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1、导数在研究函数中的应用知识讲解一、利用导数研究函数的单调性1.函数在区间内可导1）如果在内，则在此区间是增函数，为的单调增区间2）如果在内，则在此区间是减函数，为的单调减区间3）如果在内，恒成立，则在此区间是常函数，不具有单调性注：单调区间是指单调增区间或单调减区间2.利用导数研究函数单调性的基本步骤1）确定函数的定义域；2）求导数，并对导数进行整理（常用方法：通分、因式分解）；3）由（或）解出相应的的取值范围当时，在相应的区间内是单调增函数；当时，在相应的区间内是单调减函数一般需要通过列表，写出函数的单调区间注：单调区间不能用“”连接，应用“”隔开或用“和”连接“在区间内单调递减”可转化为“
2、在区间内且不恒为”或“区间是减区间的子集”二、利用导数研究函数的极值、最值1.极大值点：已知函数，设是定义域内任一点，如果对附近的所有点，都有，则称函数在点处取极大值，记作并把称为函数的一个极大值点2.极小值点：如果在附近都有，则称函数在点处取极小值，记作并把称为函数的一个极小值点3.极值和极值点：极大值与极小值统称为极值；极大值点与极小值点统称为极值点注：极值点是个数，而不是个坐标4.求函数的极值的方法：1）求函数的定义域2）求导数；3）求方程的所有实数根；4）考察在每个根附近，从左到右，导函数的符号如何变化如果的符号由正变负，则是极大值；如果由负变正，则是极小值如果在的根的左右侧，的符号不
3、变，则不是极值5.一般地，求函数在上的最大值与最小值的步骤：1）求出函数在内所有极值；2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值6.最值与极值的区别与联系1）极值只是对一点附近而言，是局部最值；而最值是对整个区间或是对所考察问题的整体而言；2）最值和极值都不一定存在；3）极值有可能是最值，但最值只要不在区间端点处取得，其必定是极值三、利用导数解决某些实际问题1.生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题称为优化问题2.利用导数解决生活中优化问题的基本思路为：1）抽象出实际问题的数学模型，列出函数关系式；2）利用导数求出函数的最值；3）
4、根据实际问题的意义给出答案四、用导数进行分类讨论1.利用导数求单调区间的步骤1）确定函数的定义域；2）求导数，并对导数进行整理（常用方法：通分、因式分解）；3）由（或）解出相应的的取值范围当时，在相应的区间内是单调增函数；当时，在相应的区间内是单调减函数一般需要通过列表，写出函数的单调区间2.为什么要分类讨论？在利用导数解决函数的单调性与极值、最值问题时，一般含有参数的导数往往需要分类讨论原因在于，求单调区间的第（3）步中会去解一个含参的不等式或者，是题目给出的是区间端点含有参数五、如何进行分类讨论？1.先明确是哪类不等式，不同类型的不等式，分类讨论的策略不同！考试中常碰到的不等式有：一元一次
5、不等式、一元二次不等式、分式不等式、对数不等式、指数不等式2.再观察一下区间（定义域）和参数范围3.结合导函数图象，开始讨论不同类型不等式的讨论策略：1） 一元一次不等式型：参数在一次项系数上：如：，（i）当时，增区间为；（ii）当时，由，得，增区间是；由，得，减区间是（iii）当时，由，得，增区间是；由，得，减区间是参数在常数项上：如：，（i）当时，恒成立，增区间为；（ii）当时，由，得，增区间为；由，得，增区间为2） 一元二次不等式型：参数在二次项系数：第一种，能因式分解型；如：，当时，恒成立，为常函数；当时，由，得或，的增区间是，；由，得，的减区间为当时，（i），且不恒为0，减区间为；（
6、ii）时，由，得，的增区间是；由，得或，的减区间是，（iii）时，由，得，的增区间是;由，得或，的减区间是，注：分类可以有层次感，在大类下还可以再分小类，这样逻辑比较清晰严谨，不易混乱第二种，不能因式分解型；如：，当时，由，得，的增区间是；由，得，的减区间是当时， （i）当时，即恒成立且不恒为0，的增区间是；（ii）当时，即由，得或的增区间是，;由，得的减区间是当时，由，得的增区间是由，得或的减区间是，参数不在二次项系数上：第一种，能因式分解型如：，当时，恒成立且不恒为0，增区间为；当时，由，得或，增区间为，；由，得，减区间为当时，由，得或，增区间为，；由，得，减区间为第二种，不能因式分解型如
7、：，当，即时，恒成立且不恒为0，增区间是当，即或时，由，得或增区间是，；由，得减区间是3）分式不等式型:这种类型往往可以转化为一元二次不等式型解决4）指数不等式型如：，当时，恒成立，增区间为；当时，由，得，增区间为；由，得，减区间为5）对数不等式型如：，由，得，增区间是；由，得，减区间是六、函数的零点1.零点的概念：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点2.有零点的推导：函数有零点有根函数与轴有交点3.有根的推导有几个根函数与图象有几个交点函数图象与轴有几个交点4.推导：方程有几个根函数与函数图象有几个交点函数的图象与轴有几个交点5.零点个数：三次函数的零点个数1）当时，且不恒为0，在上单调增
8、此时，有且仅有1个零点2）当时，有极大值和极小值；当或时，有且仅有1个零点；当或时，有2个零点；当时，有个零点七、渐近线问题常见的处理方式：借助函数的零点，将区间进行分段研究；构造满足题意的用参数表示的自变量经典例题一选择题（共12小题）1设f（x）在定义域内可导，其图象如图所示，则导函数f（x）的图象可能是（）ABCD【解答】解：由f（x）的图象可得，在y轴的左侧，图象下降，f（x）递减，即有导数小于0，可排除C，D；再由y轴的右侧，图象先下降再上升，最后下降，函数f（x）递减，再递增，后递减，即有导数先小于0，再大于0，最后小于0，可排除A；则B正确故选：B2y=12x2lnx的单调递减区
9、间为（）A1，1B（0，1）C1，+）D（0，+）【解答】解：函数的定义域为x0y=x1x，令x1x0，由于x0，从而得0x1，函数y=12x2x的单调递减区间是（0，1）故选：B3已知函数f（x）=ex（3x1）ax+a（a1），若有且仅有两个整数xi（i=1，2），使得f（xi）0，则a的取值范围为（）A2e，1）B73e2，2e）C0.2e）D73e2，1）【解答】解：设g（x）=ex（3x1），h（x）=axa，则g（x）=ex（3x+2），x（，23），g（x）0，g（x）单调递减，x（23，+），g（x）0，g（x）单调递增，x=23，取最小值3e-23，g（0）=1a=h（0），
10、g（1）h（1）=2e0，直线h（x）=axa恒过定点（1，0）且斜率为a，g（1）h（1）=4e1+2a0，a2e，g（2）=7e2，h（2）=3a，由g（2）h（2）0，解得：a73e2，故选：B4设函数f'（x）是函数f（x）（xR）的导函数，已知f'（x）f（x），且f'（x）=f'（4x），f（4）=0，f（2）=1，则使得f（x）2ex0成立的x的取值范围是（）A（2，+）B（0，+）C（1，+）D（4，+）【解答】解：设F(x)=f(x)ex，则F'(x)=f'(x)-f(x)ex0，即函数F（x）在R 上单调递减，因为f'
11、（x）=f'（4x），即导函数y=f'（x）关于直线x=2对称，所以函数y=f（x）是中心对称图形，且对称中心（2，1），由于f（4）=0，即函数y=f（x）过点（4，0），其关于点（2，1）的对称点（0，2）也在函数y=f（x）上，所以有f（0）=2，所以F(0)=f(0)e0=2，而不等式f（x）2ex0即f(x)ex2，即F（x）F（0），所以x0，故使得不等式f（x）2ex0成立的x的取值范围是（0，+）故选：B5设aR，若函数y=x+alnx在区间（1e，e）有极值点，则a取值范围为（）A（1e，e）B（e，1e）C（，1e）（e，+）D（，e）（1e，+）【解答】解
12、：函数y=f（x）=x+alnx在区间（1e，e）有极值点y=0在区间（1e，e）有零点f（x）=1+ax=x+ax（x0）f'(1e)f'(e)0，(1e+a)(e+a)0，解得-ea-1ea取值范围为(-e，-1e)故选：B6函数f（x）=2x33x2+a的极大值为6，那么a的值是（）A5B0C6D1【解答】解：函数f（x）=2x33x2+a，导数f（x）=6x26x，令f（x）=0，可得 x=0 或 x=1，导数在 x=0 的左侧大于0，右侧小于0，故f（0）为极大值f（0）=a=6导数在 x=1 的左侧小于0，右侧大于0，故f（1）为极小值 故选：C7函数f（x）=x3
13、ax2bx+a2在x=1处有极值10，则点（a，b）为（）A（3，3）B（4，11）C（3，3）或（4，11）D不存在【解答】解：对函数f（x）求导得 f（x）=3x22axb，又在x=1时f（x）有极值10，&f'(1)=3-2a-b=0&f(1)=1-a-b+a2=10，解得 &a=-4&b=11或 &a=3&b=-3，验证知，当a=3，b=3时，在x=1无极值，故选：B8已知函数f（x）=x3+2ax2+3bx+c的两个极值点分别在（1，0）与（0，1）内，则2ab的取值范围是（）A(-32，32)B(-32，1)C(-12，32)
14、D(1，32)【解答】解：由函数f（x）=x3+2ax2+3bx+c，求导f（x）=3x2+4ax+3b，f（x）的两个极值点分别在区间（1，0）与（0，1）内，由3x2+4ax+3b=0的两个根分别在区间（0，1）与（1，0）内，即&f'(0)0&f'(-1)0&f'(1)0，令z=2ab，转化为在约束条件为&3b0&3-4a+3b0&3+4a+3b0时，求z=2ab的取值范围，可行域如下阴影（不包括边界），目标函数转化为z=2ab，由图可知，z在A（34，0）处取得最大值32，在（34，0）处取得最小值-32，因为可行
15、域不包含边界，z=2ab的取值范围（-32，32）故选：A9函数f（x）=x3+x2ax4在区间（1，1）内恰有一个极值点，则实数a的取值范围为（）A（1，5）B1，5）C（1，5D（，1）（5，+）【解答】解：由题意，f（x）=3x2+2xa，则f（1）f（1）0，即（1a）（5a）0，解得1a5，另外，当a=1时，函数f（x）=x3+x2x4在区间（1，1）恰有一个极值点，当a=5时，函数f（x）=x3+x25x4在区间（1，1）没有一个极值点，故选：B10已知函数f（x）=xsinx，现给出如下命题：当x（4，3）时，f（x）0；f（x）在区间（0，1）上单调递增；f（x）在区间（1，3
16、）上有极大值；存在M0，使得对任意xR，都有|f（x）|M其中真命题的序号是（）ABCD【解答】解：当x（4，）时，sinx0，f（x）0，故为假命题；f（x）=sinx+xcosx，当x（0，1）时，f（x）0恒成立，故f（x）在区间（0，1）上单调递增，故为真命题；f（1）=sin1+cos10，f（3）=sin3+3cos30，且f（x）在在区间（1，3）上连续，故存在x0（1，3），使x（1，x0）时，f（x）0，x（x0，3）时，f（x）0，故当x=x0时，f（x）取极大值，故为真命题；由函数f（x）=xsinx不存在最大值和最小值，故不存在M0，使得对任意xR，都有|f（x）|M故
17、为假命题，故选：B11已知实数a，b满足0a1，0b1，则函数f（x）=x3ax2+bx+1存在极值的概率为（）A19B13C25D89【解答】解：对f（x）=x3ax2+bx+1求导数可得f（x）=3x22ax+b，由函数有极值可得=4a212b0，即b13a2，满足0a1，0b1的点（a，b）的区域为边长为1正方形，满足0a1，0b1且b13a2的点（a，b）的区域为正方形内曲线b=a2下方的部分，由定积分可得S=0113a2da=19a3|01=19，而正方形的面积为1，所求概率为P=19，故选：A12已知函数f（x）=2ef（e）lnxxe（e是自然对数的底数），则f（x）的极大值为（
18、）A2e1B-1eC1D2ln2【解答】解：f（x）=2ef'(e)x1e，故f（e）=1e，故f（x）=2lnxxe，令f（x）=2x1e0，解得：0x2e，令f（x）0，解得：x2e，故f（x）在（0，2e）递增，在（2e，+）递减，x=2e时，f（x）取得极大值2ln2，故选：D二填空题（共4小题）13函数f（x）=x33x2+1的极小值点为2【解答】解：f（x）=3x26x令f（x）=3x26x=0得x1=0，x2=2且x（，0）时，f（x）0；x（0，2）时，f（x）0；x（2，+）时，f（x）0故f（x）在x=2出取得极小值故答案为214已知函数f（x）=x33ax2+9x
19、1在x=1处有极值，则a=2【解答】解：由f（x）=x33ax2+9x1，则f（x）=3x26ax+9，因为函数f（x）=x33ax2+9x1在x=1处有极值，所以f（1）=0，即3×126a×1+9=0，解得：a=2a=2时，3x212x+9=0，可得x=1或x=3，所以a=2函数有极值故选C15函数f(x)=-23x3+32x2-x的递增区间为12，1【解答】解：函数f(x)=-23x3+32x2-x，f（x）=2x2+3x1，令f（x）0，即2x2+3x10，解得：12x1，故函数在12，1递增，故答案为：12，116函数f（x）=（x3）ex的单调递增区间是（2，+
20、）【解答】解：f（x）=（x2）ex，令f（x）0，解得：x2，f（x）在（2，+）递增，故答案为：（2，+）三解答题（共2小题）17已知函数f（x）=2x33（m+1）x2+6mx，mR（）若m=2，写出函数f（x）的单调递增区间；（）若对于任意的x1，1，都有f（x）4，求m的取值范围【解答】解：（）若m=2，则f（x）=2x39x2+12x，f（x）=6x218x+12=6（x23x+2）=6（x1）（x2），令f（x）0，则x1或x2，故函数f（x）的递增区间是（，1），（2，+）；（）f（x）=2x33（m+1）x2+6mx，f（x）=6（x1）（xm），当m1时，f（x）在（1，1
21、）递增，f（x）max=f（1）=3m14，故m53，1m53；当1m1时，f（x）在（1，m）递增，在（m，1）递减，f（x）max=f（m）=m3+3m24，即m33m2+40，（m+1）（m2）20恒成立，1m1；当m1时，f（x）在（1，1）递减，f（x）max=f（1）=9m54，综上，m的范围是1m5318已知函数f（x）=2ex+3x22x+1+b，xR的图象在x=0处的切线方程为y=ax+2（1）求函数f（x）的单调区间与极值；（2）若存在实数x，使得f（x）=2x23x22k0成立，求整数k的最小值【解答】解：（1）f（x）=2ex+6x2，因为f（0）=a，所以a=0，易得
22、切点（0，2），所以b=1易知函数f（x）在R上单调递增，且f（0）=0则当x0时，f（x）0；当x0时，f（x）0所以函数f（x）的单调递减区间为（，0）；单调递增区间为（0，+）所以函数f（x）在x=0处取得极小值f（0）=2无极大值（2）由（1）得f（x）=2ex+3x22x，存在实数x，使得f（x）=2x23x22k0成立ex+12x252x1k0，则kex+12x252x1，令h（x）=ex+12x252x1，若存在实数x，使得不等式成立，则kh（x）min，h（x）=ex+x52，易知h（x）在R上单调递增， 又h（0）=320，h（1）=e320，h（34）=e34742.563
23、474=163274=512125742740，由exx+1，当且x=0时取等号，则h（x）=ex+x522x320，则x34，所以存在唯一的x0（12，34），使得h（x0）=0，且当x（，x0）时，h（x0）0；当x（x0，+）时，h（x）0所以h（x）在（，x0）上单调递减，在（x0，+）上单调递增，h（x）min=h（x0）=ex0+x02-x0-1，又h（x0）=0，即ex0+x052=0，所以ex0=52x0，所以h（x0）=52x0+12x0252x01=12（x027x0+3），因为x0（12，34），所以h（x0）（2732，18），则kh（x0），又kZ，所以k的最小值为0