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1、2.5指数与指数函数典例精析题型一指数及其运算【例1】计算：来源:(1) ；(2)(0.027)()2(2)(1)0.【解析】(1)原式····.来源:(2)原式(1)2()2(149145.【点拨】进行指数的乘除运算时，一般先化成相同的底数.【变式训练1】已知a，b是方程9x282x90的两根，求的值.【解析】ab，ab1.原式22(ab)2.题型二指数函数性质的应用【例2】已知函数f(x)，其中xR.(1)试判断函数f(x)的奇偶性；(2)证明f(x)是R上的增函数.【解析】(1)因为函数f(x)的定义域为xR，且f(x)f(x)， 所以f(x)为R
2、上的奇函数.(2)证明：设x1，x2R，且x1x2，则f(x1)f(x2)=0，所以f(x)是R上的增函数.来源:【点拨】在讨论指数函数的性质或利用其性质解题时，要特别注意底数是大于1还是小于1，如果不能确定底数的范围应分类讨论.【变式训练2】函数y的图象大致为()来源:【解析】A.题型三指数函数的综合应用【例3】已知函数f(x)2x.(1)若f(x)2，求x的值；(2)若2tf(2t)mf(t)0对于t1,2恒成立，求实数m的取值范围.【解析】f(x)2x(1)因为f(x)2，所以2x2.因为x0，所以2x1，解得xlog2(1).(2)因为t1,2，所以2tf(2t)mf(t)0可化为2t
3、(22t)m(2t)0，即m(22t1)(24t1).来源:数理化网因为22t10，所以上式可化为m(22t1).又因为(22t1)的最大值为5，所以m5.故使得2tf(2t)mf(t)0对于t1,2恒成立的实数m的取值范围是5，).【变式训练3】已知函数f(x)|2x1|，abc，且f(a)f(c)f(b)，则下列结论中一定成立的是()A.a0，b0，c0B.a0，b0，c0C.2a2cD.2a2c2【解析】D.总结提高1.增强分类讨论的意识，对于根式的意义及其性质要分清n是奇数，还是偶数，指数函数的图象和性质与底数a的取值范围有关，研究与指数函数有关的问题时，要注意分a1与0a1两种情况讨论.2.深化概念的理解与应用，对于分数指数幂中幂指数为负数的情形，要注意底数a的取值限制.3.掌握指数函数的图象与性质，能利用数形结合的思想解决有关问题.