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1、专题3.8 函数与方程新课程考试要求理解函数零点的概念.核心素养培养学生数学抽象（例1）、数学运算（例3.4.5等）、逻辑推理（例5.6）、数据分析（例3.4）、直观想象（例2.7-11）等核心数学素养.考向预测1分段函数与函数方程结合；2.二次函数、指数函数、对数函数与方程结合.3.常常以基本初等函数为载体，结合函数的图象，判断方程根的存在性及根的个数，或利用函数零点确定参数的取值范围等也可与导数结合考查.题目的难度起伏较大. 【知识清单】1函数的零点 (1)函数零点的概念对于函数yf(x)，把使f(x)0的实数x叫做函数yf(x)的零点.(2)函数零点与方程根的关系方程f(x)0有实数根函
2、数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点.2零点存在性定理如果函数yf(x)满足：在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线；f(a)·f(b)<0；则函数yf(x)在(a，b)上存在零点，即存在c(a，b)，使得f(c)0，这个c也就是方程f(x)0的根.特别提醒两个易错点：(1)函数的零点不是点,是方程f(x)=0的实根.(2)函数零点的存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点,而不能判断函数的不变号零点,而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件.【考点分类剖析】考点一：求函数的零点 【典例1】（2021·
3、全国高三其他模拟）设，定义符号函数，则方程的解是（ ）A1BC1或D1或或【答案】C【解析】根据符号函数的定义，分三种情况讨论化简方程，然后解方程即可.【详解】解：当时，方程可化为，化简得，解得；当时，方程可化为，无解；当时，方程可化为，化简得，解得（舍去）或；综上，方程的解是1或.故选：C.【典例2】（2020·上海高三三模）函数，如果方程有四个不同的实数解、，则 【答案】4【解析】作出函数的图象，方程有四个不同的实数解，等价为和的图象有4个交点，不妨设它们交点的横坐标为、，且，由、关于原点对称，、关于对称，可得，则故答案为：4【总结提升】1.正确理解函数的零点：(1)函数的零点是
4、一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零(2)根据函数零点定义可知，函数f(x)的零点就是f(x)0的根，因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f(x)0是否有实根，有几个实根即函数yf(x)的零点方程f(x)0的实根函数yf(x)的图象与x轴交点的横坐标2函数零点的求法：(1)代数法：求方程f(x)0的实数根(2)几何法：与函数yf(x)的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点,【变式探究】1.（2019·四川高考模拟（理）已知函数fx是定义在R上的奇函数，且当x0时，fx=xx-4，则方程fx=f2-x的所有解的和为（）A4+3B1C3D5【答案】C
5、【解析】f（x）是定义在R上的奇函数，且当x0时，f（x）=x（x-4）当x0时，-x0 则f（-x）=-x（-x-4）=-f（x） 即f（x）=-x（x+4），x0 则f(x)=x(x-4),x0-x(x+4),x<0 作出f（x）的图象如图：y=f（2-x）的图象与y=f（x）的图象关于x=1对称作出y=f（2-x）的图象，由图象知y=f（2-x）与y=f（x）的图象有三个交点即f（x）=f（2-x）有三个根，其中一个根为1，另外两个根a，b关于x=1对称即a+b=2则所有解的和为a+b+1=2+1=3故选：C【思路点拨】根据函数奇偶性，求出函数f（x）的解析式，结合y=f（2-x）
6、的图象与y=f（x）的图象关于x=1对称，画出函数图象，结合函数的对称性，求得方程fx=f2-x的所有解的和2.（2021·福建高三二模）已知函数则函数的所有零点之和为_.【答案】【解析】利用分段函数，分类讨论，即可求出函数的所有零点，从而得解【详解】解：时，由，可得或，或；时，由，可得或，或；函数的所有零点为，所以所有零点的和为故答案为：考点二：判断函数零点所在区间【典例3】（2021·北京清华附中高三其他模拟）函数的零点一定位于区间（ ）ABCD【答案】C【解析】根据零点存在性定理，若在区间有零点，则，逐一检验选项，即可得答案.【详解】由题意得为连续函数，且在单调递增，
7、根据零点存在性定理，所以零点一定位于区间.故选：C【典例4】（2020·海丰县彭湃中学高一期末）函数的零点所在的大致区间为（ ）ABCD【答案】D【解析】因为函数在R上单调递减,所以零点所在的大致区间为故选:D【规律方法】判断函数零点所在区间有三种方法：解方程，直接求出零点；利用零点存在定理，判断零点所在区间；图象法，观察交点所在区间.特别提醒：在判断一个函数在某个区间上不存在零点时，不能完全依赖函数的零点存在性定理，要综合函数性质进行分析判断【特别提醒】二分法只能求出连续函数变号零点，另外应注意初始区间的选择，依据给出的精确度，计算时及时检验【变式探究】1（2021·宁夏
8、高三其他模拟（文）函数的零点所在的区间为（ ）ABCD【答案】B【解析】根据零点存在性定理，由为增函数，带入相关数值判断即可得解.【详解】由为增函数，为增函数，故为增函数，由，根据零点存在性定理可得使得，故选：B.2.（2020·郸城县实验高中高一月考）如图是函数f(x)的图象，它与x轴有4个不同的公共点.给出的下列四个区间之中，存在不能用二分法求出的零点，该零点所在的区间是（ ）A2.1，1B4.1，5C1.9，2.3D5，6.1【答案】C【解析】结合图象可得：ABD选项每个区间的两个端点函数值异号，可以用二分法求出零点，C选项区间两个端点函数值同号，不能用二分法求零点.故选：C考
9、点三：判断函数零点的个数【典例5】（天津高考真题）已知函数,函数,则函数的零点的个数为（ ）A2B3C4D5【答案】A【解析】当x<0时2-x>2,所以f(x)=2-|x|=2+x,f(2-x)=x2,此时函数f(x)-g(x)=f(x)+f(2-x)-3=x2+x-1的小于零的零点为x=-1+52;当0x2时f(x)=2-|x|=2-x,f(2-x)=2-|2-x|=x,函数f(x)-g(x)=2-x+x-3=-1无零点;当x>2时,f(x)=(x-2)2,f(2-x)=2-|2-x|=4-x,函数f(x)-g(x)=(x-2)2+4-x-3=x2-5x+5大于2的零点为x
10、=5+52,综上可得函数y=f(x)-g(x)的零点的个数为2.故选A.【典例6】（2020·山东省高三二模）已知图象连续不断的函数的定义域为R，是周期为2的奇函数，在区间上恰有5个零点，则在区间上的零点个数为（ ）A5050B4041C4040D2020【答案】B【解析】由函数的定义域为R上的奇函数，可得，又由在区间上恰有5个零点，可得函数在区间和内各有2个零点， 因为是周期为2，所以区间内有两个零点，且，即函数在区间内有4个零点，所以在区间上的零点个数为个零点.故选：B.【规律方法】判断函数零点个数的方法：1.直接法：即直接求零点，令f(x)0，如果能求出解，则有几个不同的解就有
11、几个零点；2.定理法：利用零点存在性定理，不仅要求函数的图象在区间a，b上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点3.图象法：即利用图象交点的个数，画出函数f(x)的图象，函数f(x)的图象与x轴交点的个数就是函数f(x)的零点个数；将函数f(x)拆成两个函数h(x)和g(x)的差，根据f(x)0h(x)g(x)，则函数f(x)的零点个数就是函数yh(x)和yg(x)的图象的交点个数.4.性质法：即利用函数性质，若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到；若所考查的函数是周期函数，则只需解决在一个周期内的零点的个
12、数.【变式探究】1.（2020·开原市第二高级中学高三月考）函数，的零点个数是（ ）.A0B1C2D3【答案】A【解析】根据函数定义域，结合零点定义，即可容易判断和求解.【详解】由于，因此不存在使得，因此函数没有零点.故选：.2.（2020·江苏省高三其他）设表示不超过实数的最大整数(如，)，则函数的零点个数为_.【答案】2【解析】函数的零点即方程的根，函数的零点个数，即方程的根的个数.当时，.当时，或或（舍）.当时，方程无解.综上，方程的根为，1.所以方程有2个根，即函数有2个零点.故答案为：2.考点四：函数零点的应用【典例7】（2020·鸡泽县第一中学高二开学
13、考试）已知函数，若恰好有2个零点，则的取值范围是（ ）ABCD【答案】C【解析】令，因为方程的两根为，所以在同一直角坐标系下作出函数的图象如图所示：由图可知，当时，函数恰有两个零点，图象如图所示：当时，函数恰有两个零点，图象如图所示：综上可知，所求实数的取值范围为.故选：C【典例8】（2021·河南新乡市·高三三模（文）已知函数.若关于的方程恰有两个不同的实根，则的取值范围是（ ）ABCD【答案】C【解析】首先讨论，在时，利用分离参数的思想，画出的图像，利用数形结合判断出答案.【详解】当时，故不是方程的根，当时，由得，方程恰有两个不同的实根等价于直线y=a与函数的图像有两个
14、不同的交点，作出函数的大致图像如图所示，由图可知，或.故选：C.【典例9】（2021·全国高三其他模拟）若函数存在2个零点，则实数的取值范围为（ ）ABCD【答案】A【解析】分段函数f(x)在(1，+)上单调递增，且有一个零点，在(-，1上用数形结合法探讨有一个零点即可得解.【详解】因函数f(x)在(1，+)上单调递增，且f(2)=0，即f(x)在(1，+)上有一个零点，函数存在2个零点，当且仅当f(x)在(-，1有一个零点，x1时，即函数在(-，1上的图象与直线y=m有一个公共点，在同一坐标系内作出直线y=m和函数的图象，如图：而在(-，1上单调递减，且有，则直线y=m和函数的图象
15、有一个公共点，.故选：A【典例10】（2021·奉新县第一中学高三三模（文）已知函数若方程的实根之和为6，则的取值范围为（ ）ABCD【答案】A【解析】作出图象，求方程的实根之和为6，即求与图象交点横坐标之和为6，分别讨论a=1、a=2、和a=4时图象与图象交点个数及性质，数形结合，即可得答案.【详解】作出图象，如图所示求方程的实根之和为6，即求与图象交点横坐标之和为6，当a=1时，图象与图象只有一个交点（3,1），不满足题意；当时，图象与图象有2个交点，且从左至右设为，由图象可得关于x=3对称，所以，即，满足题意；当a=2时，图象与图象有3个交点，且（0,2）为最左侧交点，设与图象
16、另外两个交点为，由图象可得关于x=3对称，所以，即，满足题意；当时，图象与图象有4个交点，从左至右设为，由图象可得关于x=0对称，所以，关于x=3对称，所以，即，满足题意；当时，图象与图象有3个交点，由图象可得不满足题意；当a=4时，图象与图象有2个交点，由图象可得不满足题意；综上：的取值范围为.故选：A【典例11】【多选题】（2021·江苏泰州市·高三其他模拟）已知，若函数有两个零点，有两个零点，则下列选项正确的有（ ）ABCD【答案】AB【解析】由已知分析得选项A正确，利用基本不等式证明选项B正确；利用不等式性质得到选项C错误，利用作差法得到选出D错误.【详解】因为函数
17、有两个零点，所以，所以，令=0，所有两个零点，所以，所以，因为，所以，因为，所以选项A正确；因为，所以因为，所以，所以选项B正确；因为，所以选项C错误；，所以，所以选项D错误.故选：AB【规律方法】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路：(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解【变式探究】1.（2021·广东茂名市·高三二模）已知函数若函数有且只有两个不同的零点，则实数的取值可以
18、是（ ）A-1B0C1D2【答案】B【解析】作出函数的图象如下图所示，将原问题转化为函数的图象与直线有两个不同的交点，根据图示可得实数的取值范围.【详解】作出函数的图象如下图所示，令，即，所以要使函数有且只有两个不同的零点，则需函数的图象与直线有两个不同的交点，根据图示可得实数的取值范围为，故选：B.2. （2021·黑龙江大庆市·铁人中学高三其他模拟（理）已知函数是定义在上的奇函数，当时，给出下列命题：当时，；函数有2个零点；的解集为；，都有.其中正确的命题是（ ）ABCD【答案】A【解析】对于，利用奇偶性求时的解析式即可判断；对于，直接求出零点即可判断；对于，直接解不等
19、式，得到解集即可判断；对于，用导数判断单调性，结合图象求出的值域即可判断.【详解】解：函数定义在上的奇函数，当时，下面逐一判断：对于，当时，则，所以，整理得，故正确；对于，当时，由可得，即，故，又函数在处有定义，故，故函数有3个零点，故错误；对于，当时，则的解集为；当时，的解集为；当时，成立.故的解集为，故错误；对于，当时，所以时，有，时，有，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以时取得最小值，且时，时，所以，即，可作大致图象如下，再根据对称性作时的大致图象，综上时，值域为，当时，值域为，而所以的值域为.故，都有，即，故，即正确.故选：A.3.【多选题】（2021·湖南雅礼中学高三
20、二模）关于函数，下列描述正确的有（ ）A函数在区间上单调递增B函数的图象关于直线对称C若，但，则D函数有且仅有两个零点【答案】ABD【解析】画出函数的图像，根据图像分析判断即可【详解】函数的图像如图所示：由图可得：函数在区间上单调递增，故正确；函数的图像关于直线对称，故正确；若，但，则当时，故错误；函数的图像与轴有且仅有两个交点，故正确.故选.4.（2021·四川成都市·成都七中高三三模（理）已知函数，若方程有四个不同的根，则的取值范围是_.【答案】【解析】设<<<，由，则问题转化为，根据，求得范围即可.【详解】设<<<，则，由图知，当时，或4，则故，易知其在单减，故故答案为：【总结提升】函数零点的应用主要体现在三类问题：一是函数中不含参数，零点又不易直接求出，考查各零点的和或范围问题；二是函数中含有参数，根据零点情况求函数中参数的范围；三是函数中有参数，但不求参数，仍是考查零点的范围问题这三类问题最终都是通过数形结合转化为两函数图象的交点进行解决