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1、立体几何大题优练4优选例题例1如图，在三棱锥中，D为棱AB上一点，棱AC的中点E在平面PAB上的射影F在线段PD上（1）证明：平面PDE；（2）求三棱锥的体积【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）取的中点，如图：由，所以，且，又，所以，且，因为为的中点，所以，则，则，即，又E在平面PAB上的射影F在线段PD上，则平面，所以，由，平面PDE，所以平面PDE（2）由（1）可知平面，所以，又，为的中点，所以，平面，所以平面，又平面，所以，由，所以，所以，由，所以，所以，由例2如图，在三棱柱中，侧棱底面，是中点，是中点，是与的交点，点在线段上（1）求证：平面；（2）求点到平面的距离【答案】（1
2、）证明见解析；（2）【解析】（1）连接，因为是中点，是中点，且几何体为三棱柱，所以，又因为平面，平面，所以平面；又且，所以四边形是平行四边形，所以，又因为平面，平面，所以平面，且，平面，所以平面平面，又平面，所以平面（2）由（1）知平面平面，所以点到平面的距离点到平面的距离，记点到平面的距离为，因为，所以，因为，且且侧棱底面，所以，所以，又，所以，所以，所以点到平面的距离为例3如图，在等腰三角形中，满足，将沿直线折起到的位置，连接，得到如图所示的四棱锥，点满足（1）证明：平面；（2）当时，求三棱锥的体积【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）如图，在棱上取点满足，连接，且又，可得且且，四
3、边形为平行四边形，又平面，平面，平面（2）如图，分别取，的中点，连接，由题意，知，在中，在中，又，平面，平面，三棱锥的体积又，三棱锥的体积例4如图，已知三棱柱中，底面，分别为棱，的中点（1）求异面直线与所成角的大小；（2）若为线段的中点，试在图中作出过，三点的平面截该棱柱所得的多边形，并求该截面分三棱柱成两部分（较小部分与较大部分）的体积的比值【答案】（1）；（2）作图见解析，【解析】（1）连接，则为的中位线，故为所求异面直线所成的角又，且，故平面，在中，故，故异面直线与所成角的大小为（2）取中点，连接、，则，即四点共面，则梯形为所求截面的多边形连接，模拟优练1如图，四边形是边长为的菱形且，平
4、面平面，（1）求证：平面；（2）求三棱锥的体积2如图，在五面体中，四边形是边长为的正方形，平面平面（1）求证：平面；（2）求三棱锥的体积3已知四边形，现将沿边折起，使得平面平面，点在线段上，平面将三棱锥分成两部分，（1）求证：平面；（2）若为的中点，求到平面的距离4如图，已知三棱柱的底面是边长为2的正三角形，侧面为菱形，为其两对角线的交点，分别为，的中点，顶点在底面的射影为底面中心（1）求证：平面，且平面；（2）求三棱锥的体积5如图，已知点为正方形所在平面外一点，是边长为2的等边三角形，点是线段的中点，平面平面（1）证明：平面；（2）求三棱锥的体积6如图所示的五面体中，四边形是正方形，平面平面
5、，（1）证明：平面平面；（2）求三棱锥的体积7在如图所示的空间几何体中，平面平面，与均是等边三角形，和平面所成的角为，且点在平面上的射影落在的平分线上（1）求证：平面；（2）求多面体的体积参考答案1【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）四边形是边长为的菱形，又平面平面，且平面平面，平面，又平面，又，平面，平面（2）因为，平面，平面，面且平面，所以，又，2【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）证明：因为平面平面，平面平面且，所以平面，又因为平面，所以，因为，平面，平面，所以平面（2）因为，平面，平面，所以平面，所以点到平面的距离等于点到平面的距离，所以，取中点，连接，因为，平面平
6、面，所以平面，即棱锥的高为，又知，所以3【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1），即为等边三角形，由，知为中点，取中点，连接，则，平面平面，平面平面，平面，面，又，平面，平面，又，平面（2）为的中点，的边长为，由（1）知平面，又为的中点，到平面的距离为，连接由（1）知：，由（1）知，平面，面，则，设到平面的距离为，由，得，即，到平面的距离为4【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】如图所示：取的中点，连接，因为为的中点，所以，又平面，平面，所以平面，同理平面，又，所以平面平面，又平面，所以平面因为侧面为菱形，所以，则，又，所以在中，所以，因为，所以，又，且，所以平面（2）由（1）知平面，
7、所以是三棱锥的高，又，则，所以平行四边形是矩形，所以，则，则，所以5【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）证明：连接，设，连接底面是正方形，为的中点，又是线段的中点，是的中位线，平面，平面，平面（2）解：在正方形中，又平面平面，且平面平面，平面是等边三角形，且是线段的中点，6【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）取的中点，连接因为，所以是等边三角形，又因为平面平面，且平面平面，平面，所以平面，所以因为四边形是正方形，所以，所以平面，又平面，所以平面平面（2）由（1）知平面又，所以平面，因为平面，平面，可得平面，因为平面平面，平面，所以，又因为平面，平面，所以平面，所以，所以，所以三棱锥的体积为7【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】证明：（1）取中点，连接由题意，为的平分线，且，设点是点在平面上的射影，由已知得，点在上，连接，则平面平面平面，平面平面，平面，同理可得平面，又平面，和平面所成的角为，即，四边形为平行四边形，平面（2），又面，