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1、考点53离散型随机变量的数字特征【命题解读】 离散型随机变量的数字特征是高考常考知识点之一，常常出现在客观题或主观题方面，这部分内容比较零散，知识点多，出题不好琢磨，复习中主要是夯实基础，掌握做题方法。【命题预测】预计2021年的高考离散型随机变量的数字特征大概率会在解答题中出题，要掌握计算公式和计算方法，注意分析问题，主要还是考查分析问题的能力。【复习建议】 1.理解离散型随机变量的分布列；2.掌握离散型随机变量的数字特征的计算。考向一离散型随机变量的数字特征离散型随机变量的均值与方差一般地,若离散型随机变量X的分布列为Xx1x2xixnPp1p2pipn1.均值称E(X)= x1p1+x2
2、p2+xipi+xnpn为随机变量X的均值或数学期望.它反映了离散型随机变量取值的平均水平. 2.方差称D(X)=i=1n(xi-E(X)2pi为随机变量X的方差,它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，并称其算术平方根D(X)为随机变量X的标准差. 1. 【2020浙江杭州市高一期末】将个球（形状相同，编号不同）随机地投入编号为、的个盒子，以表示其中至少有一个球的盒子的最小号码（表示第号，第号盒子是空的，第个盒子至少个球），则、分别等于（ ）A、B、C、D、【答案】B【解析】由题意可知，随机变量的可能取值有、，所以，因此，.故选：B.2. 【2020四川仁寿一中
3、高三月考（理）】已知某7个数的期望为6，方差为4，现又加入一个新数据6，此时这8个数的期望为记为，方差记为，则（ ）A，B，C，D，【答案】B【解析】设原来7个数分别为由，则由则所以故选：B考向二 均值与方差的计算均值与方差的性质1.E(aX+b)= aE(X)+b.(a,b为常数) 2.D(aX+b)= a2D(X).(a,b为常数) 3.若随机变量X服从两点分布,则E(X)= p，D(X)= p(1-p). 4.若XB(n,p),则E(X)= np，D(X)= np(1-p). 1. 【2020全国高三专题练习】已知随机变量服从二项分布，其期望，随机
4、变量服从正态分布，若，则（ ）ABCD【答案】D【解析】由，则，则，则，故选：D.2. 【2020全国高二课时练习（理）】设随机变量的分布列为，则，的值分别是（ ）A0和1B和C和D和【答案】D【解析】设随机变量的概率分布为，则，故选D.3. 【2020全国高三专题练习】从某班6名学生（其中男生4人，女生2人）中任选3人参加学校组织的社会实践活动，设所选三人中男生人数为，则数学期望_.【答案】2【解析】的可能值为，则；.故分布列为：123故.故答案为：2.题组一（真题在线）1. 【2019年高考浙江卷】设0a1，则随机变量X的分布列是则当a在（0,1）内增大时，A增大B减小C先增大后减小D先减
5、小后增大2. 【2019年高考江苏卷】已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是_3. 【2020年高考全国III卷理数】在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为，且，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是ABCD4. 【2020年高考浙江】盒中有4个球，其中1个红球，1个绿球，2个黄球从盒中随机取球，每次取1个，不放回，直到取出红球为止设此过程中取到黄球的个数为，则_，_5. 【2019年高考天津卷理数】设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立（1）用表示甲同学上学期间的三天中7：
6、30之前到校的天数，求随机变量的分布列和数学期望；（2）设为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件发生的概率题组二1. 【2020浙江杭州市高一期末】若随机变量X的分布列是：则当实数a在内增大时，（ ）A增大B减小C先增大后减小D先减小后增大2. 【2020全国高三专题练习（理）】已知甲盒子有6个不同的小球，编号分别为1，2，3，4，5，6，从甲盒子中取出一个球，记随机变量是取出球的编号，数学期望为，乙盒子有5个不同的小球，编号分别为1，2，3，4，5，从乙盒子中取出一个球，记随机变量是取出球的编号，数学期望为，则（ ）A且B且
7、C且D且3. 【2020浙江高三期中】袋中有5个球，其中3个白球，2个黑球，从袋中随机取球，每次取1个，取后放回，取3次，在这3次取球中，设取到黑球的次数为，则（ ）ABCD4. 【2020全国高二课时练习（理）】某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为A100B200C300D4005. 【2020全国高二课时练习（理）】设随机变量的分布列为，则，的值分别是（ ）A0和1B和C和D和6. 【2020全国高三专题练习】已知随机变量服从二项分布，则（ ）AB8CD5 7. 【2020全国高三专题练习】已知随机
8、变量的分布列为：1230.5若，则_8. 【2020全国高三专题练习】随机变量的取值为0,1,2，若，则_.9. 【2020全国高三专题练习】某校从高三年级中选拔一个班级代表学校参加“学习强国知识大赛”，经过层层选拔，甲、乙两个班级进入最后决赛，规定回答1相关问题做最后的评判选择由哪个班级代表学校参加大赛每个班级4名选手，现从每个班级4名选手中随机抽取2人回答这个问题已知这4人中，甲班级有3人可以正确回答这道题目，而乙班级4人中能正确回答这道题目的概率每人均为，甲、乙两班级每个人对问题的回答都是相互独立，互不影响的（1）求甲、乙两个班级抽取的4人都能正确回答的概率；（2）设甲、乙两个班级被抽取
9、的选手中能正确回答题目的人数分别为，求随机变量，的期望，和方差，并由此分析由哪个班级代表学校参加大赛更好？10. 【2020陕西渭南市·高三月考（理）】过去五年，我园的扶贫工作进入了“精准扶贫”阶段.目前“精准扶贫”覆盖了全部贫困人口，东部帮西部，全园一盘棋的扶贫格局逐渐形成.到2020年底全国830个贫困县都将脱贫摘帽，最后4335万贫困人口将全部脱贫，这将超过全球其他国家过去30年脱贫人口总和.2020年是我国打赢脱贫攻坚战收官之年，越是到关键时刻，更应该强调“精准”.为落实“精准扶贫”政策，某扶贫小组，为一“对点帮扶”农户引种了一种新的经济农作物，并指导该农户于2020年初开始
10、种植.已知该经济农作物每年每亩的种植成本为1000元，根据前期各方面调查发现，该经济农作物的市场价格和亩产量均具有随机性，且两者互不影响，其具体情况如下表：该经济农作物亩产量（kg）9001200该经济农作物市场价格（元/kg）1520概率概率（1）设2020年该农户种植该经济农作物一亩的纯收入为X元，求X的分布列；（2）2020年全国脱贫标准约为人均纯收入4000元.假设该农户是一个四口之家，且该农户在2020年的家庭所有支出与其他收入正好相抵，能否凭这一亩经济农作物的纯收入，预测该农户在2020年底可以脱贫？并说明理由.题组一1.D【解析】方法1：由分布列得，则，则当在内增大时，先减小后增
11、大故选D方法2：则，则当在内增大时，先减小后增大故选D2. 【解析】由题意，该组数据的平均数为，所以该组数据的方差是3. B【解析】对于A选项，该组数据的平均数为，方差为；对于B选项，该组数据的平均数为，方差为；对于C选项，该组数据的平均数为，方差为；对于D选项，该组数据的平均数为，方差为.因此，B选项这一组标准差最大.故选：B.4. 【解析】因为对应事件为第一次拿红球或第一次拿绿球，第二次拿红球，所以，随机变量，所以.故答案为：.5. D【解析】（1）因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7：30之前到校的概率均为，故，从而所以，随机变量的分布列为0123随机变量的数学期望（2）
12、设乙同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数为，则，且由题意知事件与互斥，且事件与，事件与均相互独立，从而由（1）知题组二1.D由二次函数的性质可知，在上递减，在上递增.故选：D.2.C【解析】由题，.故选：C3.C【解析】有放回的抽取时，取到黑球的次数的取值可能是0,1,2,3，由于每次取到黑球的概率均为，3次取球可以看成3次独立重复试验，则,.故选：C.4. B【解析】设没有发芽的种子数为，则，所以故选：B5.D【解析】设随机变量的概率分布为，则，故选D.6.C【解析】因为随机变量服从二项分布，所以，所以，故选：C.7. 【解析】由E（）1×0.5+2x+3y，整理得：2x+3
13、y，由0.5+x+y1，即x+y，x，y，D（）（1）2×0.5+（2）2（3）2，故答案为：8. 【解析】设时的概率为，则，解得，故9. 见解析【解析】（1）甲、乙两个班级抽取的4人都能正确回答的概率；（2）甲班级能正确回答题目人数为，的取值分别为1，2，则，乙班级能正确回答题目人数为，的取值分别为0，1，2，由，可知，由甲班级代表学校参加大赛更好10. 见解析【解析】（1）由题意知：，所以X的所有可能取值为：23000，17000，12500.设A表示事件“作物产量为900kg”，则；B表示事件“作物市场价格为15元/kg”，则.则：，所以X的分布列为：X230001700012500P（2）由（1）知，2020年该农户种植该经济农作物一亩的预计纯收入为（元），凭这一亩经济农作物的纯收入，该农户的人均纯收入超过了国家脱贫标准，所以，能预测该农户在2020年底可以脱贫.