积的知识进行解答，很快就能得出答案；另外，向量是一个工具型的知识，具备代数和几何特征，在做这类问题
30、时可以使用数形结合的思想，会加快解题速度.12【答案】【解析】由题可得，则【名师点睛】根据平面向量基本定理，利用表示平面向量的一组基底可以表示平面内的任一向量，利用向量的定比分点公式表示向量，则可获解本题中已知模和夹角，作为基底易于计算数量积13【答案】【解析】，解得【名师点睛】（1）平面向量与的数量积为，其中是与的夹角，要注意夹角的定义和它的取值范围：.（2）由向量的数量积的性质有，因此，利用平面向量的数量积可以解决与长度、角度、垂直等有关的问题（3）本题主要利用向量的模与向量运算的灵活转换，应用平面向量的夹角公式，建立关于的方程求解.14【答案】4，【解析】设向量的夹角为，则，则，令，则，据此可得：，即的最小值是4，最大值是【名师点睛】本题通过设向量的夹角为，结合模长公式，可得，再利用三角函数的有界性求出最大、最小值，属中档题，对学生的转化能力和最值处理能力有一定的要求15【答案】.【解析】如图，过点D作DF/CE，交AB于点F，由BE=2EA，D为BC的中点，知BF=FE=EA,AO=OD，得即故【名师点睛】本题考查在三角形中平面向量的数量积运算，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养.采取几何法，利用数形结合和方程思想解题.