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1、专题3.3 函数的奇偶性与周期性练基础1（2021·海南海口市·高三其他模拟）已知函数，则“”是“函数为奇函数”的（ ）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【答案】C【解析】化简“”和“函数为奇函数”，再利用充分必要条件的定义判断得解.【详解】，所以，函数为奇函数，所以，所以.所以“”是“函数为奇函数”的充分必要条件.故选：C2（2021·福建高三三模）若函数的大致图象如图所示，则的解析式可能是（ ）ABCD【答案】C【解析】利用排除法，取特殊值分析判断即可得答案【详解】解：由图可知，当时，取，则对于B，所以排除B，对于D，所以
2、排除D，当时，对于A，此函数是由向右平移1个单位，再向上平移1个单位，所以时，恒成立，而图中，当 时，可以小于1，所以排除A,故选：C3（2021·广东高三其他模拟）下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（ ）ABCD【答案】C【解析】利用函数奇偶性的定义和函数的解析式判断.【详解】A.函数的定义域是，所以函数是非奇非偶函数，故错误；B.在上单调递减，故错误；C.因为，所以函数是奇函数，且在上单调递增，正确；D.因为，所以函数是偶函数，故错误；故选： C4（2021·湖南高三月考）定义函数则下列命题中正确的是（ ）A不是周期函数B是奇函数C的图象存在对称轴D是周期函数
3、，且有最小正周期【答案】C【解析】当为有理数时恒有，所以是周期函数，且无最小正周期，又因为无论是有理数还是无理数总有，所以函数为偶函数，图象关于轴对称【详解】当为有理数时，任何一个有理数都是的周期，是周期函数，且无最小正周期，选项，错误，若为有理数，则也为有理数，若为无理数，则也为无理数，综上，总有，函数为偶函数，图象关于轴对称，选项B错误，选项C正确，故选：C5【多选题】（2021·淮北市树人高级中学高一期末）对于定义在R上的函数，下列说法正确的是（ ）A若是奇函数，则的图像关于点对称B若对，有，则的图像关于直线对称C若函数的图像关于直线对称，则为偶函数D若，则的图像关于点对称【答
4、案】ACD【解析】四个选项都是对函数性质的应用，在给出的四个选项中灵活的把变量x加以代换，再结合函数的对称性、周期性和奇偶性就可以得到正确答案.【详解】对A，是奇函数，故图象关于原点对称，将的图象向右平移1个单位得的图象，故的图象关于点（1，0）对称，正确；对B，若对，有，得，所以是一个周期为2的周期函数，不能说明其图象关于直线对称，错误.；对C，若函数的图象关于直线对称，则的图象关于y轴对称，故为偶函数，正确；对D，由得，的图象关于（1，1）对称，正确. 故选：ACD.6【多选题】（2020·江苏南通市·金沙中学高一期中）已知偶函数在区间上是增函数,则满足的的取值是（ ）
5、A0BCD【答案】BC【解析】根据偶函数和单调性求得不等式的解，然后判断各选项【详解】由题意，解得，只有BC满足故选：BC7【多选题】（2021·广东高三二模）函数的定义域为，且与都为奇函数，则下列说法正确的是（ ）A是周期为的周期函数B是周期为的周期函数C为奇函数D为奇函数【答案】BD【解析】AB选项，利用周期函数的定义判断；CD选项，利用周期性结合，为奇函数判断.【详解】因为函数的定义域为，且与都为奇函数，所以，所以，所以，即，故B正确A错误；因为，且为奇函数，所以为奇函数，故D正确；因为与相差1，不是最小周期的整数倍，且为奇函数，所以不为奇函数，故C错误.故选：BD.8（202
6、1·吉林高三二模（文）写出一个符合“对，”的函数_.【答案】（答案不唯一）【解析】分析可知函数的定义域为，且该函数为奇函数，由此可得结果.【详解】由题意可知，函数的定义域为，且该函数为奇函数，可取.故答案为：（答案不唯一）.9（2021·全国高三二模（理）已知为上的奇函数，且其图象关于点对称，若，则_【答案】1【解析】根据函数的对称性及奇函数性质求得函数周期为4，从而.【详解】函数关于点对称，则，又为上的奇函数，则，因此函数的周期为4，因此.故答案为：1.10（2021·上海高三二模）已知函数的定义域为，函数是奇函数，且，若，则_【答案】【解析】通过计算可得【详解
7、】因为是奇函数，所以，即，所以故答案为：练提升TIDHNEG1（2021·安徽高三三模（文）若把定义域为的函数的图象沿x轴左右平移后，可以得到关于原点对称的图象，也可以得到关于轴对称的图象，则关于函数的性质叙述一定正确的是（ ）ABC是周期函数D存在单调递增区间【答案】C【解析】通过举例说明选项ABD错误；对于选项C可以证明判断得解.【详解】定义域为R的函数的图象沿轴左右平移后，可以得到关于原点对称的图象，也可以得到关于轴对称的图象，的图象既有对称中心又有对称轴，但不一定具有奇偶性，例如，由，则为奇函数，故选项A错误；由，可得函数图象关于对称，故选项B错误；由时，不存在单调递增区间，
8、故选项D错误；由已知设图象的一条对称抽为直线，一个对称中心为，且，的一个周期，故选项C正确.故选：C2（2021·天津高三二模）已知函数在上是减函数，且满足，若，则，的大小关系为（ ）ABCD【答案】B【解析】根据对数运算性质和对数函数单调性可得，根据指数函数单调性可知；利用为减函数可知，结合为奇函数可得大小关系.【详解】，即：又是定义在上的减函数又为奇函数，即：.故选：B.3.（2021·陕西高三三模（理）已知函数f(x)为R上的奇函数，且，当时，则f(101)+f(105)的值为（ ）A3B2C1D0【答案】A【解析】根据函数为奇函数可求得函数的解析式，再由求得函数f(
9、x)是周期为4的周期函数，由此可计算得选项【详解】解：根据题意，函数f(x)为R上的奇函数，则f(0)=0，又由x0，1时，则有f(0)=1+a=0，解可得：a=1，则有，又由f(x)=f(2+x)，即f(x+2)=f(x)，则有f(x+4)=f(x+2)=f(x)，即函数f(x)是周期为4的周期函数，则，故有f(101)+f(105)=3，故选：A4（2021·上海高三二模）若是R上的奇函数，且在上单调递增，则下列结论：是偶函数；对任意的xR都有；在上单调递增；反函数存在且在上单调递增其中正确结论的个数为（）A1B2C3D4【答案】C【解析】根据奇函数定义以及单调性性质，及反函数性
10、质逐一进行判断选择.【详解】对于，由是上的奇函数，得，所以是偶函数，故正确；对于，由是上的奇函数，得，而不一定成立，所以对任意的，不一定有，故错误；对于，因为是上的奇函数，且在上单调递增，所以在上单调递增，且，因此，利用复合函数的单调性，知在上单调递增，故正确.对于，由已知得是上的单调递增函数，利用函数存在反函数的充要条件是，函数的定义域与值域是一一映射，且函数与其反函数在相应区间内单调性一致，故反函数存在且在上单调递增，故正确；故选：C5【多选题】（2021·全国高三专题练习）已知函数是偶函数，是奇函数，并且当，则下列选项正确的是（ ）A 在上为减函数B在上C在上为增函数D在上【答
11、案】CD【解析】根据题意，分析可得，结合函数的解析式可得当时函数的解析式，据此分析可得答案【详解】解：根据题意，函数为奇函数，则有，即，又由为偶函数，则，则有，即有，当，时，若，则，则，则当时，有，则为增函数且；故在上为增函数，且；故选：6【多选题】（2021·全国高三专题练习）若函数对任意都有成立，则下列的点一定在函数图象上的是（ ）A B C D 【答案】ABC【解析】根据任意满足，得到是奇函数判断.【详解】因为任意满足，所以是奇函数，又，所以令，则，得，所以点，且点与也一定在的图象上，故选：ABC7【多选题】（2021·浙江高一期末）已知函数是定义在上的奇函数，当时，
12、则下列说法正确的是（ ）A函数有2个零点B当时，C不等式的解集是D，都有【答案】BCD【解析】根据函数奇偶性定义和零点定义对选项一一判断即可【详解】对A，当时，由得，又因为是定义在上的奇函数，所以，故函数有3个零点，则A错；对B，设，则，则，则B对；对C，当时，由，得；当时，由，得无解；则C对；对D，都有，则D对故选：BCD8【多选题】（2021·苏州市第五中学校高一月考）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.设，用表示不超过的最大整数，也被称为“高斯函数”，例如：，.已知函数，下列说法中正确的是（ ）A是周期函数B的值域是C在上是减函数D，【答案】AC
13、【解析】根据定义将函数写成分段函数的形式，再画出函数的图象，根据图象判断函数的性质.【详解】由题意可知，可画出函数图像，如图： 可得到函数是周期为1的函数，且值域为，在上单调递减，故选项AC正确，B错误；对于D，取 ，则，故D错误.故选：AC9【多选题】（2021·湖南高三月考）函数满足以下条件：的定义域是，且其图象是一条连续不断的曲线；是偶函数；在上不是单调函数；恰有2个零点.则函数的解析式可以是（ ）ABCD【答案】CD【解析】利用函数图象变换画出选项A，B，C，D对应的函数图象，逐一分析即可求解.【详解】解：显然题设选项的四个函数均为偶函数，但的定义域为，所以选项B错误；函数的
14、定义域是，在，单调递减，在，单调递增，但有3个零点，选项A错误；函数的定义域是，当时，的图象对称轴为，其图象是开口向下的抛物线，故在，单调递增，在，单调递减，由图得恰有2个零点，选项C正确；函数的定义域是，在，单调递减，在，单调递增，且有2个零点，选项D正确.故选：CD.10（2021·黑龙江大庆市·高三二模（理）定义在上的函数满足，当时，则函数的图象与的图象的交点个数为_.【答案】7【解析】由题设可知的周期为2，结合已知区间的解析式及，可得两函数图象，即知图象交点个数.【详解】由题意知：的周期为2，当时，、的图象如下：即与共有7个交点，故答案为：7.【点睛】结论点睛：有的
15、周期为.练真题TIDHNEG1. （2020·天津高考真题）函数的图象大致为（ ）ABCD【答案】A【解析】【分析】由题意首先确定函数的奇偶性，然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.【详解】由函数的解析式可得：，则函数为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD错误；当时，选项B错误.故选：A.2.（2020·全国高考真题（理）设函数，则f(x)（ ）A是偶函数，且在单调递增B是奇函数，且在单调递减C是偶函数，且在单调递增D是奇函数，且在单调递减【答案】D【解析】由得定义域为，关于坐标原点对称，又，为定义域上的奇函数，可排除AC；当时，在上单调递增，在上
16、单调递减，在上单调递增，排除B；当时，在上单调递减，在定义域内单调递增，根据复合函数单调性可知：在上单调递减，D正确.故选：D.3（2020·海南省高考真题）若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是（ ）ABCD【答案】D【解析】因为定义在上的奇函数在上单调递减，且，所以在上也是单调递减，且，所以当时，当时，所以由可得：或或解得或，所以满足的的取值范围是，故选：D.4.（2018年理全国卷II）已知f(x)是定义域为(-,+)的奇函数，满足f(1-x)=f(1+x)若f(1)=2，则f(1)+f(2)+f(3) +f(50)=( )A. -50 B.
17、 0 C. 2 D. 50【答案】C【解析】因为f(x)是定义域为(-,+)的奇函数，且f(1-x)=f(1+x)，所以f(1+x)=-f(x-1)f(3+x)=-f(x+1)=f(x-1)T=4,因此f(1)+f(2)+f(3)+f(50)=12f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(1)+f(2)，因为f(3)=-f(1)，f(4)=-f(2)，所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0，f(2)=f(-2)=-f(2)f(2)=0，从而f(1)+f(2)+f(3)+f(50)=f(1)=2，选C.5.（2019·全国高考真题（文）设是定义域为的偶函数，且在单调递减，则（ ）ABCD【答案】C【解析】是R的偶函数，又在(0，+)单调递减，故选C6.（2019·全国高考真题（理）已知是奇函数，且当时，.若，则_.【答案】-3【解析】因为是奇函数，且当时，又因为，所以，两边取以为底的对数得，所以，即