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1、1 第五节第五节 椭圆椭圆 最新考纲 1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质(范围、对称性、顶点、离心率).3.理解数形结合思想.4.了解椭圆的简单应用 1椭圆的定义 (1)平面内与两个定点 F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 (2)集合 PM|MF1|MF2|2a， |F1F2|2c， 其中 a， c 为常数且 a0， c0. 当 2a|F1F2|时，M 点的轨迹为椭圆； 当 2a|F1F2|时，M 点的轨迹为线段 F1F2；
2、当 2ab0) y2a2x2b21(ab0) 图形 性质 范围 axa byb bxb aya 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 A1(a，0)，A2(a，0)，B1(0，b)，B2(0，b) A1(0，a)，A2(0，a)，B1(b，0)，B2(b，0) 离心率 eca，且 e(0，1) a，b，c 的关系 c2a2b2 常用结论 2 1点 P(x0，y0)和椭圆的位置关系 (1)点 P(x0，y0)在椭圆内x20a2y20b21 (2)点 P(x0，y0)在椭圆上x20a2y20b21 (3)点 P(x0，y0)在椭圆外x20a2y20b21 2焦点三角形 如图，椭圆上的点 P
3、(x0，y0)与两焦点构成的PF1F2叫做焦点三角形设 r1|PF1|，r2|PF2|，F1PF2，PF1F2的面积为 S，则在椭圆x2a2y2b21(ab0)中： (1)当 r1r2时，即点 P 的位置为短轴端点时， 最大； (2)Sb2tan 2c|y0|，当|y0|b 时，即点 P 的位置为短轴端点时，S 取最大值，最大值为 bc. (3)ac|PF1|ac (4)|PF1|aex0，|PF2|aex0 3椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中 a 是斜边长，a2b2c2 4已知过焦点 F1的弦 AB，则ABF2的周长为 4a 5椭圆中点弦的斜率公式 若 M(x0，y0
4、)是椭圆x2a2y2b21(ab0)的弦 AB(AB 不平行 y 轴)的中点，则有 kABkOMb2a2，即 kABb2x0a2y0 6弦长公式：直线与圆锥曲线相交所得的弦长 |AB|1k2|x1x2| （1k2）（x1x2）24x1x2 3 11k2|y1y2|11k2（y1y2）24y1y2(k 为直线的斜率) 一、思考辨析(正确的打“” ，错误的打“”) (1)平面内与两个定点 F1， F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆 ( ) (2)椭圆上一点 P 与两焦点 F1，F2构成PF1F2的周长为 2a2c(其中 a 为椭圆的长半轴长，c 为椭圆的半焦距)( ) (3)椭圆的离心率 e
5、越大，椭圆就越圆( ) (4)关于x， y的方程mx2ny21(m0， n0， mn)表示的曲线是椭圆 ( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 二、教材改编 1若 F1(3，0)，F2(3，0)，点 P 到 F1，F2距离之和为 10，则 P 点的轨迹方程是( ) A.x225y2161 B.x2100y291 C.y225x2161 D.x225y2161 或y225x2161 A 设点 P 的坐标为(x，y)，因为|PF1|PF2|10|F1F2|6，所以点 P 的轨迹是以 F1，F2为焦点的椭圆，其中 a5，c3，b a2c24，故点 P 的轨迹方程为x225y2161.故选 A.
6、 2设椭圆的两个焦点分别为 F1，F2，过点 F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是( ) A.22 B.212 C2 2 D. 21 D 法一：设椭圆方程为x2a2y2b21(ab0)，依题意，显然有|PF2|F1F2|，则b2a2c，即a2c2a2c，即 e22e10，又 0eb0) 因为椭圆的一个焦点为F(1，0)，离心率 e12，所以c1，ca12，a2b2c2，解得a2c2，b23，故椭圆的标准方程为x24y231. 第第 1 课时课时 椭圆及其性质椭圆及其性质 考点 1 椭圆的定义及应用 椭圆定义的应用主要有两个方面 一是判定平面内动点的轨
7、迹是否为椭圆；二是利用定义求焦点三角形的周长、面积、弦长、最值和离心率等 (1)如图所示，一圆形纸片的圆心为 O，F 是圆内一定点，M 是圆周上一动点，把纸片折叠使 M 与 F 重合，然后抹平纸片，折痕为 CD，设 CD 与 OM 交于点 P，则点 P 的轨迹是( ) A椭圆 B双曲线 C抛物线 D圆 5 (2)F1， F2是椭圆x29y271 的两个焦点， A 为椭圆上一点， 且AF1F245，则AF1F2的面积为( ) A7 B.74 C.72 D.7 52 (1)A (2)C (1)由题意可知，CD 是线段 MF 的垂直平分线， |MP|PF|， |PF|PO|PM|PO|MO|(定值)
8、 又|MO|FO|， 点 P 的轨迹是以 F，O 为焦点的椭圆，故选 A. (2)由题意得 a3，b 7，c 2， |F1F2|2 2，|AF1|AF2|6. |AF2|2|AF1|2|F1F2|22|AF1|F1F2|cos 45|AF1|24|AF1|8， (6|AF1|)2|AF1|24|AF1|8. |AF1|72，SAF1F212722 22272. 本例(1)应用线段中垂线的性质实现了“|PF|PO|”向定值的转化；本例(2)把余弦定理与椭圆的定义交汇在一起，借助方程的思想解出|AF1|，从而求得AF1F2的面积 教师备选例题 设 F1，F2分别是椭圆x225y2161 的左、右焦
9、点，P 为椭圆上任意一点，点 M的坐标为(6，4)，则|PM|PF1|的最小值为_ 5 由椭圆的方程可知F2(3， 0)， 由椭圆的定义可得|PF1|2a|PF2|.|PM|PF1|PM|(2a|PF2|)|PM|PF2|2a|MF2|2a， 当且仅当 M，P，F2三点共线时取得等号， 又|MF2|（63）2（40）25，2a10， |PM|PF1|5105， 即|PM|PF1|的最小值为5. 6 已知 F1，F2是椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的两个焦点，P 为椭圆 C上的一点，且 PF1PF2，若PF1F2的面积为 9，则 b_ 3 设|PF1|r1，|PF2|r2， 则r1r22
10、a，r21r224c2，所以 2r1r2(r1r2)2(r21r22)4a24c24b2， 所以 SPF1F212r1r2b29，所以 b3. 考点 2 椭圆的标准方程 定义法 先根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义，并确定 a2，b2的值，再结合焦点位置可写出椭圆方程特别地，利用定义法求椭圆方程要注意条件 2a|F1F2|. 1.在ABC 中，A(4，0)，B(4，0)，ABC 的周长是 18，则顶点 C的轨迹方程是( ) A.x225y291(y0) B.y225x291(y0) C.x216y291(y0) D.y216x291(y0) A 由|AC|BC|188108 知，顶点
11、 C 的轨迹是以 A，B 为焦点的椭圆(A，B，C 不共线)设其方程为x2a2y2b21(ab0)，则 a5，c4，从而 b3. 由 A，B，C 不共线知 y0. 故顶点 C 的轨迹方程是x225y291(y0) 2已知两圆 C1：(x4)2y2169，C2：(x4)2y29，动圆在圆 C1内部且和圆 C1相内切，和圆 C2相外切，则动圆圆心 M 的轨迹方程为( ) A.x264y2481 B.x248y2641 C.x248y2641 D.x264y2481 D 设圆 M 的半径为 r，则|MC1|MC2|(13r)(3r)16，又|C1C2|87 16，动圆圆心 M 的轨迹是以 C1，C2
12、为焦点的椭圆，且 2a16，2c8，则a8，c4，b248，故所求的轨迹方程为x264y2481. 利用定义法求轨迹方程时，注意检验所求轨迹是否是完整的曲线，倘若不是完整的曲线，应对曲线中的变量 x 或 y 进行限制 待定系数法 利用待定系数法要先定形(焦点位置)， 再定量， 即首先确定焦点所在位置，然后根据条件建立关于 a，b 的方程组如果焦点位置不确定，可设椭圆方程为 mx2ny21(m0，n0，mn)的形式 1.已知椭圆的中心在原点， 以坐标轴为对称轴， 且经过两点32，52，( 3， 5)，则椭圆方程为_ y210 x261 设椭圆方程为 mx2ny21(m，n0，mn) 由322m5
13、22n1，3m5n1， 解得 m16，n110. 椭圆方程为y210 x261. 2过点( 3， 5)，且与椭圆y225x291 有相同焦点的椭圆的标准方程为_ y220 x241 法一：椭圆y225x291 的焦点为(0，4)，(0，4)，即 c4. 由椭圆的定义知， 2a（ 30）2（ 54）2（ 30）2（ 54）2， 解得 a2 5. 由 c2a2b2可得 b24， 所求椭圆的标准方程为y220 x241. 法二：所求椭圆与椭圆y225x291 的焦点相同， 8 其焦点在 y 轴上， 且 c225916. 设它的标准方程为y2a2x2b21(ab0) c216，且 c2a2b2， 故
14、a2b216. 又点( 3， 5)在所求椭圆上， （ 5）2a2（ 3）2b21， 则5a23b21. 由得 b24，a220， 所求椭圆的标准方程为y220 x241. 3设 F1，F2分别是椭圆 E：x2y2b21(0b1)的左、右焦点，过点 F1的直线交椭圆 E 于 A，B 两点若|AF1|3|F1B|，AF2x 轴，则椭圆 E 的方程为_ x232y21 不妨设点 A 在第一象限，如图所示 AF2x 轴，A(c，b2)(其中 c21b2，0b1，c0) 又|AF1|3|F1B|， 由AF13F1B得 B5c3，b23， 代入 x2y2b21 得25c29b49b21. 又 c21b2，
15、 b223. 故椭圆 E 的方程为 x232y21. 9 (1)已知椭圆上两点，常设方程为 mx2ny21(m0，n0，mn)；(2)椭圆的通径(过焦点且与长轴垂直的弦)长为2b2a. 考点 3 椭圆的几何性质 椭圆的长轴、短轴、焦距 求解与椭圆几何性质有关的问题，如：顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的内在联系，同时要结合图形进行分析 (1)已知椭圆x2m2y210m1 的长轴在 x 轴上，焦距为 4，则 m 等于( ) A8 B7 C6 D5 (2)已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)，若长轴长为 6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为_ (1)A (
16、2)x29y281 (1)因为椭圆x2m2y210m1 的长轴在 x 轴上，所以m20，10m0，m210m， 解得 6mb0)的左、右两个焦点，若椭圆上存在点 P 使得 PF1PF2，则该椭圆的离心率的取值范围是( ) A.55，1 B.22，1 C.0，55 D.0，22 B F1，F2是椭圆x2a2y2b21(ab0)的左、右两个焦点，0e1，F1(c，0)，F2(c，0)，c2a2b2.设点 P(x，y)，由 PF1PF2，得(xc，y) (xc，y)0，化简得 x2y2c2. 联立方程组x2y2c2，x2a2y2b21， 整理得，x2(2c2a2)a2c20，解得 e22. 又 0e
17、1，22ebc0，a2b2c2)的左、右焦点分别为 F1，F2，若以 F2为圆心， bc 为半径作圆 F2，过椭圆上一点 P 作此圆的切线，切点为 T，且|PT|的最小值不小于32(ac)，则椭圆的离心率 e 的取值范围是_ 35，22 因为|PT| |PF2|2（bc）2(bc)， 而|PF2|的最小值为 ac， 所以|PT|的最小值为 （ac）2（bc）2. 依题意，有 （ac）2（bc）232(ac)， 所以(ac)24(bc)2，所以 ac2(bc)， 所以 ac2b，所以(ac)24(a2c2)， 所以 5c22ac3a20， 所以 5e22e30. 又 bc，所以 b2c2，所以 a2c2c2， 所以 2e21. 15 联立，得35e22. 以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为 1，则椭圆长轴长的最小值为( ) A1 B 2 C2 D2 2 D 设 a，b，c 分别为椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距，依题意知，当三角形的高为 b 时面积最大， 所以122cb1，bc1， 而 2a2 b2c22 2bc2 2(当且仅当 bc1 时取等号)即长轴长 2a的最小值为 2 2.