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1、合情推理、演绎、直接间接证明知识讲解一、合情推理与演绎推理1.推理 概念：根据一个或几个事实(或假设)得出一个判断，这种思维方式叫推理从结构上说，推理一般由两部分组成，一部分是已知的事实(或假设)叫做前提，一部分是由已知推出的判断，叫结论2.合情推理概念：根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出的推理叫合情理合情推理分类：1）归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理2）类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象具有的某些已知特征
2、，推出另一类对象也具有这些特征的推理，简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理3.演绎推理概念：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理叫演绎推理，简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理三段论包括：1）大前提-已知的一般原理；2）小前提-所研究的特殊情况；3）结论根据一般原理，对特殊情况作出的判断4.演绎法：概念：如果一般的命题是已经证明了的，或者是未经证明而作为真理用的，那么以这个一般命题推出的每一个特殊命题也就是正确的象这样由一般到特殊的推理方法，通常称为演绎推理或者演绎法一般模式：大前提已知的一般原理；小前提所研究的特殊情况；结论根据一般原理，对特殊情况作出的判断二、直接证明与间接证
3、明1.综合法概念：综合法是由原因推导到结果的证明方法，它是利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立的证明方法2.分析法概念：分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中，使每一步结论成立的充分条件，直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定义、公理、定理等）为止的证明方法3.反证法概念：假设原命题的结论不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，由此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的方法叫反证法；它是一种间接的证明方法证明的一般步骤：1）假设命题的结论不成立； 2）根据假设进行推理，直到推理中导出矛盾为止 ；3）断
4、言假设不成立(4) 肯定原命题的结论成立三常见结论结论：关于空间问题与平面问题的类比，通常可抓住几何要素的如下对应关系作对比： 多面体 多边形； 面 边； 体 积 面 积 ； 二面角 平面角； 面 积线段长； 典型例题一选择题（共10小题）1庙会是我国古老的传统民俗文化活动，又称“庙市”或“节场”庙会大多在春节、元宵节等节日举行庙会上有丰富多彩的文化娱乐活动，如“砸金蛋”（游玩者每次砸碎一颗金蛋，如果有奖品，则“中奖”）今年春节期间，某校甲、乙、丙、丁四位同学相约来到某庙会，每人均获得砸一颗金蛋的机会游戏开始前，甲、乙、丙、丁四位同学对游戏中奖结果进行了预测，预测结果如下：甲说：“我或乙能中奖
5、”；乙说：“丁能中奖”；丙说：“我或乙能中奖”；丁说：“甲不能中奖”游戏结束后，这四位同学中只有一位同学中奖，且只有一位同学的预测结果是正确的，则中奖的同学是（）A甲B乙C丙D丁【解答】解：由四人的预测可得下表：中奖人预测结果甲乙丙丁甲乙丙丁1）若甲中奖，仅有甲预测正确，符合题意2）若乙中奖，甲、丙、丁预测正确，不符合题意3）若丙中奖，丙、丁预测正确，不符合题意4）若丁中奖，乙、丁预测正确，不符合题意故只有当甲中奖时，仅有甲一人预测正确故选：A2观察一列数：1，2，1，3，4，7，11，以此规律，第10个数是（）A27B29C45D47【解答】解：一列数：1，2，1，3，4，7，11，可得从第
6、三个数开始，每个数都是前两个数的差所得，第8个数为18，第9个数为29，第10个数为47故选：D3“干支纪年法”是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称把干支顺序相配正好六十为一周，周而复始，循环记录，这就是俗称的“干支表”甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸十个符号叫天干；子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥十二个符号叫地支，如：公元1 984年农历为甲子年，公元1 985年农历为乙丑年，公元1 986年农历为丙寅年，则公元2032年农历为（）A乙丑年B丙寅年C辛亥年D壬子年【解答】解：从1984开始算起，公元2031年为第49个数，天干表10个为一个周期
7、，地支表12个数为一个周期，则公元2032年对应的天干为任，地支为子，故应为壬子年，故选：D4为了提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息设原信息为a1a2a3，传输信息为h1a1a2a3h2，其中h1=a1a2，h2=h1a3，运算规则为：00=0，01=1，10=1，11=0例如：原信息为111，则传输信息为01111传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息出错的是（）A01100B11010C10110D11000【解答】解：A.01100；知原信息a1a2a3=110，则h1=a1a2=11=0，h2=h1a3=00=0，传
8、输后信息应为01100故A是对的B.11010；知原信息a1a2a3=101，则h1=a1a2=10=1，h2=h1a3=11=0，传输后信息应为11010，故B是对的C.10110；知原信息a1a2a3=011，则h1=a1a2=01=1，h2=h1a3=11=0，传输后的信息为10110，故C是对的D.11000；知原信息a1a2a3=100，则h1=a1a2=10=1，h2=h1a3=10=1，传输后的信息为11001，故D是错误的故选：D5甲、乙、丙三人各买了一辆不同品牌的新汽车，汽车的品牌为奇瑞、传祺、吉利甲、乙、丙让丁猜他们三人各买的什么品牌的车，丁说：“甲买的是奇瑞，乙买的不是奇
9、瑞，丙买的不是吉利”若丁的猜测只对了一个，则甲、乙所买汽车的品牌分别是（）A吉利，奇瑞B吉利，传祺C奇瑞，吉利D奇瑞，传祺【解答】解：因为丁的猜测只对了一个，所以甲买的是奇瑞，乙买的不是奇瑞这两个都是错误的，否则甲买的不是奇瑞，乙买的不是奇瑞或者甲买的是奇瑞，乙买的是奇瑞是正确的，这与三人各买了一辆不同的品牌矛盾，丙买的不是吉利”是正确的，所以乙买的是奇瑞，甲买的是吉利，故选：A6正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，AE=12，BF=14动点P从E出发沿直线向F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞的次数为（）A3
10、B4C6D8【解答】解：根据已知中的点E，F的位置，可知入射角的正切值为12，第一次碰撞点为F，在反射的过程中，直线是平行的，利用平行关系及三角形的相似可得第二次碰撞点为G，G在DA上，且DG=14，第三次碰撞点为H，H在DC上，且DH=12，第四次碰撞点为M，M在CB上，且CM=14，第五次碰撞点为N，N在DA上，且AN=14，第六次回到E点，AE=12故需要碰撞6次即可故选：C7分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设abc，且a+b+c=0”，求证b2-ac3a”索的因应是（）Aab0Bac0C（ab）（ac）0D（ab）（ac）0【解答】解：由abc，且a+b+c=0可得 b=ac，
11、a0，c0要证b2-ac3a，只要证 （ac）2ac3a2，即证 a2ac+a2c20，即证a（ac）+（a+c）（ac）0，即证 a（ac）b（ac）0，即证（ac）（ab）0故求证“b2-ac3a”索的因应是 （ac）（ab）0，故选：C8要证明8-510-7，可选择的方法有以下几种，其中最合理的是（）A综合法B分析法C比较法D归纳法【解答】解：（1）要证85107，只要证8+710+5，即证（8+7）2（10+5）2，即证15+25615+250即证5650，即证5650，显然成立，故85107，故选：B9德国数学家科拉茨1937年提出了一个著名的猜想：任给一个正整数n，如果n是偶数，就
12、将它减半（即n2）；如果n是奇数，则将它乘3加1（即3n+1），不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1对于科拉茨猜想，目前谁也不能证明，也不能否定，现在请你研究：如果对正整数n（首项）按照上述规则施行变换后的第8项为1（注：1可以多次出现），则n的所有不同值的个数为（）A4B6C32D128【解答】解：如果正整数n按照上述规则施行变换后的第八项为1，则变换中的第7项一定是2，变换中的第6项一定是4；变换中的第5项可能是1，也可能是8；变换中的第4项可能是2，也可是16，变换中的第4项是2时，变换中的第3项是4，变换中的第2项是1或8，变换中的第1项是2或16变换中的第4项是16时，变
13、换中的第3项是32或5，变换中的第2项是64或108，变换中的第1项是128，21或20，3则n的所有可能的取值为2，3，16，20，21，128共6个，故选：B10若abc，则使1a-b+1b-cka-c恒成立的最大的正整数k为（）A2B3C4D5【解答】解：abc，ab0，bc0，ac0，且ac=ab+bc又a-ca-b+a-cb-c=a-b+b-ca-b+a-b+b-cb-c=2+b-ca-b+a-bb-c2+2=4，ka-ca-b+a-cb-c，k4，故k的最大整数为4，故选：C二解答题（共3小题）11设a，b，c都是正数，求证：bca+cab+abca+b+c【解答】证明：2（bca
14、+acb+abc）=（bca+acb）+（bca+abc）+（acb+abc）2abc2ab+2acb2ac+2bca2bc=2c+2b+2a，bca+acb+abca+b+c当且仅当a=b=c时，等号成立12设非等腰ABC的内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，且A、B、C成等差数列，用分析法证明：1a-b+1c-b=3a-b+c【解答】证明：要证明：1a-b+1c-b=3a-b+c，只要证明a+c-2b(a-b)(c-b)=3a-b+c，只要证明（a+c2b）（ab+c）=3（ab）（cb），只要证明（a+cb）2b（a+cb）=3（ac+b2bcab），只要证明b2=a2+c2ac，只要证明cosB=a2+c2-b22ac=12，只要证明B=60°，只要证明A、B、C成等差数列，故结论成立13计算：2-10.414，3-20.318；2-13-2；又计算：5-20.236，6-50.213，7-60.196，5-26-5，6-57-6（1）分析以上结论，试写出一个一般性的命题（2）判断该命题的真假，并给出证明【解答】解：（1）一般性的命题n是正整数，则n+1nn+2n+1（2）命题是真命题n+1n=1n+1+n，n+2n+1=1n+2+n+1，1n+1+n1n+2+n+1，n+1nn+2n+1