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1、12.4随机事件的概率与概率的基本性质典例精析题型一频率与概率【例1】某企业生产的乒乓球被08年北京奥委会指定为乒乓球比赛专用球.日前有关部门对某批产品进行了抽样检测，检查结果如下表所示.抽取球数n501002005001 0002 000优等品数m45来源:921944709541 902优等品频率(1)计算表中乒乓球优等品的频率；(2)从这批乒乓球产品中任取一个，质量检查为优等品的概率是多少？(结果保留到小数点后三位)【解析】(1)依据公式，计算出表中乒乓球优等品的频率依次是0.900,0.920,0.970,0.940,0.954,0.951.(2)由(1)知，抽取的球数n不同，计算得到
2、的频率值不同，但随着抽取的球数的增多，却都在常数0.950的附近摆动，所以质量检查为优等品的概率为0.950.【点拨】从表中所给的数据可以看出，当所抽乒乓球较少时，优等品的频率波动很大，但当抽取的球数很大时，频率基本稳定在0.95，在其附近摆动，利用概率的统计定义，可估计该批乒乓球的优等率.【变式训练1】某篮球运动员在最近几场比赛中罚球的结果如下.投篮次数n8来源:101291016进球次数m6来源:897712进球频率(1)计算表中进球的频率；(2)这位运动员投篮一次，进球的概率是多少？【解析】(1)由公式计算出每场比赛该运动员罚球进球的频率依次为：(2)由(1)知，每场比赛进球的频率虽然不
3、同，但频率总在附近摆动，可知该运动员进球的概率为.题型二随机事件间的关系【例2】从一副桥牌(52张)中任取1张.判断下列每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件.(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；(3)“抽出的牌点数为3的倍数”与“抽出的牌点数大于10”.【解析】(1)是互斥事件但不是对立事件.因为“抽出红桃”与“抽出黑桃”在仅取一张时不可能同时发生，因而是互斥的.同时，不能保证其中必有一个发生，因为还可能抽出“方块”或“梅花”，因此两者不对立.(2)是互斥事件又是对立事件.因为两者不可同时发生，但其中必有一个发生.(3)不是互斥事件，更不是对立事件.因为“
4、抽出的牌点数为3的倍数”与“抽出的牌点数大于10”这两个事件有可能同时发生，如抽得12.【点拨】要区分互斥事件和对立事件的定义.【变式训练2】抽查10件产品，设事件A：至少有两件次品，则A的对立事件为()A.至多两件次品 B.至多一件次品C.至多两件正品 D.至少两件正品【解析】根据对立事件的定义得选项B.题型三概率概念的应用【例3】 甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于或等于85分为优秀，85分以下为非优秀，统计后，得到如下列联表.优秀来源:非优秀总计甲10乙30总计105已知从全部105人中随机抽取1人为优秀的概率为.(1)请完成上面列联表； (2)根据列联表的数据，若按95%的可靠性要求
5、，能否认为“成绩与班级有关系”(参考数据P(K26.635)0.05)；(3)若按下面的方法从甲班优秀的学生中抽取一人：把甲班优秀的10人按2到11进行编号，然后两次掷一枚均匀的骰子，出现的点数之和为被抽取人的编号.试求抽到6号或10号的概率.【解析】(1)优秀非优秀总计甲1045来源:55乙203050总计3075105(2)计算K2的一个观测值k6.109.因为6.1096.635，所以没有95%的把握认为成绩与班级有关.(3)记被抽取人的序号为，则P(6)，P(10)，所以P(6或10)P(6)P(10).【点拨】本题考查概率的概念在实际生活中的应用.【变式训练3】袋内有35个球，每个球
6、上都记有从135中的一个号码，设号码为n的球的重量为5n20克，这些球以等可能性从袋里取出(不受重量、号码的影响).(1)如果取出1球，试求其重量比号码数大5的概率；(2)如果任意取出2球，试求它们重量相等的概率.【解析】(1)由不等式5n20n5，得n15或n3，由题意知n1,2或者n16,17，35，于是所求概率为.(2)设第n号和第m号的两个球的重量相等，其中nm，则有5n205m20，所以(nm)(nm15)0.因为nm，所以nm15，来源:学科网所以(n，m)(1,14)，(2,13)，(7,8).故所求概率为.总结提高1.对立事件是互斥事件的一种特殊情况，是指在一次试验中有且仅有一个发生的两个事件.集合A的对立事件记作，从集合的角度来看，事件所含结果的集合正是全集U中由事件A所含结果组成集合的补集，即AU，A.对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件.事件A、B的和记作AB，表示事件A、B至少有一个发生.当A、B为互斥事件时，事件AB是由“A发生而B不发生”以及“B发生而A不发生”构成的.当计算事件A的概率P(A)比较困难时，有时计算它的对立事件的概率则要容易些，为此有P(A)1P().2.若A与B互相独立，则与，A与，与B都是相互独立事件.判断A与B是否独立的方法是看P(AB)P(A)·P(B)是否成立.