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1、考点24立体几何初步及空间几何体的表面积和体积【命题解读】 立体几何的考察是高考必考知识点，对于几何体的体积和表面积的考察往往在空间线面位置关系问题中出现，依托于某一个几何体，因而要熟练掌握多面体与旋转体的概念、性质以及求解公式，在求解中要学会等价转化思想，等体积转化问题，以及立体问题转化为平面问题等等。【命题预测】预计2021年的高考对于立体几何表面积和体积考察，还是以多面体和旋转体的面积和体积为主，注意公式的运用。【复习建议】 1.掌握空间几何体特征，多面体与旋转体的有关知识；2.会运用公式求解旋转体或多面体的体积和表面积。考向一空间几何体的结构特征1.多面体的结构特征名称棱柱棱锥棱台图形
2、结构特征有两个面互相平行且全等,其余各个面都是平行四边形; 每相邻两个四边形的公共边都互相平行有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形的多面体 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,截面和底面之间的部分 2.旋转体的结构特征名称圆柱圆锥圆台球图形母线互相平行且相等,垂直于底面 相交于一点延长线交于一点轴截面全等的矩形全等的等腰三角形全等的等腰梯形圆侧面展开图矩形扇形扇环1. 一个正方体内有一个内切球，作正方体的对角面，所得截面图形是下图中的()【答案】B【解析】由组合体的结构特征知，球只与正方体的上、下底面相切，而与两侧棱相离.2. 【2019
3、山东济宁检测】一个棱柱的底面是正六边形，侧面都是正方形，用至少过该棱柱三个顶点(不在同一侧面或同一底面内)的平面去截这个棱柱，所得截面的形状不可能是()A等腰三角形B等腰梯形C五边形D正六边形【答案】D【解析】如图1，由图可知，截面ABC为等腰三角形，选项A可能截面ABEF为等腰梯形，选项B可能如图2，截面AMDEN为五边形，选项C可能图1图2因为侧面是正方形，只有平行于底面的截面才可能是正六边形，故过两底的顶点不可能得到正六边形选项D不可能考向二 空间几何体的表面积与体积空间几何体的表面积与体积公式名称几何体表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积=S侧+2S底V= S底h锥体(棱锥和圆锥)S表
4、面积=S侧+S底V=13S底h台体(棱台和圆台)S表面积=S侧+S上+S下V=13(S上+S下+S上S下)h球S=4R2V= 43R31. 【2020届河南省郑州市高三第二次质量预测文科数学试题】在正方体ABCD-A1B1C1D1中，三棱锥A1-BC1D内切球表面积为，则正方体外接球的体积为AB36 C D 【答案】B【解析】设正方体的棱长为，则，因为三棱锥内切球的表面积为，所以三棱锥内切球的半径为1，设内切球的球心为， 到平面的距离为，则，又，又因为正方体外接球直接就是正方体对角线长，正方体外接球的半径为，其体积为，故选B2.【2019山东东营模拟】表面积为24的正方体的顶点都在同一个球面上
5、，则该球的表面积是()A12B8CD4【答案】A【解析】设正方体的棱长为a，因为表面积为24，即6a224，得a 2，正方体的体对角线长度为2， 所以正方体的外接球半径为r， 所以球的表面积为S4r212.3. 在ABC中，AB2，BC1.5，ABC120°(如图所示)，若将ABC绕直线BC旋转一周，则形成的旋转体的体积是()ABCD【答案】D【解析】依题意可知，旋转体是一个大圆锥去掉一个小圆锥，如图所示，OAAB·cos 30°2×，所以旋转体的体积为·()2·(OCOB).题组一（真题在线）1. 【2020年高考全国卷文数】埃及胡
6、夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥.以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为A BCD2. 【2020年高考全国卷文数】已知ABC是面积为的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上若球O的表面积为16，则O到平面ABC的距离为A B C1 D3. 【2020年高考全国卷文数】已知为球的球面上的三个点，为的外接圆，若的面积为，则球的表面积为A B C D4. 【2020年高考天津】若棱长为的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为A B C D5. 【2019年高考全国卷理数】已知三棱锥PABC的
7、四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，CEF=90°，则球O的体积为ABCD6. 【2019年高考全国卷理数】学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型.如图，该模型为长方体挖去四棱锥OEFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，3D打印所用原料密度为0.9 g/cm3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为_g.7. 【2019年高考天津卷理数】已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱
8、的体积为_8. 【2019年高考江苏卷】如图，长方体的体积是120，E为的中点，则三棱锥EBCD的体积是 .9. 【2018全国卷】在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC2，AC1与平面BB1C1C所成的角为30°，则该长方体的体积为()A8B6C8D810. 【2018全国卷】已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB互相垂直，SA与圆锥底面所成角为30°.若SAB的面积为8，则该圆锥的体积为_.题组二1. 【2020山东省日照五莲县丶潍坊安丘市、潍坊诸城市、临沂兰山区高三模拟】唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图1所示.其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画，体现了古人的智慧
9、与工艺.它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体（假设内壁表面光滑，忽略杯壁厚度），如图2所示.已知球的半径为R，酒杯内壁表面积为,设酒杯上部分（圆柱）的体积为，下部分（半球）的体积为，则A2BC1D2. 【2020河南省郑州市高三第二次质量试题】在正方体ABCD-A1B1C1D1中，三棱锥A1-BC1D内切球表面积为，则正方体外接球的体积为AB36 C D 3. 【2019四川省宜宾市高三第三次诊断性考试】如图，边长为2的正方形中，分别是的中点，现在沿及把这个正方形折成一个四面体，使三点重合，重合后的点记为，则四面体的高为ABCD14. 【2019广东省深圳市高级中学高三适应性考试】在
10、三棱锥中，平面平面，是边长为6的等边三角形，是以为斜边的等腰直角三角形，则该三棱锥外接球的表面积为_5. 【2017全国卷】已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为()ABCD6. 【2020湖南省常德市高三上学期期末数学】某圆柱的高为2，体积为，其底面圆周均在同一个球面上，则此球的表面积为_ 7. 在三棱锥PABC中，PA平面ABC且PA2，ABC是边长为的等边三角形，则该三棱锥外接球的表面积为()AB4C8D208. 【2019广东茂名模拟】如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，底面ABCD为菱形，ABC60
11、6;，PAAB2，过BD作平面BDE与直线PA平行，交PC于点E.(1)求证：E为PC的中点；(2)求三棱锥EPAB的体积题组一1.C【解析】如图，设，则，由题意得，即，化简得，解得（负值舍去）.故选C2.C【解析】设球的半径为，则，解得：.设外接圆半径为，边长为， 是面积为的等边三角形，解得：，球心到平面的距离.故选：C3. A【解析】设圆半径为，球的半径为，依题意，得，为等边三角形，由正弦定理可得，根据球的截面性质平面，球的表面积.故选：A4. C【解析】这个球是正方体的外接球，其半径等于正方体的体对角线的一半，即，所以，这个球的表面积为.故选：C5. D【解析】为边长为2的等
12、边三角形，为正三棱锥，又，分别为，的中点，又，平面，平面，为正方体的一部分，即，故选D6. 118.8【解析】由题意得，四棱锥OEFGH的高为3cm， 又长方体的体积为，所以该模型体积为，其质量为7. 【解析】由题意，四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为，借助勾股定理，可知四棱锥的高为.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，故圆柱的高为，圆柱的底面半径为，故圆柱的体积为.8. 10【解析】因为长方体的体积为120，所以，因为为的中点，所以，由长方体的性质知底面，所以是三棱锥的底面上的高，所以三棱锥的体积.9. C【解析】如图，连接AC1，BC1，
13、AC.AB平面BB1C1C，AC1B为直线AC1与平面BB1C1C所成的角，AC1B30°.又ABBC2，在RtABC1中，AC14，在RtACC1中，CC12，V长方体AB×BC×CC12×2×28.10. 8【解析】 在RtSAB中，SASB，SSAB·SA28，解得SA4.设圆锥的底面圆心为O，底面半径为r，高为h，在RtSAO中，SAO30°，所以r2，h2，所以圆锥的体积为r2·h×(2)2×28.题组二1.A【解析】设酒杯上部分（圆柱）的高为，球的半径为R，则酒杯下部分（半球）的表面
14、积为，酒杯内壁表面积为，得圆柱侧面积为，酒杯上部分（圆柱）的表面积为，解得酒杯下部分（半球）的体积酒杯上部分（圆柱）的体积所以.故选A2.B【解析】设正方体的棱长为，则，因为三棱锥内切球的表面积为，所以三棱锥内切球的半径为1，设内切球的球心为， 到平面的距离为，则，又，又因为正方体外接球直接就是正方体对角线长，正方体外接球的半径为，其体积为，故选B3.B【解析】如图，由题意可知两两垂直，平面，设P到平面的距离为h，又，故，故选B.4. 【解析】如图，在等边三角形中，取的中点，设等边三角形的中心为，连接PF，CF，OP.由，得，是以为斜边的等腰角三角形，,又平面平面，平面，则为棱锥的外接球球心，
15、外接球半径，该三棱锥外接球的表面积为，故答案为.5.B【解析】设圆柱的底面半径为r，球的半径为R，且R1，由圆柱两个底面的圆周在同一个球的球面上可知，r，R及圆柱的高的一半构成直角三角形r.圆柱的体积为Vr2h×1.6. 【解析】由题意作出示意图，设圆柱底面半径为，球的半径为，圆柱的高为2，体积为，得，此球的表面积，故答案为：7. C【解析】由题意得，此三棱锥外接球即为以ABC为底面、以PA为高的正三棱柱的外接球，因为ABC的外接圆半径r××1，外接球球心到ABC的外接圆圆心的距离d1，所以外接球的半径R，所以三棱锥外接球的表面积S4R28.8. 见解析【解析】(1)证明如图，连接AC，设ACBDO，连接OE，则O为AC的中点，且平面PAC平面BDEOE，PA平面BDE，PAOE，E为PC的中点(2)解由(1)知，E为PC的中点，V三棱锥P ABC2V三棱锥E ABC.由底面ABCD为菱形，ABC60°，AB2，得SABC×22，V三棱锥P ABCSABC·PA××2.又V三棱锥P ABCV三棱锥EABCV三棱锥E PAB，V三棱锥E PABV三棱锥P ABC.