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1、淘宝店铺：漫兮教育 三角函数微专题教学设计一轮复习（理科）蕲春一中 刘海英三角函数是一种重要的初等函数，它在解决高中数学的问题上具有广泛的应用，是高中数学的主干知识之一，也是高考必考的重点内容。它对运算求解能力，分析转化能力和逻辑推理能力要求较高，可作为区分能力，考查能力的重要手段。因此三角函数的复习要引起我们足够的重视，下面我从两个部分谈谈三角函数的复习。第一部分：三角函数总体设计一、阐释考试说明对该专题的要求（一）新课程标准对三角函数的要求（1）任意角、弧度制 了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化。（2）三角函数 借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。 借助单
2、位圆中的三角函数线推导出诱导公式（± , ±的正弦、余弦、正切），能画出y=sin x , y=cos x , y=tan x 的图象，了解三角函数的周期性。 借助图象理解正弦函数、余弦函数在0,2，正切函数在- ，上的性质（如单调性、最大和最小值、图象与x轴交点等）。 理解同角三角函数的基本关系式:错误！未找到引用源。 结合具体实例，了解错误！未找到引用源。的实际意义；能借助计算器或计算机画出错误！未找到引用源。的图象，观察参数A，对函数图象变化的影响。 会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型。（3）三角恒等变换 经历用向量的数量积
3、推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用。 能从两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系。能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括引导导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆）。（4）解三角形通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。（二）全国考试说明对本专题的要求1、任意角、弧度制(1) 了解任意角的概念和弧度制的概念。(2)能进行弧度与角度的互化。2、三角函数(1)理解任意角三角
4、函数（正弦、余弦、正切）的定义。(2)能利用单位圆中的三角函数线推导出± , ±的正弦、余弦、正切的诱导公式，能画出y=sin x , y=cos x , y=tan x 的图象，了解三角函数的周期性。(3)理解正弦函数、余弦函数在0,2上的性质（如单调性、最大值和最小值、图像与x轴的交点等），理解正切函数在- ，上的单调性。(4)理解同角三角函数的基本关系式：错误！未找到引用源。(5)了解函数错误！未找到引用源。的物理意义；能画出函数错误！未找到引用源。的图像，了解参数A，对函数图象变化的影响。 (6)会利用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重
5、要函数模型。3、三角恒等变换(1)会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式。(2)会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式。(3)会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式了解他们的内在联系。(4)能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆）4、解三角形(1)掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。(2)能运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。二、本专题可测的知识点、能力点、思想点1、知识点：本专题的核心知识是任意角三角函数的定义、三角恒等变换、三角函
6、数的图象与性质、正、余弦定理解三角形。2、能力点：运算求解能力、逻辑推理能力、分析判断能力。3、思想点：数形结合思想、转化与化归思想、函数与方程思想。三、复习安排：第1讲任意角、弧度制及任意角的三角函数 （1课时）第2讲同角三角函数基本关系式与诱导公式 （1课时）第3讲两角和与差及二倍角公式 （2课时）第4讲三角函数的图象与性质 （2课时）第5讲函数错误！未找到引用源。的图象及应用 （2课时）第6讲正弦定理、余弦定理及解三角形 （2课时）第7讲三角综合问题 （4课时）第7讲4课时，包括作业评讲，测试卷评讲，本单元复习共需两周时间。四、全国卷考点分布与考查概况：年份题号分数涉及知识点20129，
7、1717（1）三角函数图像与性质（单调性）；（2）解三角形.201315，1717（1）三角恒等变换，三角函数的性质（最大值）（2）解三角形.20146，8，1615（1）三角函数定义；(2)三角恒等变换；(3)解三角形.20152，8，1615（1）同角三角函数的基本关系式，三角恒等变换；(2)三角函数的图像与性质；(3)解三角形.201612，1717（1）三角函数图像与性质；(2)解三角形.1考查题型：一般为三个小题（两道选择题，一道填空题），或一小一大（一个选择题，一个解答题），分值为15分或17分，从近几年的考查来看，属于中低档难度.2考查内容：小题重在基础知识的应用，主要考查三角函
8、数图像与性质、三角恒等变换、解三角形；大题侧重于对解三角形问题的考查，主要考查三角恒等变换与解三角形.五、高考预测：预计本专题在今后的高考中，主要考查以下三个方面的内容：1.三角函数定义与三角恒等变换（主要考三角函数化简求值问题）2.三角函数图像与性质3.正弦定理、余弦定理解三角形三角函数部分，依然强调对基本知识和基本方法的考查。近几年高考突出“能力立意”，加强了知识的综合性和应用性的考查，故常在知识交汇点处命题。全国卷对三角函数的考查，常着点于三角模块内不同知识的整合；有时候也会与平面向量、不等式等知识交汇在一起考查。根据近几年全国卷高考特点分析，2012年、2013年三角函数连续两年考查题
9、型为一小一大，第17题解答题为解三角形，2014、2015年连续两年考查题型为三个小题，第17题解答题均为数列题型，2016年考查题型又是一小一大，第17题解答题为解三角形。由此预测出今年三角函数很有可能仍然是“1+1”的模式，即1个小题1个解答题的模式，而且第17题解答题很有可能是考查解三角形。第二部分：微专题设计（解三角形中的范围问题）1、教学内容分析“解三角形”是高中数学的基本内容，有较强的应用性，也是三角函数和平面向量在解三角形中的应用.其本身不仅与日常生活问题紧密联系，也是高考一个重要且必考的考点。在近几年的高考中，解三角形经常考查范围问题。例如，2016年全国卷I第17题考查了解三
10、角形的求周长问题，2016年北京卷第15题、山东卷第16题都考查到解三角形中的最值问题，2015年湖南卷第17题也考查了解三角形中角的范围问题等。可见，解三角形中的范围问题是高考的一个热门考点。根据以上分析，本节课教学重点确定为：会用正弦定理、余弦定理、基本不等式解决解三角形中的范围问题.2、教学目标分析知识目标: 掌握正弦定理、余弦定理及基本不等式，会用它们求解解三角形中的范围问题.能力与方法:通过问题的辨析与探究，加强学生的自主学习能力，培养学生的逻辑思维能力和运算求解能力，提高学生分析问题解决问题的能力 .情感、态度与价值观：通过引导学生观察分析，合作交流，让学生经历知识的形成过程，体会
11、解题过程中转化与化归等数学思想，增强学生学习的成就感，增进同学间的友谊。3、学情分析本授课对象为高三学生，学生已经复习了三角函数基本知识，对正弦定理、余弦定理、面积公式以及基本不等式等有了一定的了解。但是如何正确选用正弦定理、余弦定理及其变式来解三角形还存在障碍，尤其是正余弦定理的综合运用能力还存在欠缺，不少学生对解三角形中的一类求最值或范围问题产生畏惧心理。根据以上分析，本节课的教学难点确定为：如何正确选用正、余弦定理解决解三角形中的范围问题.4、教法学法本节课的指导思想是:以学生为主体，教师为主导，通过学案的形式展开教学.知识梳理、诊断自测等环节巩固学生基础，能激发学生的学习兴趣.考点突破
12、让学生自己动手探索，完善知识的系统性,加深对易错点内容的掌握，提升知识的综合运用能力.这节课主要采用构建自主学习的教学模式，变老师“讲-练-讲”为学生“练-讲-练”，变“知识-方法-题目”为“问题-联想-提高”.每8人一组，将学生分成8组，把课堂还给学生，让学生自己发现问题，解决问题,培养学生自己“找路”的能力, 形成在参与中复习，在复习中参与的氛围. 整个环节由师生互动、生生互动完成，旨在培养学生与人合作的精神，同时让学生自我发现问题比老师主动强调要好，符合新课标的要求，突出了学生学习的主体地位.当学生遇到困难的时候,老师适当点拨并补充.注意要善于把自己对于问题的理解转化为学生的理解,而不是
13、直接强加给学生.要尽量借助学生的嘴来说，借助学生的脑来想，让学生在主动参与学习的过程中真正体会到学习的快乐.5、教学过程设计基本流程：知识梳理，温故知新一题多解，巩固基础变式再练，揭示规律训练反馈，深化理解课堂小结，巩固提高一 :知识梳理,温故知新定理正弦定理余弦定理内容 = = (其中R是ABC外接圆半径)a2_；来科b2 _ ；c2 _变形公式(1)a2Rsin A，b ，c ；(2)sin A，sin B，sin C；(3)abcsin A sin C；(4)asin Bbsin A，bsin Ccsin B，asin Ccsin Acos A _；cos B_；cos C=_2三角形常
14、用面积公式(1)Sa·ha(ha表示边a上的高)；(2)Sabsin C_acsin B；(3)Sr(abc) (R为三角形外接圆半径，r为三角形内切圆半径) 3基本不等式(1)若a，bR，则，当且仅当 时取“”(2) 若a，bR，则a2b22ab，当且仅当 时取“”(3) 2ab a2b22|ab|. 2(4) 如果x，y(0，)，且xyp(定值)，那么当 时，xy有最小值2.(5) 如果x，y(0，)，且xyS(定值)，那么当 时，xy有最大值.【设计意图】通过知识梳理,使学生明确本节所复习的内容,熟练掌握本节相关知识点.【处理过程】学生提前完成学案,学生自己独立完成知识梳理,请
15、第一小组一名学生归纳答案.二:一题多解，巩固基础【例1】在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b ，c . A = ，a = ，求b + c的最大值.解法一：（余弦定理与基本不等式结合） cos A b2c2 3bc(bc)233bc(bc)2bc2当且仅当bc时取等号.b + c的最大值为2.解法二：（正弦定理与三角函数结合）bc2R(sin B+ sin C)(sin B+ sin C) 2sin B+ sin(B) 2(sin Bcos BsinB) 2sin (B)又0< B< < B<当B，即B时，b + c取最大值为2.【设计意图】本题考查了正余弦定理解
16、三角形最值问题，以问题形式引入课题，勾起学生的求知欲。例题强调一题多解，发散思维，让学生体会正弦定理、余弦定理在解三角形最值中的应用。【处理过程】先让学生独立完成,然后小组内部交流答案,派两名代表展示答案, 其他小组成员有质疑的地方提出质疑,代表解答疑难.必要之处老师作补充.例题处理完以后,引导学生反思总结:解法一是利用余弦定理得到两边关系，再结合基本不等式求出b + c的最大值；解法二是利用正弦定理把边转化成了角，再把B与C其中一个用另一个表示，减少变量，进而借助三角函数值域求出b + c的最大值.两种方法比较，很明显利用余弦定理和基本不等式更简单直接.三:变式再练，揭示规律【变式1】在AB
17、C中，角A，B，C的对边分别为a，b ，c . A = ，a = ，求b + c的范围.【变式2】在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b ，c . A = ，a = ，求b + c的范围.【变式1】解答过程：解：bc2R(sin B+ sin C)(sin B+ sin C)2sin B+ sin(B)2(sin Bcos BsinB)2sin (B)又0< B< < B<< sin (B)1，故b + c的范围为(,2【变式2】解答过程：解:bc2R(sin B+ sin C)(sin B+ sin C) 2sin B+ sin(B)2(sin Bcos
18、 Bsin B) 2sin (B)又0< B<，且0< CB << B< < B<< sin (B)1，故b + c的范围为(3,2.【设计意图】变式题的设计,通过比较，稍加变动条件，层层深入，激发学生的求知欲望，让学生能更好的解决此类题型，明白如何适当的选择正弦定理、余弦定理解决解三角形中的范围问题。从而突出重点，化解难点。【处理过程】先让学生独立完成,然后小组内部交流答案,派代表展示答案, 其他小组成员有质疑的地方提出质疑,代表解答疑难.必要之处老师作补充.对于变式1，学生采用余弦定理和基本不等式，只能确定b + c右侧的范围，对于左侧
19、的范围，多数同学无从下手。也有部分同学采用两边之和大于第三边，求出了左侧的范围。由此我提出了一个问题：如果将问题改为“求b c的范围”那怎么办？学生经过激烈的探讨研究，发现此时只能用正弦定理来解决。可见：正弦定理解决解三角形中的范围问题是通法。有了上面的基础，学生很快学会了用正弦定理来解决变式2，不过，仍然有一部分学生没有注意到角的范围，从而导致出错。题目处理完之后，引导学生归纳总结：【归纳总结】1、对于解三角形的最值问题，有两种方法，一种是余弦定理和基本不等式，另一种是正弦定理和三角函数。但是相比较而言，余弦定理和基本不等式更简单直接。2、对于解三角形的范围问题，正弦定理和三角函数更为通用，
20、多采用这种方法来解决。解题中，一定要注意角的范围。四:训练反馈，深化理解1、ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b ，c .且cos A= ，a =4.(1) 若b + c =6，且b < c，求b ，c的值；(2) 求ABC的面积的最大值.2、ABC中，a，b，c分别为角A，B，C对边，且 (2b-c) cos A= acos C.(1) 求角A的大小；(2) 若a =4，求ABC周长的最大值.(3) 若a =4，求锐角ABC周长的范围.3、ABC中，a，b，c分别为角A，B，C对边，A=2C，则的范围是_.【设计意图】检验所学习的知识，深化理解，从而熟练掌握本节的重点，形成相应的数
21、学能力.【处理过程】先让学生独立完成,然后小组内部交流答案,派代表展示答案,其他小组成员有质疑的地方提出质疑,代表解答疑难.必要之处老师作补充 .五:课堂小结，巩固提高【设计意图】通过课堂的整理、总结与反思,使学生更好的掌握主干知识, 再次巩固薄弱的知识环节,提高学习效率.【处理过程】让学生整理思维,自我总结,请学生代表对本节复习课的内容进行小结(或谈心得),其他同学可以补充,老师给予充分的肯定和鼓励.6、训练题的选择及意图在近几年的高考中，解三角形经常考查范围问题。但是难度不大，属于中档题，是必得满分的考题，在训练题的选择上注重：1.基础题型：强化基础，抓纲务本，落实通法2.难点题型：立足教
22、材，突出方法，分级达标3.易错题型：变式呈现，举一反三，强化提升。以下训练题仅供参考解三角形的范围问题训练题1、ABC中，A = ，BC=3，则ABC周长的最大值为_.2、ABC中，a=2，b=1，则B的取值范围是_.3、锐角ABC中，A=2C，则的取值范围是_.4、若钝角ABC的三内角的度数成等差数列，且最大边长与最小边长的比值为m，则m的取值范围是_.5已知ABC外接圆的半径为6，若面积SABC = a2(bc)2,且sin B+ sin C= ，则sin A=_.SABC的最大值为_. 6、ABC三边各不相等，acos A= bcos B，求的范围是_.7、在ABC中，m=(sin A,
23、 cos C),n=(cos B, sin A),且m·nsin B+ sin C(1)求证：ABC为直角三角形；(2)若ABC外接圆的半径为1，求ABC的周长的取值范围.8、ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b ，c .已知cos C(cos Asin A)cos B=0.（1）求角B的大小；（2）若a + c =1，求b的取值范围.【答案】1、9；2、(0, 3、(,)4、（2，+）5、，6、（1，+）7、（1）略（2）(4, 2+28、（1）（2），1)7、教学反思通过这节课的教学,本人得到了以下几点感想:一、教学要有明确的教学目标，要能突出重点、化解难点；二、要根据具体内容，选择恰当的教学方法.要切实重视教材、重视基础知识，在教学过程中要适当渗透数学思想方法；三、在课堂上要关注每一个学生，及时鼓励.要充分发挥学生的主体作用，调动所有学生的学习积极性，让学生自己去归纳总结.只有当你真正主动地，自愿地，开心地去学习，去体验，你才会感到快乐并有所收获.