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1、 第 7 讲 函数的图象 一、知识梳理 1利用描点法作函数图象 其基本步骤是列表、描点、连线 首先：确定函数的定义域；化简函数解析式；讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等) 其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线 2利用图象变换法作函数的图象 (1)平移变换 (2)对称变换 yf(x) 关于x轴对称yf(x) yf(x) 关于y轴对称yf(x) yf(x) 关于原点对称yf(x) yax(a0 且 a1) 关于yx对称ylogax(x0) (3)翻折变换 yf(x) 保留x轴及上方图象将x轴下方图象翻折上去y|f(x)|； yf(x)
2、保留y轴及右边图象，并作其关于y轴对称的图象yf(|x|) (4)伸缩变换 yf(x) a1，横坐标缩短为原来的1a倍，纵坐标不变0a1，横坐标伸长为原来的1a倍，纵坐标不变yf(ax) yf(x) a1，纵坐标伸长为原来的a倍，横坐标不变0a1，纵坐标缩短为原来的a倍，横坐标不变yaf(x) 常用结论 1函数图象平移变换的八字方针 (1)“左加右减”，要注意加减指的是自变量 (2)“上加下减”，要注意加减指的是函数值 2函数图象对称的三个重要结论 (1)函数 yf(x)与 yf(2ax)的图象关于直线 xa 对称 (2)函数 yf(x)与 y2bf(2ax)的图象关于点(a，b)中心对称 (
3、3)若函数 yf(x)的定义域内任意自变量 x 满足： f(ax)f(ax)，则函数 yf(x)的图象关于直线 xa 对称 二、教材衍化 1函数 f(x)x1x的图象关于( ) Ay 轴对称 Bx 轴对称 C原点对称 D直线 yx 对称 解析：解析：选 C函数 f(x)的定义域为(，0)(0，)且 f(x)f(x)，即函数f(x)为奇函数，故选 C 2已知图中的图象是函数 yf(x)的图象，则图中的图象对应的函数可能是( ) Ayf(|x|) By|f(x)| Cyf(|x|) Dyf(|x|) 解析：选 C因为题图中的图象是在题图的基础上，去掉函数 yf(x)的图象在 y轴右侧的部分，然后将
4、 y 轴左侧图象翻折到 y 轴右侧得来的，所以题图中的图象对应的函数可能是 yf(|x|)故选 C 一、思考辨析 判断正误(正确的打“”，错误的打“”) (1)将函数 yf(x)的图象先向左平移 1 个单位， 再向下平移 1 个单位得到函数 yf(x1)1 的图象( ) (2)当 x(0，)时，函数 y|f(x)|与 yf(|x|)的图象相同( ) (3)函数 yf(x)与 yf(x)的图象关于原点对称( ) (4)若函数 yf(x)满足 f(1x)f(1x)，则函数 f(x)的图象关于直线 x1 对称( ) 答案：(1) (2) (3) (4) 二、易错纠偏 常见误区| (1)函数图象的平移
5、、伸缩法则记混出错； (2)不注意函数的定义域出错 1将函数 yf(x)的图象向右平移 1 个单位长度得到函数_的图象 解析：yf(x)的图象向右平移 1 个单位长度，是将 f(x)中的 x 变成 x1. 答案：yf(x1) 2.已知函数 f(x)的图象如图所示，则函数 g(x)log2f(x)的定义域是_ 解析：当 f(x)0 时，函数 g(x)log2f(x)有意义，由函数 f(x)的图象知满足 f(x)0 时，x(2，8 答案：(2，8 考点一 作函数的图象(基础型) 复习指导| 在实际情境中，会用图象法表示函数，并会对函数图象作变换 核心素养：直观想象 分别作出下列函数的图象 (1)y
6、|lg x|； (2)y2x2； (3)yx22|x|1. 【解】 (1)ylg x，x1，lg x，0 x1. 图象如图所示 (2)将 y2x的图象向左平移 2 个单位，图象如图所示 (3)yx22x1，x0，x22x1，x0.图象如图所示 函数图象的画法 提醒 (1)画函数的图象一定要注意定义域 (2)利用图象变换法时要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响 分别作出下列函数的图象 (1)y|x2|(x1)； (2)y12|x|. 解：(1)当 x2，即 x20 时， y(x2)(x1)x2x2x12294； 当 x2
7、，即 x20 时， y(x2)(x1)x2x2x12294. 所以 yx12294，x2，x12294，x0 部 分关于 y 轴的对称部分，即得 y12|x|的图象，如图中实线部分 考点二 函数图象的辨识(基础型) 复习指导| 解决此类问题常利用函数的性质(单调性、奇偶性、周期性等)以及函数图象的一些特殊点来辨析函数图象与解析式的对应关系 (1)(一题多解)(2019 高考全国卷)函数 f(x)sin xxcos xx2在，的图象大致为( ) (2)已知函数 f(x)的图象如图所示，则 f(x)的解析式可以是( ) Af(x)ln|x|x Bf(x)exx Cf(x)1x21 Df(x)x1x
8、 【解析】 (1)法一：显然 f(x)f(x)，所以 f(x)为奇函数，排除 A；f212224221，观察题图可知 D 正确故选 D 法二：显然 f(x)f(x)，所以 f(x)为奇函数，排除 A；易知当 x0时，f(x)0，排除C；f()210，排除 B，故选 D (2)由函数图象可知，函数 f(x)为奇函数，应排除 B，C若函数为 f(x)x1x，则 x 时，f(x)，排除 D，故选 A 【答案】 (1)D (2)A (1)抓住函数的性质，定性分析： 从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象上下位置； 从函数的单调性，判断图象的变化趋势； 从周期性，判断图象的循环往复；
9、 从函数的奇偶性，判断图象的对称性 (2)抓住函数的特征，定量计算： 利用函数的特征点、特殊值的计算，分析解决问题 1(2020湖北省部分重点中学 4 月联考)已知函数 f(x)x2，x0，1x，x0，g(x)f(x)，则函数 g(x)的图象大致是( ) 解析：选 D先画出函数 f(x)x2，x0，1x，x0 在(1，3)上的解集为( ) A(1，3) B(1，1) C(1，0)(1，3) D(1，0)(0，1) 【解析】 作出函数 f(x)的图象如图所示当 x(1，0)时，由 xf(x)0 得 x(1，0)；当 x(0，1)时，由 xf(x)0 得 x；当 x(1，3)时，由 xf(x)0
10、得 x(1，3)所以 x(1，0)(1，3) 【答案】 C 利用函数的图象研究不等式的思路 当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时， 常将不等式问题转化为两函数图象的上下关系问题或函数图象与坐标轴的位置关系问题，从而利用数形结合法求解 角度三 求参数的取值范围 已知函数 f(x)x21，x1，log2x，x1，若关于 x 的方程 f(x)k 有三个不同的实根， 则实数 k 的取值范围是_ 【解析】 画出函数 yf(x)与 yk 的图象，如图所示 由图可知，当 0k1 时，yk 和 yf(x)的图象有 3 个交点，即方程 f(x)k 有三个不同的实根 【答案】 (0，1) 当参数的不等关系
11、不易找出时，可将函数(或方程)等价转化为方便作图的两个函数，再根据题设条件和图象确定参数的取值范围 1已知函数 f(x)x|x|2x，则下列结论正确的是( ) Af(x)是偶函数，递增区间是(0，) Bf(x)是偶函数，递减区间是(，1) Cf(x)是奇函数，递减区间是(1，1) Df(x)是奇函数，递增区间是(，0) 解析：选 C将函数 f(x)x|x|2x 去掉绝对值得 f(x)x22x，x0，x22x，x0， 画出函数 f(x)的大致图象，如图，观察图象可知，函数 f(x)的图象关于原点对称，故函数 f(x)为奇函数，且在(1，1)上单调递减 2已知函数 f(x)|x2|1，g(x)kx
12、.若方程 f(x)g(x)有两个不相等的实根，则实数 k的取值范围是( ) A0，12 B12，1 C(1，2) D(2，) 解析：选 B先作出函数 f(x)|x2|1 的图象，如图所示，当直线 g(x)kx 与直线 AB平行时斜率为 1，当直线 g(x)kx 过 A 点时斜率为12，故 f(x)g(x)有两个不相等的实根时，k 的范围为12，1 . 3函数 f(x)是定义域为(，0)(0，)的奇函数，在(0，)上单调递增，f(3) 0，若 x f(x)f(x)0，则 x 的取值范围为_ 解析：函数 f(x)的图象大致如图所示 因为 f(x)为奇函数，且 x f(x)f(x)0， 所以 2xf
13、(x)0. 由图可知，不等式的解集为(3，0)(0，3) 答案：(3，0)(0，3) 基础题组练 1(2020 山西吕梁 4 月模拟)函数 f(x)|x|sin x 的图象大致是( ) 解析：选 A函数 f(x)|x|sin x 为奇函数，图象关于原点对称，可排除 B，C；又 f()|sin 0，故排除 D故选 A 2甲、乙二人同时从 A 地赶往 B 地，甲先骑自行车到两地的中点再改为跑步，乙先跑步到中点再改为骑自行车，最后两人同时到达 B 地已知甲骑车比乙骑车的速度快，且两人骑车速度均大于跑步速度 现将两人离开 A 地的距离 s 与所用时间 t 的函数关系用图象表示，则下列给出的四个函数图象
14、中，甲、乙的图象应该是( ) A甲是图，乙是图 B甲是图，乙是图 C甲是图，乙是图 D甲是图，乙是图 解析：选 B由题知速度 vst反映在图象上为某段图象所在直线的斜率由题知甲骑自行车速度最大，跑步速度最小，甲与图符合，乙与图符合 3.(2020 江西七校第一次联考)设 f(x)是定义在 R 上的周期为 3 的周期函数，如图表示该 函数在区间(2，1上的图象，则 f(2 018)f(2 019)( ) A2 B1 C1 D0 解析：选 C因为函数 f(x)是定义在 R 上的周期为 3 的周期函数，所以 f(2 018)f(2 0186733)f(1)，f(2 019)f(2 0196733)f
15、(0)，由题图知 f(1)1，f(0)0，所以f(2 018)f(2 019)f(1)f(0)1. 4已知函数 yf(|x|)的图象如图所示，则函数 yf(x)的图象不可能是( ) 解析：选 C函数 yf(|x|)f（x），x0，f（x），x0，当 x0 时，yf(|x|)f(x)，所以函数 yf(|x|)的图象在 y 轴左边的部分，就是函数 yf(x)的图象，故可得函数 yf(x)的图象不可能是 C 5.若函数 f(x)(ax2bx)ex的图象如图所示，则实数 a，b 的值可能为( ) Aa1，b2 Ba1，b2 Ca1，b2 Da1，b2 解析：选 B令 f(x)0，则(ax2bx)ex0
16、，解得 x0 或 xba，由图象可知，ba1，又当 xba时，f(x)0，故 a0，结合选项知 a1，b2 满足题意，故选 B 6.如图，函数 f(x)的图象是曲线 OAB，其中点 O，A，B 的坐标分别为(0，0)，(1，2)， (3，1)，则 f1f（3）的值等于_ 解析：由图象知 f(3)1，所以1f（3）1.所以 f1f（3）f(1)2. 答案：2 7对 a，bR，记 maxa，ba，ab，b，ab，函数 f(x)max|x1|，|x2|(xR)的最小值是_ 解析：函数 f(x)max|x1|，|x2|(xR)的图象如图所示，由图象可得，其最小值为32. 答案：32 8设函数 f(x)
17、|xa|，g(x)x1，对于任意的 xR，不等式 f(x)g(x)恒成立，则实数 a 的取值范围是_ 解析： 如图， 作出函数 f(x)|xa|与 g(x)x1 的图象， 观察图象可知： 当且仅当a1，即 a1 时，不等式 f(x)g(x)恒成立，因此 a 的取值范围是1，) 答案：1，) 9作出下列函数的图象 (1)yx2x1； (2)y|log2(x1)|. 解：(1)因为 yx2x113x1，先作出 y3x的图象，将其图象向右平移 1 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度，即得 yx2x1的图象，如图所示 (2)利用函数 ylog2x 的图象进行平移和翻折变换，图象如图实线所示 10已
18、知函数 f(x)x|mx|(xR)，且 f(4)0. (1)求实数 m 的值； (2)作出函数 f(x)的图象； (3)若方程 f(x)a 只有一个实数根，求 a 的取值范围 解：(1)因为 f(4)0，所以 4|m4|0，即 m4. (2)f(x)x|x4| x（x4）（x2）24，x4，x（x4）（x2）24，x4 或 a0 时，f(x)的图象与直线 ya 只有一个交点，即方程f(x)a 只有一个实数根，即 a 的取值范围是(，0)(4，) 综合题组练 1(2020 山西四校联考)已知函数 f(x)|x21|，若 0ab 且 f(a)f(b)，则 b 的取值范围是( ) A(0，) B(1
19、，) C(1， 2) D(1，2) 解析：选 C作出函数 f(x)|x21|在区间(0，)上的图象如图所示，作出直线 y1， 交 f(x)的图象于点 B，由 x211 可得 xB 2，结合函数图象可得 b 的取值范围是(1， 2) 2(应用型)已知函数 f(x)x22x1，x0，x22x1，x0，则对任意 x1，x2R，若 0|x1|x2|，下列不等式成立的是( ) Af(x1)f(x2)0 Cf(x1)f(x2)0 Df(x1)f(x2)0 解析：选 D函数 f(x)的图象如图所示： 且 f(x)f(x)，从而函数 f(x)是偶函数，且在0，)上是增函数 又 0|x1|f(x1)， 即 f(
20、x1)f(x2)0. 3(创新型)(2020 昆明检测)若平面直角坐标系内 A、B 两点满足：(1)点 A、B 都在 f(x)图象上；(2)点 A、B 关于原点对称，则称点对(A，B)是函数 f(x)的一个“和谐点对”，已知函数 f(x)x22x（x0），2ex（x0），则 f(x)的“和谐点对”有_个 解析：作出函数 yx22x(x0)的图象关于原点对称的图象，看它与函数 y2ex(x0)的图象的交点个数即可，观察图象可得交点个数为 2，即 f(x)的“和谐点对”有 2 个 答案：2 4 (应用型)已知函数 f(x)x1|x|1， xR， 则不等式 f(x22x)f(3x4)的解集是_ 解析
21、：由已知得，f(x)1，x0，12x1，x0.其图象如图所示： 由图可知，不等式 f(x22x)f(3x4)等价于3x40，x22x0或3x40，x22x0，x22x3x4，解得43x2或 1x0 在 R 上恒成立，求 m 的取值范围 解：(1)令 F(x)|f(x)2|2x2|，G(x)m，画出 F(x)的图象如图所示， 由图象看出，当 m0 或 m2 时，函数 F(x)与 G(x)的图象只有一个交点，原方程有一 个解； 当 0m0)，H(t)t2t， 因为 H(t)t12214在区间(0，)上是增函数， 所以 H(t)H(0)0. 因此要使 t2tm 在区间(0，)上恒成立， 应有 m0， 即所求 m 的取值范围为(，0