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1、专题4.2 应用导数研究函数的单调性新课程考试要求1. 了解函数单调性和导数的关系，会用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间.核心素养本节涉及所有的数学核心素养：逻辑推理（多例）、数学建模、直观想象（例4.5）、数学运算（多例）、数据分析等.考向预测（1）以研究函数的单调性、单调区间等问题为主，根据函数的单调性确定参数的值或范围，与不等式、函数与方程、函数的图象相结合； （2）单独考查利用导数研究函数的某一性质以小题呈现；大题常与不等式、方程等结合考查，综合性较强.其中研究函数的极值、最值，都绕不开研究函数的单调性【知识清单】1利用导数研究函数的单调性在内可导函数，在任意子区间内都不恒等于
2、0.在上为增函数在上为减函数【考点分类剖析】考点一 ：判断或证明函数的单调性【典例1】（2020·辽宁高三期中）已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）若函数在区间上是增函数，求实数的取值范围.【答案】（1）若时，函数在上单调递增；若时，函数在上单调递减，在上单调递增；（2）.【解析】（1）先求导，根据导数和函数的单调性的关系，分类讨论即可求出；（2）对求导得，由在区间上是增函数，可得时，恒成立，令，利用导数求出的最小值，即可求得的取值范围.【详解】解：（1）函数的定义域为，若时，此时函数在上单调递增；若时，令，可得，可得，所以函数在上单调递减，在上单调递增.（2），若函数在区间上是
3、增函数，又当时，恒成立，令，则，令，有，可得函数的增区间为，减区间为，所以，有，故实数的取值范围为.【典例2】（2020·全国高考真题（理）已知函数f(x)=sin2xsin2x.（1）讨论f(x)在区间(0，)的单调性；【答案】（1）当时，单调递增，当时，单调递减，当时，单调递增.【解析】 (1)由函数的解析式可得：，则：，在上的根为：，当时，单调递增，当时，单调递减，当时，单调递增.【规律方法】1利用导数证明或判断函数单调性的思路求函数f(x)的导数f(x)：(1)若f(x)>0，则yf(x)在(a，b)上单调递增；(2)若f(x)<0，则yf(x)在(a，b)上单调
4、递减；(3)若恒有f(x)0，则yf(x)是常数函数，不具有单调性2.利用导数研究函数的单调性的方法步骤：确定函数f(x)的定义域；求导数f'(x)；由f'(x)>0（或f'(x)<0）解出相应的x的取值范围，当f'(x)>0时，f(x)在相应区间上是增函数；当f'(x)<0时，f(x)在相应区间上是减增函数.【变式探究】1. （2020·全国高考真题（文）已知函数.（1）当时，讨论的单调性；【答案】（1）的减区间为，增区间为；（2）.【解析】（1）当时，令，解得，令，解得，所以的减区间为，增区间为；2.已知函数，。（）
5、若 ，求的值；（）讨论函数的单调性。【答案】()a=3；()答案见解析.【解析】 ()由题意可得：，故，.()函数，其中a>1，f(x)的定义域为(0,+)，令f(x)=0,得x1=1,x2=a1.若a1=1,即a=2时,，故f(x)在(0,+)单调递增.若0<a1<1，即1<a<2时，由f(x)<0得，a1<x<1；由f(x)>0得，0<x<a1，或x>1.故f(x)在(a1,1)单调递减,在(0,a1),(1,+)单调递增.若a1>1，即a>2时，由f(x)<0得,1<x<a1;由f(x)
6、>0得，0<x<1，或x>a1.故f(x)在(1,a1)单调递减,在(0,1),(a1,+)单调递增.综上可得,当a=2时,f(x)在(0,+)单调递增；当1<a<2时,f(x)在(a1,1)单调递减,在(0,a1),(1,+)单调递增；当a>2时,f(x)在(1,a1)单调递减,在(0,1),(a1,+)单调递增.【易错提醒】1.利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号，易错点是忽视函数的定义域.2.当f(x)含参数时，需依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论讨论的标准有以下几种可能：(1)f(x)0是否有根；(2)若f(x)0有根，
7、求出的根是否在定义域内；(3)若在定义域内有两个根，比较两个根的大小考点二 ：求函数的单调区间【典例3】（2021·安徽芜湖市·高三二模（文）已知函数（1）若，求函数的单调区间；（2）若函数为定义域内的单调递增函数，求实数的取值范围【答案】（1）单增区间为，单减区间为；（2）【解析】（1）当时，根据导数与0的关系，判断函数单调区间；（2）函数在定义域内单增，等价于导数恒大于等于0，对导数求导，讨论参数的取值范围，求得导数的最小值，分别讨论导数是否恒大于等于0即可.【详解】解：（1）当时，当时，所以在单调递增；当时，所以在单调递减；故函数的单增区间为，单减区间为（2）由题知在
8、上恒成立，即在上恒成立，令，当时，所以在上单调递增，又，所以当时，不符合题意；当时，令，所以在单调递增，而，（i）当时，所以，使得，且当时，当时，因此当时，此时，不符合题意；（ii）当时，所以当时，当时，所以在单调递减，在单调递增，故，符合题意；（iii）当时，所以，使得，且当时，当时，因此当时，此时，不符合题意；综上所述：【总结提升】利用导数求函数单调区间的方法(1)当导函数不等式可解时，解不等式f(x)0或f(x)0求出单调区间(2)当方程f(x)0可解时，解出方程的实根，按实根把函数的定义域划分区间，确定各区间f(x)的符号，从而确定单调区间(3)若导函数的方程、不等式都不可解，根据f(
9、x)结构特征，利用图象与性质确定f(x)的符号，从而确定单调区间温馨提醒：所求函数的单调区间不止一个，这些区间之间不能用并集“”及“或”连接，只能用“，”“和”字隔开【变式探究】（2020·金华市曙光学校高二月考）已知，那么单调递增区间_；单调递减区间_.【答案】 【解析】因为,故.令可得,即.又为增函数,故当时,单调递减；当时, ,单调递增.故答案为：(1) ；(2)考点三 ：利用函数的单调性研究函数图象【典例4】（2021·浙江高考真题）已知函数，则图象为如图的函数可能是（ ）ABCD【答案】D【解析】由函数的奇偶性可排除A、B，结合导数判断函数的单调性可判断C，即可得
10、解.【详解】对于A，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除A；对于B，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B；对于C，则，当时，与图象不符，排除C.故选：D.【典例5】（2018·全国高考真题（理）函数的图像大致为 ()ABCD【答案】B【解析】为奇函数，舍去A,舍去D;，所以舍去C；因此选B.【规律方法】1.函数图象的辨识主要从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.2函数的图象与函数的导数关系的判断方
11、法(1)对于原函数，要重点考查其图象在哪个区间内单调递增，在哪个区间内单调递减(2)对于导函数，则应考查其函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于零，并考查这些区间与原函数的单调区间是否一致【变式探究】1.（2020·安徽金安六安一中高三其他（文）已知函数f(x)ex(x1)2(e为2.718 28)，则f(x)的大致图象是（ ）ABCD【答案】C【解析】函数，当时，故排除A、D，又，当时，所以在为减函数，故排除B,故选：C.2.（2019·云南高考模拟（文）函数y=fx的导函数y=f'x的图象如图所示，则函数y=fx的图象可能是（ ）ABCD【答案】A【解析】如
12、下图所示：当x<a,b<x<c时，f'(x)>0,f(x)单调递增；当a<x<b,x>c时，f'(x)<0,f(x)单调递减，所以整个函数从左到右，先增后减，再增最后减，选项A中的图象符合，故本题选A.考点四 ：利用函数的单调性解不等式【典例6】（2021·云南昆明市·昆明一中高三其他模拟（文）已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）ABCD【答案】A【解析】根据函数的奇偶性的定义，判断函数的奇偶性，运用导数判断函数的单调性，最后运用函数的奇偶性、单调性进行求解即可.【详解】因为函数的定义域为，所以为奇函数；又因
13、为，所以函数在上单调递增；又因为，所以，即，故选：A【总结提升】比较大小或解不等式的思路方法(1)根据导数计算公式和已知的不等式构造函数，利用不等关系得出函数的单调性，即可确定函数值的大小关系，关键是观察已知条件构造出恰当的函数(2)含有两个变元的不等式，可以把两个变元看作两个不同的自变量，构造函数后利用单调性确定其不等关系【变式探究】（2020·山东奎文潍坊中学高二月考）【多选题】设f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，f（x），g'（x）为其导函数，当x0时，f（x）g（x）+f（x）g'（x）0且g（3）0，则使得不等式f（x）g（x）0成立的x的
14、取值范围是（ ）A（,3）B（3,0）C（0,3）D（3,+）【答案】BD【解析】f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，f（x）f（x），g（x）g（x），令h（x）f（x）g（x），则h（x）h（x），故h（x）f（x）g（x）为R上的奇函数，当x0时，f（x）g（x）+f（x）g'（x）0，即x0时，h（x）f（x）g（x）+f（x）g'（x）0，h（x）f（x）g（x）在区间（，0）上单调递减，奇函数h（x）在区间（0，+）上也单调递减，如图：由g（3）0，h（3）h（3）0，当x（3，0）（3，+）时，h（x）f（x）g（x）0，故选：BD.考点五 ：利用
15、函数的单调性比较大小【典例7】（2021·昆明市·云南师大附中高三月考（文）已知，则，的大小关系为（ ）ABCD【答案】D【解析】设，利用导数判断函数的单调性，利用函数的单调性比较函数值的大小；【详解】解：设，则恒成立，函数在上单调递增，又，故选：D.【总结提升】在比较，的大小时，首先应该根据函数的奇偶性与周期性将，通过等值变形将自变量置于同一个单调区间，然后根据单调性比较大小【变式探究】（2020·新泰市第二中学高三其他）【多选题】已知定义在()上的函数，是的导函数，且恒有成立，则（ ）ABCD【答案】CD【解析】分析：构造函数，然后利用导数和已知条件求出在()
16、上单调递减，从而有，据此转化化简后即可得出结论.详解：设，则，因为()时，所以()时，因此在()上单调递减，所以，即，.故选：CD.考点六 ：利用函数的单调性求参数的范围（值）【典例8】（2020·全国高三其他模拟（文）若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）ABCD【答案】C【解析】依题意得在定义域内单调递增，得；在定义域内单调递增，利用导数求得，又因为，即可求得结果【详解】由题意可知函数在定义域内单调递增，得；函数在定义域内单调递增，则在上恒成立，当时，恒成立，而当时，即又因为，解得综上，实数的取值范围是故选：C【典例9】（2021·宁夏石嘴山市·高三二模
17、（文）设函数，（1）求的单调区间；（2）设函数是单调递增函数，求实数的值【答案】（1）的单调增区间为，单调减区间为;（2）【解析】（1）对求导，判断正负，从而求出单调性； （2）对化简并求导得到：对进行讨论，进一步求出答案.【详解】，所以定义域为所以令解得，解得且故的单调增区间为，单调减区间为；(2) 定义域为则为增函数对任意恒成立若，则，则当时，当时，故在单调递减，在单调递增，不符合题意；若，则令，解得或，则，则当 时，当时，故在单调递减，在单调递增，不符合题意；若，则令，解得或则，则当时，当时，故在单调递减，在单调递增，不符合题意；当时，此时恒成立，故符合题意，综上所述.【总结提升】1.由
18、函数的单调性求参数的取值范围的方法(1)可导函数在区间(a，b)上单调，实际上就是在该区间上f(x)0(或f(x)0)恒成立，得到关于参数的不等式，从而转化为求函数的最值问题，求出参数的取值范围注意检验参数取“”时是否满足题意(2)可导函数在区间(a，b)上存在单调区间，实际上就是f(x)0(或f(x)0)在该区间上存在解集，从而转化为不等式问题，求出参数的取值范围再验证参数取“”时f(x)是否满足题意(3)若已知f(x)在区间I上的单调性，区间I上含有参数时，可先求出f(x)的单调区间，令I是其单调区间的子集，从而求出参数的取值范围2恒成立问题的重要思路(1)mf(x)恒成立mf(x)max
19、(2)mf(x)恒成立mf(x)min【变式探究】1.（2020·山东肥城高二期中）若函数在区间单调递增，则的取值范围是_；若函数在区间内不单调，则的取值范围是_.【答案】 【解析】若在区间单调递增，所以在上恒成立，即在上恒成立，又时，所以；若函数在区间内不单调，则方程在区间有解，因为时，因此只需.故答案为：；.2（2021·全国高三专题练习（理）设函数.（1）若，求函数的单调区间；（2）若在定义域上是增函数，求实数a的取值范围.【答案】（1）单调递增区间为和，单调递减区间为；（2）.【解析】（1）根据，解得，得到，利用导数的符号，即可求得函数的单调区间；（2）把在定义域上是增函数，转化为当时，不等式恒成立，分类参数，转化为对恒成立，结合基本不等式，即可求解.【详解】（1）由题意，函数的定义域为，且，因为，解得，所以，令，即，解得或；令，即，解得，所以函数的单调递增区间为和，单调递减区间为.（2）若在定义域上是增函数，则对恒成立，因为，即时，不等式恒成立，即对恒成立，因为，当且仅当时取等号，所以，即实数a的取值范围是.