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1、考点33 直线的位置关系（1）能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.（2）能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.（3）掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.一、两条直线的位置关系斜截式一般式与相交 与垂直与平行且或与重合且注意：（1）当两条直线平行时，不要忘记它们的斜率不存在时的情况；（2）当两条直线垂直时，不要忘记一条直线的斜率不存在、另一条直线的斜率为零的情况二、两条直线的交点对于直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，与的交点坐标就是方程组的解（1）方程组有唯一解与相交，交点坐标就是方程组的解；（2）方程组无解；（3）方程组有无
2、数解与重合三、距离问题（1）平面上任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离|P1P2|（2）点P0(x0，y0)到直线l：AxByC0的距离d（3）两条平行线AxByC10与AxByC20(C1C2)间的距离d四、对称问题（1）中心对称：点为点与的中点，中点坐标公式为（2）轴对称：若点关于直线l的对称点为，则考向一 两直线平行与垂直的判断及应用由两直线平行或垂直求参数的值：在解这类问题时，一定要“前思后想”.“前思”就是在解题前考虑斜率不存在的可能性，是否需要分情况讨论；“后想”就是在解题后，检验答案的正确性，看是否出现增解或漏解.典例1 已知直线经过，两点，直线的倾斜角为，那么
3、与A垂直B平行C重合D相交但不垂直【答案】A【解析】直线经过，两点，直线的斜率：，直线的倾斜角为，直线的斜率，.故选A.典例2 若直线与直线互相平行，则的值为A4BC5D【答案】C【解析】直线的斜率为，在纵轴上的截距为，因此若直线与直线互相平行，则一定有直线的斜率为，在纵轴上的截距不等于，于是有且，解得，故选C【名师点睛】本题主要考查两直线平行的充要条件，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属于简单题.直接根据两直线平行的充要条件，列出关于的方程求解即可.1“”是“直线和直线垂直”的A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件2已知直线，（1）若，求实数的值；（2）当时，
4、求过直线与的交点，且与原点的距离为1的直线的方程.考向二 两直线的相交问题1两直线交点的求法求两直线的交点坐标，就是解由两直线方程组成的方程组，以方程组的解为点的坐标，即交点的坐标.2求过两直线交点的直线方程的方法求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程.也可借助直线系方程，利用待定系数法求出直线方程，这样能简化解题过程.典例3 已知直线l经过直线2x-y-3=0和4x-3y-5=0的交点P，且垂直于直线2x+3y+5=0，求直线l的方程.【解析】方法一：由,解得x=2y=1,即点P的坐标为(2,1),因为直线l与直线2x+3y+5=0垂直,所以直线
5、l的斜率为,由点斜式得直线l的方程为3x-2y-4=0.方法二：由,解得x=2y=1,即点P的坐标为(2,1)，因为直线l与直线2x+3y+5=0垂直，所以可设直线l的方程为3x-2y+c=0，把点P的坐标代入得3×2-2×1+c=0，解得c=-4.故直线l的方程为3x-2y-4=0.方法三：直线l的方程可设为2x-y-3+(4x-3y-5)=0(其中为常数),即(2+4)x-(1+3)y-5-3=0,因为直线l与直线2x+3y+5=0垂直,所以·(-)=-1,解得=1.故直线l的方程为3x-2y-4=0.3当为何值时，直线与直线的交点在第一象限？考向三 距离问题
6、1.求两点间的距离，关键是确定两点的坐标，然后代入公式即可，一般用来判断三角形的形状等.2.解决点到直线的距离有关的问题，应熟记点到直线的距离公式，若已知点到直线的距离求直线方程，一般考虑待定斜率法，此时必须讨论斜率是否存在.3.求两条平行线间的距离，要先将直线方程中x，y的对应项系数转化成相等的形式，再利用距离公式求解.也可以转化成点到直线的距离问题.典例4 （1）若点A(2，3)，B(4，5)到直线l的距离相等，且直线l过点P(1,2)，则直线l的方程为_；（2）若直线m被两直线l1：xy10与l2：xy30所截得的线段的长为，则直线m的倾斜角( 为锐角)为_ 【答案】（1）x3y50或x
7、1；（2）15°或75°【解析】（1）方法一：当直线l的斜率不存在时，直线l：x1，点A，B到直线l的距离相等，符合题意当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y2k(x1)，即kxyk20由题意知，即|3k1|3k3|，解得k直线l的方程为y2(x1)，即x3y50综上，直线l的方程为x3y50或x1方法二：当ABl时，有klkAB，直线l的方程为y2(x1)，即x3y50当l过AB的中点时，由AB的中点为(1,4)，得直线l的方程为x1综上，直线l的方程为x3y50或x1（2）显然直线l1l2，直线l1，l2之间的距离，设直线m与l1，l2分别相交于点B，A，则|AB|=
8、，过点A作直线l垂直于直线l1，垂足为C，则|AC|=d=，在中，sinABC=，所以ABC=30°，又直线l1的倾斜角为45°，所以直线m的倾斜角为45°30°=15°或45°+30°=75°，故直线m的倾斜角 =15°或75°4若直线与平行，则两直线间的距离为ABCD5已知点,点在直线上运动当最小时，点的坐标是ABCD考向四 对称问题解决对称问题要抓住以下两点：（1）已知点与对称点的连线与对称轴垂直；（2）以已知点和对称点为端点的线段的中点在对称轴上典例5 已知直线l:3x-y+3=0,求:
9、（1）点P(4,5)关于直线l的对称点的坐标;（2）直线x-y-2=0关于直线l对称的直线方程.【解析】设P(x,y)关于直线l:3x-y+3=0的对称点为P'(x',y').kPP'·kl=1，·3=-1，又PP'的中点在直线3x-y+3=0上，3·-+3=0.联立，解得.（1）把x=4,y=5代入,得x'=-2,y'=7,P(4,5)关于直线l的对称点P'的坐标为(-2,7).（2）用分别代换x-y-2=0中的x,y，得关于l对称的直线方程为，即7x+y+22=0.6与直线关于轴对称的直线方程为A
10、BCD7已知点为直线上任意一点，则的取值范围是ABCD考向五 直线过定点问题求解含有参数的直线过定点问题，有两种方法：（1）任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解.（2）分项整理，含参数的并为一项，不含参数的并为一项，整理成等号右边为零的形式，然后令含参数的项和不含参数的项分别为零，解方程组所得的解即为所求定点.典例6 求证：不论m取什么实数，直线(2m1)x(m3)y(m11)0都经过一个定点，并求出这个定点的坐标【答案】详见解析.【解析】证法一：对于方程(2m1)x(m3)y(m11)0，令m0，得x3y11
11、0；令m1，得x4y100.解方程组得两直线的交点为(2，3)将点(2，3)代入已知直线方程左边，得(2m1)×2(m3)×(3)(m11)4m23m9m110.这表明不论m为什么实数，所给直线均经过定点(2，3)证法二：以m为未知数，整理为(2xy1)m(x3y11)0.由于m取值的任意性，所以，解得x2，y3.所以所给的直线不论m取什么实数，都经过定点(2，3)8已知点，点，直线l：（其中）（1）求直线l所经过的定点P的坐标；（2）若分别过A，B且斜率为的两条平行直线截直线l所得线段的长为，求直线的方程1过两直线3xy1=0与x2y7=0的交点且与第一条直线垂直的直线方
12、程是Ax3y7=0 Bx3y13=0C3xy7=0 D3xy5=02过点和点的直线与过点和点的直线的位置关系是A平行B重合C平行或重合D相交或重合3在平面直角坐标系内有两个点，若在轴上存在点，使，则点的坐标是ABCD或4直线与直线垂直，垂足为，则A BC D5若点到直线的距离为，则A BC D6若直线l1:y=k(x4)与直线l2关于点(2,1)对称,则直线l2过定点 A(0,4)B(0,2)C(2,4)D(4,2)7点P（-3，4）关于直线x+y-2=0的对称点Q的坐标是ABCD8若三条直线，相交于同一点，则点到原点的距离的最小值为ABCD9设直线与直线的交点为，分别为上任意两点，点为的中点
13、，若，则的值为A BC D10设两条直线的方程分别为，已知a，b是方程的两个实根，且，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是A， B，C， D，11已知点P(m,n)到点A(0,4)和B(-8,0)的距离相等,则(14)m+(12)n的最小值为A-3B3C16D412已知三条直线，不能构成三角形，则实数的取值集合为A BC D13已知直线：恒过点，直线：上有一动点，点的坐标为.当取得最小值时，点的坐标为ABCD14若直线2x+ay-7=0与直线(a-3)x+y+4=0互相垂直，则实数a=
14、60; .15若直线与直线关于直线对称，则直线恒过定点_16已知实数x，y满足5x12y60，则x2 y2的最小值等于_.17一张坐标纸对折一次后，点与点重叠，若点与点重叠，则_18设是函数图象上的动点，当点到直线的距离最小时，_.19一条光线从)发出，到轴上的点后，经轴反射通过点，则反射光线所在直线的斜率为_20已知l1,l2是分别经过A(2,1),B(0,2)两点的两条平行直线,当l1,l2之间的距离最大时,直线l1的方程是 .21已知直线l1:x-2y+4=0与l2:x+y-2=0
15、相交于点P（1）求交点P的坐标；（2）设直线l3:3x-4y+5=0，分别求过点P且与直线l3平行和垂直的直线方程.22已知直线l1:ax+3y+1=0,l2:x+(a-2)y+a=0.（1）若l1l2，求实数a的值；（2）当l1/l2时，求直线l1与l2之间的距离.23在中，边上的高所在的直线方程为，边上中线所在的直线方程为.（1）求点的坐标；（2）求直线的方程.24光线通过点，在直线上反射，反射光线经过点.（1）求点关于直线对称点的坐标；（2）求反射光线所在直线的一般式方程25已知直线，点.求：（1）直线关于直线的对称直线的方程；（2）直线关于点对称的直线的方程.26已知两条直线l1:ax
16、-by+4=0和l2:(a-1)x+y-b=0.（1）若l1l2,且l1过点(-3,-1),求实数a,b的值.（2）是否存在实数a,b,使得l1l2,且坐标原点到这两条直线的距离相等?并说明理由.27已知三条直线l1:2xy+a=0(a>0)，直线l2:4x2y1=0和直线l3:x+y1=0，且l1和l2的距离是.（1）求a的值.（2）能否找到一点P，使得P点同时满足下列三个条件：P是第一象限的点；P点到l1的距离是P点到l2的距离的；P点到l1的距离与P点到l3的距离之比是?若能，求出P点坐标；若不能，请说明理由.变式拓展1【答案】A【解析】当时，直线的斜率为，直线的斜率为，则两直线垂
17、直；当时，两直线也垂直，所以“”是“直线和直线垂直”的充分不必要条件，故选A.【名师点睛】本题主要考查充分条件与必要条件，两条直线垂直与斜率的关系，属于简单题.对直线位置关系的考查是热点命题方向之一，这类问题以简单题为主，主要考查两直线垂直与两直线平行两种特殊关系：在斜率存在的前提下，（1）；（2），这类问题尽管简单却容易出错，特别是容易遗忘斜率不存在的情况，这一点一定不能掉以轻心.2【解析】（1）因为，所以，故.（2）当时，即时，直线与的交点的坐标为，设过交点的直线为（当直线的斜率不存在时显然不满足距离为1的条件），根据点到直线的距离公式有：，解得.所以直线的方程为.3【解析】由得，即两直线
18、的交点坐标为，解得：.4【答案】C【解析】由可得，解得，所以，则两条平行直线与间的距离故选C5【答案】B【解析】因为点在直线上运动，所以设点的坐标为，由两点间的距离公式可知：，显然时，有最小值，最小值为，此时点的坐标是，故选B6【答案】A【解析】设对称直线上的点为，则其关于轴的对称点在直线上，所以，即，故选A7【答案】A【解析】当为坐标原点时，此时，为最小值.设关于对称的点为，则：，解得，此时，又，得直线平行于，可知必构成三角形，即，综上所述：.故选A.8【解析】（1）直线方程可化为：，由解得即直线l过定点.（2）由平行线的斜率为得其倾斜角为，又水平线段，所以两平行线间的距离为，而直线被截线段
19、长为，所以被截线段与平行线所成的夹角为，即直线与两平行线所成的夹角为，所以直线的倾斜角为或由（1），知直线l过定点，则所求直线为或【名师点睛】本题考查了直线方程过定点问题，平行线间的距离及夹角问题，主要是依据图象判断各条直线的位置关系，属于中档题.（1）根据直线过定点，化简直线方程，得到关于的表达式，令系数与常数分别为0即可求得过定点的坐标.（2）根据平行线间的距离公式，求得平行线间的距离；由倾斜角与直线的夹角关系，求得直线的方程.考点冲关1【答案】B【解析】由，得，即交点为(1,4)第一条直线的斜率为3，且与所求直线垂直，所求直线的斜率为.由点斜式方程得所求直线方程是y4=(x1)，即x3y
20、13=0.2【答案】C【解析】由题意知：，当时，与没有公共点，当时，与有公共点，与重合，与平行或重合.故选C.3【答案】D【解析】设，则，则，则：，解得：或，点的坐标为或.故选D.4【答案】B【解析】直线与直线垂直，直线即为将点的坐标代入上式可得，解得将点的坐标代入方程得，解得故选B【名师点睛】本题考查两直线的位置关系及其应用，考查学生的应用意识及运算能力，解题的关键是灵活运用所学知识解题，即明确点是两直线的交点根据两直线垂直可得，然后将点的坐标代入直线可得，同理可得，于是可得的值5【答案】B【解析】由题意得.故选B.6【答案】B【解析】因为直线l1:y=k(x4)过定点(4,0)，所以原问题
21、转化为求(4,0)关于(2,1)的对称点.设直线l2过定点(x,y)，则，解得x=0,y=2.故直线l2过定点(0,2).7【答案】B【解析】设点P（-3，4）关于直线l：x+y-2=0的对称点Q的坐标为(x,y)，可得PQ中点的坐标为（），利用对称性可得：，且，解得：，y=5，点Q的坐标为（-2，5）.故选B8【答案】A【解析】联立，解得，三条直线，相交于同一点，则点到原点的距离的最小值为原点到直线的距离故选A9【答案】A【解析】根据题意画出图形，如图所示：直线与直线的交点为，为的中点，若，则即解得故选A10【答案】A【解析】是方程的两个实根，两条直线之间的距离，两条直线之间的距离的最大值和
22、最小值分别为，.故选A.【名师点睛】本题考查了平行线之间的距离的求法，函数的最值的求法，考查了计算能力，注意之间的关系，利用其关系进行转化，属于中档题.11【答案】C【解析】因为点P(m,n)到点A(0,4)和B(-8,0)的距离相等,所以m2+(n-4)2=(m+8)2+n2,即2m+n=-6,又(14)m>0,(12)n>0,所以(14)m+(12)n2(14)m·(12)n=2(12)2m+n=2(12)-6=16,当且仅当2m+n=-6(14)m=(12)n,即2m=n=-3时取等号.12【答案】D【解析】因为三条直线，不能构成三角形，所以直线与或平行，或者直线过
23、与的交点，直线与，分别平行时，或，直线过与的交点时，所以实数的取值集合为.故选D.13【答案】C【解析】直线：，即，令，求得，可得该直线恒过点.直线：上有一动点，点的坐标为，故、都在直线：的上方点关于直线：的对称点为，则直线的方程为，即.联立，求得，可得当取得最小值时，点的坐标为故选C14【答案】2【解析】由题得，2(a-3)+a×1=0,解得a=2.故答案为2.15【答案】【解析】直线经过定点，点关于直线对称的点为，点在直线上，即直线恒过定点，故答案为.16【答案】【解析】因为实数x，y满足5x12y60，所以x2 y2表示原点到直线5x12y60上点的距离所以x2 y2的最小值表
24、示原点到直线5x12y60的距离容易计算，即所求x2 y2的最小值为601317【答案】 【解析】设线段的中点为，则点，则对折后,对折直线l的方程为;设直线的方程为，点在直线上，则直线的方程为;设直线与直线的交点为则解方程组得.即，则，.18【答案】【解析】是函数图象上的动点，则点到直线的距离为 当时，取得最小值故答案为【名师点睛】本题考查了点到直线的距离公式应用问题，是基础题由点到直线的距离公式求得的关系式，从而求得距离最小时n的值19【答案】2【解析】如图所示：作点关于轴的对称点，则点在直线上，由对称性可知，则光线所在直线的斜率，故答案为.【名师点睛】本题考查的是反射定律，以镜面反射为背景
25、的问题，实质就是对称问题，求解这类问题一般要转化为求对称点的问题，判断点在直线上，是解题的关键.20【答案】2x-y-3=0【解析】由平面几何知识,得当l1AB时,l1,l2之间的距离最大.A(2,1),B(0,2),kAB=-12,kl1=2.则直线l1的方程是y-1=2(x-2),即2x-y-3=0.21【解析】（1）由 x-2y+4=0x+y-2=0 ，得x=0y=2 ， P(0,2).（2）与l3平行直线方程y-2=34x，即3x-4y+8=0.与l3垂直的直线方程y-2=-43x，即4x+3y-6=0.22【解析】（1）由l1l2知a+3(a-2)=0
26、，解得a=32.（2）当时，有a(a-2)-3=03a-(a-2)0,解得a=3，l1:3x+3y+1=0,l2:x+y+3=0，即l2:3x+3y+9=0，所求距离为d=|9-1|32+32=423.【名师点睛】本题考查直线与直线之间的位置关系.解答本题时要注意：（1）利用直线垂直，结合斜率之间的关系，建立方程，求解实数的值；（2）利用直线平行，确定参数的值，利用平行直线之间的距离公式，求值计算.23【解析】（1）边上的高为，故直线的斜率为， 所以直线的方程为，即， 因为直线的方程为，所以 解得，所以.（2）设，由为中点，得的坐标为，则，解得， 所以，又因为，所以直线的方程为，即直线的方程为
27、.24【解析】（1）设点关于直线l的对称点为，则，解得，即点关于直线l的对称点为 （2）由于反射光线所在直线经过点和，所以反射光线所在直线的方程为即.25【解析】（1）在直线上取一点，则关于直线的对称点必在上.设对称点为，则解得.设与的交点为，则由得.又经过点，由两点式得直线的方程为.（2）设为上任意一点，则关于点的对称点为.在直线上，即.故直线的方程为.26【解析】（1）由已知可得l2的斜率存在,为k2=1-a.若k2=0,则1-a=0,a=1.l1l2,直线l1的斜率必不存在,即b=0.又l1过点(-3,-1),-3a+4=0,即a=43(矛盾).此种情况不存在,k20,直线l1的斜率存在
28、,设为k1.k2=1-a,k1=ab,l1l2,k1k2=-1,即ab(1-a)=-1.又l1过点(-3,-1),-3a+b+4=0.由联立,解得a=2,b=2.（2）不存在,理由如下:l2的斜率存在,l1l2,直线l1的斜率存在.又坐标原点到这两条直线的距离相等,l1,l2在y轴上的截距互为相反数,即4b=-b,该方程无实数解.不存在满足条件的实数a,b，使得l1l2,且坐标原点到这两条直线的距离相等.27【解析】（1）l2的方程即为，l1和l2的距离d=，.a>0,a=3.（2）设点P(x0,y0)，若P点满足条件，则P点在与l1和l2平行的直线l:2xy+c=0上，且,即c=或c=.2x0y0+或2x0y0+.若点P满足条件，由点到直线的距离公式，x02y0+4=0或3x0+2=0.由P在第一象限，3x0+2=0不合题意.联立方程2x0y0+和x02y0+4=0，解得x0=3,y0=,应舍去.由2x0y0+与x02y0+4=0联立，解得x0=,y0=.所以P()即为同时满足三个条件的点.【名师点睛】本题考查了直线与直线的平行关系、平行线间的距离、点到直线的距离等，关键计算量比较大，注意不要算错，属于中档题.（1）根据两条直线是平行关系，利用两条平行线的距离公式即可求得a的值.（2）根据点到直线的距离公式，讨论当P点满足与两种条件下求得参数的取值，并注意最后结果的取舍.