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1、第1讲集合1.元素与集合(1)集合元素的性质:、无序性. (2)集合与元素的关系:属于,记为;不属于,记为. (3)集合的表示方法:列举法、和. (4)常见数集及记法数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号 2.集合间的基本关系文字语言符号语言记法基本关系子集集合A中的都是集合B中的元素 xAxBAB或 集合A是集合B的子集,但集合B中有一个元素不属于A AB,x0B,x0AA B或B A相等集合A,B的元素完全 AB,BA 空集任何元素的集合
2、,空集是任何集合的子集 x,x,A3.集合的基本运算 表示运算 文字语言符号语言图形语言记法交集属于A属于B的元素组成的集合 x|xA,xB 并集属于A 属于B的元素组成的集合x|xA,xB 补集全集U中属于A的元素组成的集合 x|xU,x A 4.集合的运算性质(1)并集的性质:A=A;AA=A;AB=;AB=BA. (2)交集的性质:A=;AA=A;AB=BA;AB=AAB. (3)补集的性质:A(UA)=U;A(UA)=; U(UA)=;U(AB)=(U
3、A)(UB);U(AB)=. 常用结论(1)非常规性表示常用数集:如x|x=2(n-1),nZ为偶数集,x|x=4n±1,nZ为奇数集等.(2)一个集合的真子集必是其子集,一个集合的子集不一定是其真子集;任何一个集合是它本身的子集;对于集合A,B,C,若AB,BC,则AC(真子集也满足);若AB,则有A=和A两种可能.(3)集合子集的个数:集合A中有n个元素,则集合A有2n个子集、2n-1个真子集、2n-1个非空子集、2n-2个非空真子集.集合元素个数:card(AB)=card(A)+card(B)-card(AB)(常用在实际问题中).题组一常识题1.教材改编 已知集合
4、A=0,1,x2-5x,若-4A,则实数x的值为. 2.教材改编 已知集合A=a,b,若AB=a,b,c,则满足条件的集合B有个. 3.教材改编 设全集U=R,集合A=x|0x2,B=y|1y3,则(UA)B=. 4.教材改编 已知集合A=-1,1,B=a,a2+2.若AB=1,则实数a的值为. 题组二常错题索引:忽视集合元素的性质致错;对集合的表示方法理解不到位致错;忘记空集的情况导致出错;忽视集合运算中端点取值致错.5.已知集合A=1,3,m,B=1,m,若BA,则m=. 6.已知xN,yN,M=(x,y)|x+y2,N=(x,y)|x-y
5、0,则MN中元素的个数是. 7.已知集合M=x|x-a=0,N=x|ax-1=0,若MN=N,则实数a的值是. 8.设集合A=x|x-a|<1,xR,B=x|1<x<5,xR,若AB,则a的取值范围为. 探究点一集合的含义与表示例1 (1)2018·全国卷 已知集合A=(x,y)|x2+y23,xZ,yZ,则A中元素的个数为()A.9B.8C.5D.4(2)设集合A=-4,2a-1,a2,B=9,a-5,1-a,且集合A,B中有唯一的公共元素9,则实数a的值为. 总结反思 解决集合含义问题的
6、关键有三点:一是确定构成集合的元素;二是确定元素的限制条件;三是根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题.特别提醒:含字母的集合问题,在求出字母的值后,需要验证集合的元素是否满足互异性.变式题 (1)已知集合A=x|x=3k-1,kZ,则下列表示正确的是()A.-1AB.-11AC.3k2-1AD.-34A(2)2018·上海黄浦区二模 已知集合A=1,2,3,B=1,m,若3-mA,则非零实数m的值是. 探究点二集合间的基本关系例2 (1)2018·武汉4月调研 已知集合M=x|x2=1,N=x|ax=1,若NM,则实数a的取值集合为()A.1B.-1
7、,1C.1,0D.1,-1,0(2)设集合M=x|x=5-4a+a2,aR,N=y|y=4b2+4b+2,bR,则下列关系中正确的是()A.M=NB.MNC.NMD.MN 总结反思 (1)一般利用数轴法、Venn图法以及结构法判断两集合间的关系,如果集合中含有参数,需要对式子进行变形,有时需要进一步对参数分类讨论.(2)确定非空集合A的子集的个数,需先确定集合A中的元素的个数.特别提醒:不能忽略任何非空集合是它自身的子集.(3)根据集合间的关系求参数值(或取值范围)的关键是将条件转化为元素满足的式子或区间端点间的关系,常用数轴法、Venn图法.变式题 (1)设
8、x,yR,集合A=(x,y)|y=x,B=(x,y)yx=1,则集合A,B间的关系为()A.ABB.BAC.A=BD.AB=(2)已知集合M=x|x1,N=x|ax3a+1,若MN=,则a的取值范围是. 探究点三集合的基本运算角度1集合的运算例3 (1)2018·长沙周南中学月考 已知集合A=x|x<1,B=x|ex<1,则()A.AB=x|x<1B.AB=x|x<eC.A(RB)=RD.(RA)B=x|0<x<1(2)2018·山西大学附中5月调研 已知集合A=x|2x1,B=x|ln x<1,则AB=()A.x|x&l
9、t;eB.x|0xeC.x|xeD.x|x>e 总结反思 对于已知集合的运算,可根据集合的交集和并集的定义直接求解,必要时可结合数轴以及Venn图求解.角度2利用集合运算求参数例4 (1)已知集合A=xZ|x2-4x-5<0,B=x|4x>2m,若AB中有三个元素,则实数m的取值范围是()A.3,6)B.1,2)C.2,4)D.(2,4(2)设全集U=R,集合A=x|x>1,集合B=x|x>p,若(UA)B=,则p应该满足的条件是()A.p>1B.p1C.p<1D.p1 总结反思 根据
10、集合运算求参数,要把集合语言转换为方程或不等式,然后解方程或不等式,再利用数形结合法求解.角度3集合语言的运用例5 (1)已知集合S=0,1,2,3,4,5,A是S的一个子集,当xA时,若有x-1A且x+1A,则称x为A的一个“孤立元素”,那么S的无“孤立元素”的非空子集的个数为()A.16B.17C.18D.20(2)对于a,bN,规定a*b=a+b,a与b的奇偶性相同,a×b,a与b的奇偶性不同,集合M=(a,b)|a*b=36,a,bN*,则M中的元素个数为. 总结反思 解决集合新定义问题的关键是:(1)准确转化:解决新定义问题时,
11、一定要读懂新定义的本质含义,紧扣题目所给定义,结合题目的要求进行恰当转化,切忌同已有概念或定义相混淆.(2)方法选取:对于新定义问题,可恰当选用特例法、筛选法、一般逻辑推理等方法,并结合集合的相关性质求解.第1讲集合考试说明 1.集合的含义与表示:(1)了解集合的含义、元素与集合的属于关系;(2)能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.2.集合间的基本关系:(1)理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集;(2)在具体情境中,了解全集与空集的含义.3.集合的基本运算:(1)理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集;(2)理解在给定集合中
12、一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集;(3)能使用韦恩(Venn)图表达集合间的关系及运算.【课前双基巩固】知识聚焦1.(1)确定性互异性(2)(3)描述法图示法(4)NN*或N+ZQR2.任意一个元素BA至少相同A=B不含3.且且AB或或AB不UA4.(1)BAA(2)(3)A(UA)(UB)对点演练1.4或1解析 因为-4A,所以x2-5x=-4,解得x=1或x=4.2.4解析 因为(AB)B,A=a,b,所以满足条件的集合B可以是c,a,c,b,c,a,b,c,所以满足条件的集合B有4个.3.(-,0)1,+)解析 因为UA=x|x>2或x<0,B=y|1y3,所以(UA
13、)B=(-,0)1,+).4.1解析 由题意可得1B,又a2+22,故a=1,此时B=1,3,符合题意.5.0或3解析 因为BA,所以m=3或m=m,即m=3或m=0或m=1,根据集合元素的互异性可知,m1,所以m=0或3.6.4解析 依题意得M=(0,2),(0,1),(1,1),(0,0),(1,0),(2,0),所以MN=(1,1),(0,0),(1,0),(2,0),所以MN中有4个元素.7.0或1或-1解析 易得M=a.MN=N,NM,N=或N=M,a=0或a=±1.8.2a4解析 由|x-a|<1得-1<x-a<1,a-1<x<a+1,由AB
14、得a-11,a+1<5或a-1>1,a+15,2a4.【课堂考点探究】例1思路点拨 (1)根据列举法,确定圆及其内部整数点的个数;(2)因为9A,所以依据2a-1=9或a2=9分类求解,但要注意集合元素的互异性.(1)A(2)-3解析 (1)当x=-1时,y=-1,0,1;当x=0时,y=-1,0,1;当x=1时,y=-1,0,1.所以集合A=(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(0,-1),(0,0),(0,1),(1,-1),(1,0),(1,1),共有9个元素.(2)集合A,B中有唯一的公共元素9,9A.若2a-1=9,即a=5,此时A=-4,9,25,B=9,0,-
15、4,则集合A,B中有两个公共元素-4,9,与已知矛盾,舍去.若a2=9,则a=±3,当a=3时,A=-4,9,5,B=-2,-2,9,B中有两个元素均为-2,与集合中元素的互异性矛盾,应舍去;当a=-3时,A=-4,-7,9,B=9,-8,4,符合题意.综上所述,a=-3.变式题(1)C(2)2解析 (1)当k=0时,x=-1,所以-1A,所以A错误;令-11=3k-1,得k=-103Z,所以-11A,所以B错误;令-34=3k-1,得k=-11,所以-34A,所以D错误;因为kZ,所以k2Z,则3k2-1A,所以C正确.(2)由题知,若3-m=2,则m=1,此时集合B不符合元素的互
16、异性,故m1;若3-m=1,则m=2,符合题意;若3-m=3,则m=0,不符合题意.故答案为2.例2思路点拨 (1)先求出集合M=x|x2=1=-1,1,当a=0和a0时,分析集合N,再根据集合M,N的关系求a;(2)把集合对应的函数化简,求出集合M,N,即可得M,N的关系.(1)D(2)A解析 (1)集合M=x|x2=1=-1,1,N=x|ax=1,NM,当a=0时,N=,成立;当a0时,N=1a,则1a=-1或1a=1,解得a=-1或a=1.综上,实数a的取值集合为1,-1,0.故选D.(2)集合M=x|x=5-4a+a2,aR=x|x=(a-2)2+1,aR=x|x1,N=y|y=4b2
17、+4b+2,bR=y|y=(2b+1)2+1,bR=y|y1,M=N.变式题(1)B(2)a<-12或a>1解析 (1)由题意得,集合A=(x,y)|y=x表示直线y=x上的所有点,集合B=(x,y)yx=1表示直线y=x上除点(0,0)外的所有点,所以BA.故选B.(2)当N=时,由a>3a+1得a<-12,满足MN=;当N时,由MN=得1<a,a3a+1,解得a>1.所以a的取值范围是a<-12或a>1.例3思路点拨 (1)先求出RA,RB,再判断各选项是否正确;(2)先求出A,B中不等式的解集,确定出集合A,B,再求出两集合的并集即可.(1
18、)C(2)A解析 (1)集合A=x|x<1,B=x|ex<1=x|x<0,RB=x|x0,RA=x|x1.易知AB=x|x<0,故A错误;AB=x|x<1,故B错误;A(RB)=R,故C正确;(RA)B=,故D错误.故选C.(2)集合A=x|2x1=x|x0,B=x|ln x<1=x|0<x<e,AB=x|x<e,故选A.例4思路点拨 (1)分别求出集合A和B,根据AB中有三个元素,求出实数m的取值范围;(2)根据补集、交集和空集的定义即可得出p满足的条件.(1)C(2)B解析 (1)集合A=xZ|x2-4x-5<0=0,1,2,3,
19、4,B=x|4x>2m=x|x>m2,AB中有三个元素,1m2<2,解得2m<4,实数m的取值范围是2,4).(2)全集U=R,集合A=x|x>1,集合B=x|x>p,UA=x|x1,又(UA)B=,p1.例5思路点拨 (1)按照S的无“孤立元素”的非空子集所含元素个数的多少分类讨论,可得出结果;(2)根据定义分情况讨论满足条件的点(a,b)的个数,从而得出M中的元素个数.(1)D(2)41解析 (1)根据“孤立元素”的定义知,单元素集合都含“孤立元素”.S的无“孤立元素”且含2个元素的子集为0,1,1,2,2,3,3,4,4,5,共5个;S的无“孤立元素”
20、且含3个元素的子集为0,1,2,1,2,3,2,3,4,3,4,5,共4个;S的无“孤立元素”且含4个元素的子集为0,1,2,3,0,1,3,4,0,1,4,5,1,2,3,4,1,2,4,5,2,3,4,5,共6个;S的无“孤立元素”且含5个元素的子集为0,1,2,3,4,1,2,3,4,5,0,1,2,4,5,0,1,3,4,5,共4个;S的无“孤立元素”且含6个元素的子集为0,1,2,3,4,5,共1个.故S的无“孤立元素”的非空子集有5+4+6+4+1=20(个).(2)由a*b=36,a,bN*知,若a和b一奇一偶,则a×b=36,满足此条件的有1×36=3
21、15;12=4×9,故点(a,b)有6个;若a和b同奇同偶,则a+b=36,满足此条件的有1+35=2+34=3+33=4+32=18+18,共18组,故点(a,b)有35个.所以M中的元素个数为41.【备选理由】 例1考查对两集合之间关系以及元素与集合之间关系的理解;例2考查集合的运算及集合子集个数的计算;例3考查集合的运算;例4为根据集合运算求参数问题,重点关注区间端点的取值情况.例1配合例2使用 2018·陕西黄陵中学三模 已知集合M=x|y=(-x2+2x+3)12,xN,Q=z|z=x+y,xM,yM,则下列运算正确的是()A.MQ=B.MQ=ZC.MQ=QD.M
22、Q=Q解析 C由-x2+2x+3>0,得-1<x<3,xN,x=0,1,2,M=0,1,2.Q=z|z=x+y,xM,yM,Q=0,1,2,3,4,MQ=M,MQ=Q,故选C.例2配合例3使用 2018·佛山南海中学模拟 已知集合A=xN|x2-2x0,B=x|-1x2,则AB的子集的个数为()A.3B.4C.7D.8解析 DA=xN|x2-2x0=0,1,2,B=x|-1x2,AB=0,1,2,AB的子集的个数为23=8,故选D.例3配合例3使用 设集合A=x|x-1|2,B=x|y=lg(-x-3),则AB=()A.(-4,+)B.-4,+)C.(-,-3)D.(-,-3)3,+)解析 C由|x-1|2,得x-12或x-1-2,即x3或x-1.由-x-3>0,得x<-3,所以AB=x|x3或x-1x|x<-3=x|x<-3,故选C.例4配合例4使用 已知集合A=x|y=4-x2,B=x|axa+1,若AB=A,则实数a的取值范围为()A.(-,-32,+)B.-1,2C.-2,1 D.2,+)解析 C要使函数y=4-x2有意义,则4-x20,据此可得A=x|-2x2.若AB=A,则集合B是集合A的子集,据此有a-2,a+12,求解不等式组可得,实数a的取值范围为-2,1.11