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1、第3讲简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1.简单的逻辑联结词命题中的、叫作逻辑联结词,分别表示为、. 2.全称量词与存在量词(1)短语“对所有的”“对任意一个”在逻辑中通常叫作,用符号“”表示. (2)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫作,用符号“”表示. (3)含有一个量词的命题的否定:全称命题p:xM,p(x),它的否定是. 特称命题q:x0M,q(x0),它的否定是. 常用结论1.否命题是把原命题的条件与结论都否定,命题的否定只需否定命题的结论.2.记忆口诀:(1)“p或q”,有真则真;(2)“p且q”,有假则假;(3)“非p
2、”,真假相反.3.命题pq的否定是(p)(q);命题pq的否定是(p)(q).题组一常识题1.教材改编 命题p:xR,x2+10,命题q:函数y=ax2+x的图像是抛物线,则pq是命题,p(q)是命题,(p)(q)是命题,(p)(q)是命题.(以上各空填“真”或“假”) 2.教材改编 命题“x0R,log2x0+2<0”的否定是. 3.教材改编 命题“表面积相等的三棱锥体积也相等”的否定是.
3、 4.教材改编 在一次驾照考试中,甲、乙两名学员各试驾一次.设p是“甲试驾成功”,q是“乙试驾成功”,则“两名学员至少有一人没有试驾成功”可表示为. 题组二常错题索引:全称命题或特称命题的否定出错;不会利用真值表判断命题的真假;复合命题的否定中出现逻辑联结词错误;判断命题真假时忽视对参数的讨论.5.命题“所有奇数的立方都是奇数”的否定是 . 6.已知命题p:所有有理数都是实数,命题q:正数的对数都是负数,则下列命题中为真命题的是.(填序号) (p)q;pq;(p)(q);(Л
4、729;p)(q).7.已知命题“若ab=0,则a=0或b=0”,则其否命题为. 8.已知p:xR,ax2+4x+1>0,则p:.若p是假命题,则实数a的取值范围是. 探究点一含逻辑联结词的命题及其真假例1 (1)在一次射击训练中,甲、乙两位运动员各射击一次.设命题p是“甲击中目标”,q是“乙击中目标”,则命题“两位运动员都没有击中目标”可表示为()A.(p)(q)B.p(q)C.pqD.(p)(q)(2)2018·福建
5、三明5月质检 已知函数f(x)=cos2x+3.命题p:f(x)的图像关于点-12,0对称,命题q:f(x)在区间-6,0上为减函数,则()A.pq为真命题B.(p)q为假命题C.pq为真命题D.(p)q为假命题 总结反思 判断含有逻辑联结词的命题真假的一般步骤:(1)判断复合命题的结构;(2)判断构成复合命题的每个简单命题的真假;(3)依据“或:一真即真;且:一假即假;非:真假相反”作出判断即可.变式题 (1)2018·太原三模 设命题p:函数y=sin 2x的最小正周期为,命题q:函数y=cos x的图像关于直线x=2
6、对称,则下列结论正确的是()A.p为假命题B.q为假命题C.pq为假命题D.pq为假命题(2)已知命题p:方程ex-1=0有实数根,命题q:不等式x2-x+10有解,则pq,pq,(p)q,p(q)这四个命题中真命题的个数为()A.1B.2C.3D.4探究点二全称命题与特称命题例2 (1)命题p:对任意xR,都存在m>1,使得mx>ex成立,则p为()A.对任意xR,都存在m>1,使得mxex成立B.对任意xR,不存在m>1,使得mx>ex成立C.存在x0R,对任意m>1,都有m
7、x0ex0成立D.存在x0R,对任意m>1,都有mx0>ex0成立(2)2018·大同质检 下列说法正确的是()A.命题“x0R且x01,1x0-1<0”的否定是“xR,1x-10”B.x>0,ln(x+1)>0C.R,函数f(x)=sin(2x+)都不是偶函数D.xR,2x>x2 总结反思 (1)全称命题与特称命题的否定:改写量词:确定命题所含量词的类型,省去量词的要结合命题的含义加上量词,再对量词进行改写.否定结论:对原命题的结论进行否定.(2)全称命题与特称命题真假的判断方法:命题名称真假判断方法一判断方法二全称命题真所
8、有对象使命题真否定为假假存在一个对象使命题假否定为真特称命题真存在一个对象使命题真否定为假变式题 2018·西安质检 已知命题p:x0R,log2(3x0+1)0,则()A.p是假命题;p:xR,log2(3x+1)0B.p是假命题;p:xR,log2(3x+1)>0C.p是真命题;p:xR,log2(3x+1)0D.p是真命题;p:xR,log2(3x+1)>0探究点三根据命题的真假求参数的取值范围例3 (1)已知命题p:x01,e,ln x0-a0,若p是真命题,则实数
9、a的取值范围是()A.(-,0)B.(0,1)C.(1,e)D.(1,+)(2)已知命题p:x0R,mx02+10,命题q:xR,x2+mx+1>0,若pq为真命题,则实数m的取值范围是()A.(-,-2)B.-2,0)C.(0,2)D.(-2,0) 总结反思 根据命题真假求参数的方法步骤:(1)根据题目条件,推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况);(2)求出每个命题是真命题时参数的取值范围;(3)根据每个命题的真假情况,求出参数的取值范围.变式题 (1)若命题“x(0,+),x+1xm”是假命题,则实数m的取值范围是. (2)设p:x
10、01,52,g(x0)=log2(tx02+2x0-2)有意义,若p为假命题,则t的取值范围为. 第3讲简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词考试说明 1.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义;2.理解全称量词与存在量词的意义;3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.【课前双基巩固】知识聚焦1.“且”“或”“非”2.(1)全称量词(2)存在量词(3)x0M,p(x0)xM,q(x)对点演练1.真真真假解析 命题p是真命题,当a=0时,函数图像是直线,所以命题q是假命题,所以p是假命题
11、,q是真命题,所以pq是真命题,p(q)是真命题,(p)(q)是真命题,(p)(q)是假命题.2.xR,log2x+20解析 这是一个特称命题,特称命题的否定是全称命题,将存在量词改为全称量词,再将结论否定,所以命题的否定是“xR,log2x+20”.3.有些表面积相等的三棱锥体积不相等解析 命题为全称命题,即“所有表面积相等的三棱锥体积相等”,所以其否定是“有些表面积相等的三棱锥体积不相等”.4.(p)(q)解析
12、p:甲没有试驾成功,q:乙没有试驾成功,所以“两名学员至少有一人没有试驾成功”可表示为(p)(q).5.“存在一个奇数,它的立方不是奇数”解析 利用全称命题的否定是特称命题即可得出.6.解析 显然命题p为真命题,命题q为假命题,从而只有(p)(q)为真命题.7.若ab0,则a0且b08.x0R,ax02+4x0+10(-,4解析 根据全称命题的否定为特称命题,得p:x0R,ax02+4x0+10.若p为假命题,则p是真命题,所以a0或a>0,=16-
13、4a0,解得a0或0<a4,所以a4.【课堂考点探究】例1思路点拨 (1)两位运动员都没有击中目标,即甲、乙都没有击中目标;(2)由题意首先确定命题p和q的真假,然后逐一判断所给选项的真假即可求得最终结果.(1)D(2)C解析 (1)由题意可得,命题p:甲没有击中目标,q:乙没有击中目标,所以两位运动员都没有击中目标可表示为(p)(q).故选D.(2)结合函数的解析式可得f-12=cos2×-12+3=cos60, 则f(x)的图像不关于点-12,0对称,命题p是假命题,则p是真
14、命题.x-6,0,则2x+30,3,故函数f(x)在区间-6,0上为减函数,命题q是真命题.故pq为假命题,(p)q为真命题,pq为真命题,(p)q为真命题,故选C.变式题(1)D(2)B解析 (1)易知命题p是真命题,命题q是假命题,所以pq是假命题,故选D.(2)e0-1=0,x=0是方程ex-1=0的根,故命题p为真命题.x2-x+1=x-122+34>0恒成立,所以命题q为假命题.根据复合命题真假性的判断可得,pq为假,pq为真,(p)q为假,p(q)为真,即真命题的个数为2,故选B.例2思路点拨 (
15、1)直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可;(2)逐一判断,如不正确可以举一反例.(1)C(2)B解析 (1)全称命题的否定是特称命题,命题“对任意xR,都存在m>1,使得mx>ex成立”的否定是“存在x0R,对任意m>1,都有mx0ex0成立”.故选C.(2)命题“x0R且x01,1x0-1<0”的否定是“xR且x1,1x-10”,所以A错;当x>0时,x+1>1,所以ln(x+1)>0,所以B正确;当=2时,f(x)=cos 2x为偶函数,所以C错;当x=-2时,2x>x2不成立,所以D错.变式题B解析 因为3x+1>1,所以lo
16、g2(3x+1)>0恒成立,所以命题p是假命题.p:xR,log2(3x+1)>0,所以选B.例3思路点拨 (1)若p是真命题,则p是假命题,求出a的取值范围即可;(2)据pq为真得到p,q全真,利用不等式的性质及不等式恒成立得到m的取值范围.(1)D(2)D解析 (1)若p是真命题,则p是假命题,即ln x-a<0在1,e上恒成立,即a>ln x在1,e上恒成立,a>1.(2)pq为真命题,p,q全真.若p真,则m<0;若q真,则m2-4<0,解得-2<m<2.m的取值范围为(-
17、2,0).变式题(1)(2,+)(2)t>-12解析 (1)由题意得,命题“x0(0,+),x0+1x0<m”是真命题.x(0,+)时,x+1x2,m(2,+).(2)若p为假命题,则p为真命题.因此不等式tx2+2x-2>0有属于1,52的解,即t>2x2-2x有属于1,52的解,又1<x<52时,25<1x<1,所以2x2-2x=21x-122-12-12,0.故t>-12.【备选理由】 例1考查含有逻辑联结词的命题的真假的判断;例2考查对含有量词的命题的否定;例3是根据命题的真假求参数的取值范围问题.例1配合例1使
18、用 2018·威海二模 已知命题p:a>b,|a|>|b|,命题q:x0<0,2x0>0,则下列为真命题的是()A.pqB.(p)(q)C.pqD.p(q) 解析 C对于命题p,当a=0,b=-1时,0>-1,但是|a|=0,|b|=1,|a|<|b|,所以命题p是假命题.对于命题q,如x0=-1,2-1=12>0,所以命题q是真命题.所以pq为真命题.故答案为C.例2配合例2使用 2018·咸阳一模 已知命题p:存在x01,+),使得(log23)x0>1,则下列说
19、法正确的是()A.p:对任意x1,+),都有(log23)x<1B.p:不存在x01,+),使得(log23)x0<1C.p:对任意x1,+),都有(log23)x1D.p:对任意x(-,1),都有(log23)x1解析 C根据全称命题与特称命题的关系,可得命题p:对任意x1,+),都有(log23)x1,故选C.例3配合例3使用 已知命题p:函数f(x)=2ax2-x-1(a0)在(0,1)内恰有一个零点,命题q:函数y=x2-a在(0,+)上是减函数.若p且q为真命题,则实数a的取值范围是. 答案 (1,2解析 命题p:函数f(x)=2ax2-x-1(a0)在(0,1)内恰有一个零点,若p为真命题,则f(0)f(1)=-(2a-2)<0,解得a>1.命题q:函数y=x2-a在(0,+)上是减函数,若q为真命题,则2-a<0,解得a>2.p且q为真命题,p与q都为真命题,a>1,a2,1<a2,则实数a的取值范围是(1,2.8