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1、专题四 函数讲义5.3 指数函数知识梳理.指数函数(1)根式的性质()na(a使有意义)当n是奇数时，a；当n是偶数时，|a|(2)分数指数幂的意义a(a>0，m，nN*，且n>1)a(a>0，m，nN*，且n>1)0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 (3)有理数指数幂的运算性质ar·asars(a>0，r，sQ)；ars(a>0，r，sQ)；(ar)sars(a>0，r，sQ)；(ab)rarbr(a>0，b>0，rQ) 2指数函数的概念函数yax(a>0，且a1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义
2、域是R，a是底数3指数函数yax(a>0，且a1)的图象与性质底数a>10<a<1图象性质定义域为R，值域为(0，)图象过定点(0，1)当x>0时，恒有y>1；当x<0时，恒有0<y<1当x>0时，恒有0<y<1；当x<0时，恒有y>1在定义域R上为增函数在定义域R上为减函数注意指数函数yax(a>0，且a1)的图象和性质与a的取值有关，应分a>1与0<a<1来研究题型一.比较大小1设y140.9，y280.48，y3（12）1.5，则y1，y2，y3的大小关系为（）Ay3y1y2By2
3、y1y3Cy1y2y3Dy1y3y2【解答】解：利用幂的运算性质可得，y140.921.8，y280.4821.44，y3（12）1.521.5，再由y2x是增函数，知y1y3y2故选：D2设a0.60.6，b0.61.5，c1.50.6，则a，b，c的大小关系（）AabcBacbCbacDbca【解答】解：函数y0.6x为减函数；故a0.60.6b0.61.5，函数yx0.6在（0，+）上为增函数；故a0.60.6c1.50.6，故bac，故选：C3设a（35)25，b=(25)35，c=(25)25，则a，b，c的大小关系是（）AacbBabcCcabDbca【解答】解：y=x25在x0时
4、是增函数ac又y=(25)x在x0时是减函数，所以cb故选：A4已知函数f（x）ex+ex，若af（21.1），bf（1），cf（log23），则实数a，b，c的大小关系为（）AabcBacbCcbaDbca【解答】解：函数f（x）ex+ex，为偶函数，在（0，+）上单调递增af（21.1），bf（1）f（1），cf（log23），1log23221.1则实数a，b，c的大小关系为bca故选：D题型二.指数函数的图像与性质1已知曲线yax1+1（a0且a1）过定点（k，b），若m+nb且m0，n0，则4m+1n的最小值为（）A92B9C5D52【解答】解析：定点为（1，2）m+n24m+1n=
5、12(4m+1n)(m+n)=12(5+mn+4nm)92当且仅当mn=4nm，即m=43，n=23时取得最小值92，故选：A2已知实数a、b满足等式（12）a（13）b，给出下列五个关系式：0ba；ab0；0ab；ba0；ab0，其中不可能成立的关系式有（）A1个B2个C3个D4个【解答】解：画出指数函数的图象：f(x)=(12)x，g（x）=(13)x满足等式（12）a（13）b，有0ba；ab0；ab0，三个而0ab；ba0；不可能成立故选：B3已知函数f（x）|2x1|，abc，且f（a）f（c）f（b），则下列结论中，一定成立的是（只填序号）a0，b0，c0；a0，b0，c0；2a+
6、2c2；2a2c【解答】解：作出函数f（x）的图象如图：abc，且f（a）f（c）f（b），由图象知，a0，c0，b符号不确定，故错误，错误，由f（a）f（c）得|2a1|2c1|，即2a+12c1，得2a+2c2，故正确，当a2，c=12时，f（a）=34，f（c）=21，满足f（a）f（c），但2a224，2c=2，则2a2c不成立，故错误，故正确的是，故答案为：4若函数f（x）=x2ax+a(x0)(42a)x(x0)是R上的单调函数，则实数a的取值范围是（）A0，2）B(32，2)C1，2D0，1【解答】解：根据分段函数单调性的性质若函数为单调函数，则函数只能是单调递减函数，则满足a2
7、0042a1a(42a)0，即a032a2a1，解得32a2，故选：B5设函数f（x）=12x1，x01x，x0 若f（a）1，则实数a的取值范围是a4【解答】解：当a0时，由12a11得：a4，当a0时，不等式1a1无解，综上满足f（a）1的实数a的取值范围是：a4故答案为a46若实数a，b满足2a+3a3b+2b，则下列关系式中可能成立的是（）A0ab1Bba0C1abDab【解答】解：由2a+3a3b+2b，设f（x）2x+3x，g（x）3x+2x，易知f（x），g（x）是递增函数，画出f（x），g（x）的图象如下：根据图象可知：当x0，1时，f（x）g（x），0ab1，f（a）f（b）
8、可能成立；故A正确；当ba0时，因为f（x）g（x），所以f（a）g（b）可能成立，B正确；当ab时，显然成立，当1ab时，因为f（a）g（b），所以不可能成立，故选：ABD题型三. 指数函数的定义域、值域1函数y=(12)3+2xx2的定义域为R，值域为116，+ ）【解答】解：不论函数y=(12)3+2xx2中的x取何值，函数总有意义，函数y=(12)3+2xx2的定义域为R令u3+2xx2，则y=(12)uu3+2xx2（x1）2+4，u（，4函数y=(12)u为u的减函数，且u（，4(12)u116，+），即y116，+），函数的值域为116，+），故答案为116，+）2若函数f（x）
9、ax1（a0，a1）的定义域和值域都是0，2，则实数a等于3【解答】解：当a1时，函数f（x）ax1（a0，a1）在0，2上单调递增，则f(0)=0f(2)=a21=2解得：a=3当a1时，函数f（x）ax1（a0，a1）在0，2上单调递减，则f(0)=2f(2)=0无解故a=3故答案为：33已知f（x）=3x2+2axa1的定义域为R，则实数a的取值范围是1，0【解答】解：f（x）=3x2+2axa1的定义域为R，3x2+2ax110对任意xR恒成立，即3x2+2axa1=30恒成立，即x2+2axa0对任意xR恒成立，4a2+4a0，则1a0故答案为：1，04已知函数f（x）（13）ax2
10、4x+3，若f（x）的值域是（0，+），求a的值【解答】解：由指数函数的性质知，要使yf（x）的值域是（0，+），应使h（x）ax24x+3的值域为R，若a0，h（x）为二次函数，其值域不可能为R，a的值是05若函数y=4x+a2x+1的值域为0，+），则实数a的取值范围是（，2【解答】解：设g（x）4x+a2x+1，若函数y=4x+a2x+1的值域为0，+），则等价为0，+）是g（x）值域的子集，g（x）4x+a2x+1（2x）2+a2x+1，设t2x，则t0，则函数g（x）等价为yh（t）t2+at+1，h（0）10，当对称轴t=a20，即a0时，不满足条件当t=a20，即a0时，则判别式a240，即a0a2或a2，则a2，即实数a的取值范围是（，2，故答案为：（，26若关于x的方程：9x+（4+a）3x+40有解，则实数a的取值范围为（）A（，8）0，+）B（8，4）C8，4D（，8【解答】解：a+4=32x+43x，令3xt（t0），则32x+43x=(t+4t)因为(t+4t)4，所以32x+43x4，a+44，所以a的范围为（，8故选：D