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1、专题11 解三角形 命题规律内 容典 型已知三角形中的边角求其余边角或面积2020年高考全国卷理数7利用正余弦定理解平面图形2018年高考全国理数已知三角形的边角关系或三角形的面积解三角形2018年高考全国理数以解答题形式考查利用正余弦定理解决三角形问题2019年高考全国卷理数正弦定理、余弦定理在实际问题中的应用2020年高考山东卷15命题规律一 已知三角形中的边角求其余边角或面积【解决之道】画出对应于的图形，标出已知条件，分析已知与未知，选择合适的正弦定理或余弦定理或面积公式，计算出需要计算得量.【三年高考】1.【2020年高考全国卷理数7】在中，则（ ）A B C D【答案】A【解析】在中
2、，根据余弦定理：，可得 ，即，故，故选A2.【2018年高考全国理数】在中，则（ ）ABC D【答案】A【解析】因为所以，故选A.3.【2019年高考全国卷理数】的内角的对边分别为.若，则的面积为_【答案】【解析】由余弦定理得，所以，即，解得（舍去），所以，4.【2018年高考浙江卷】在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c若，b=2，A=60°，则sin B=_，c=_【答案】，3【解析】由正弦定理得，所以由余弦定理得（负值舍去）.命题规律二 利用正余弦定理解平面图形【解决之道】求解平面图形中的计算问题，关键是梳理条件和所求问题的类型，然后将数据化归到三角形中，利用正弦定理
3、或余弦定理建立已知和所求的关系具体解题思路如下：(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解；(2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果【三年高考】1.【2019年高考浙江卷】在中，点在线段上，若，则_，_【答案】，【解析】如图，在中，由正弦定理有：，而，所以.2.【2018年高考全国理数】在平面四边形中，.（1）求；（2）若，求.【答案】（1）；（2）5.【解析】（1）在中，由正弦定理得.由题设知，所以.由题设知，所以.（2）由题设及（1）知，.在中，由余弦定理得.所以.命题规律三已知三角形的边角关系或面积解三角形【解决之道】解决此类问
4、题，若已知三角形面积，利用面积公式化为关于边角的方程式，若已知边角关系，可以利用正弦定理或余弦定理将给出的边角关系化为纯边或纯角关系，通过解方程求出边或角.【三年高考】1.【2018年高考全国理数】的内角的对边分别为，若的面积为，则（ ）ABCD【答案】C【解析】由题可知，所以，由余弦定理，得，因为，所以，故选C.命题规律四以解答题形式考查利用正余弦定理解决三角形问题【解决之道】画出对应于的图形，标出已知条件，分析已知与未知，若已知边角关系，利用正弦定理或余弦定理将其化为纯边或纯角的条件，通过解方程解出边或角，涉及到面积，利用面积公式转化条件或计算面积，遇到周长或面积问题的最值（范围）问题，通
5、常利用正弦定理或余弦定理化为某个角或边的函数问题，利用三角函数或解不等式求解，注意角或边的范围.【三年高考】1.【2019年高考全国卷理数】的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设（1）求A；（2）若，求sinC【解析】（1）由已知得，故由正弦定理得由余弦定理得因为，所以（2）由（1）知，由题设及正弦定理得，即，可得由于，所以，故2.【2019年高考全国卷理数】ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（1）求B；（2）若ABC为锐角三角形，且c=1，求ABC面积的取值范围【解析】（1）由题设及正弦定理得因为sinA0，所以由，可得，故因为，故，因此B=60°（2）由题设及
6、（1）知ABC的面积由正弦定理得由于ABC为锐角三角形，故0°<A<90°，0°<C<90°，由（1）知A+C=120°，所以30°<C<90°，故，从而因此，ABC面积的取值范围是3.【2019年高考北京卷理数】在ABC中，a=3，bc=2，cosB=（1）求b，c的值；（2）求sin（BC）的值【解析】（1）由余弦定理，得.因为，所以.解得.所以.（2）由得.由正弦定理得.在中，B是钝角，所以C为锐角.所以.所以.4.【2019年高考天津卷理数】在中，内角所对的边分别为已知，（1）求的
7、值；（2）求的值【解析】（1）在中，由正弦定理，得，又由，得，即又因为，得到，由余弦定理可得（2）由（1）可得，从而，故5.【2019年高考江苏卷】在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c（1）若a=3c，b=，cosB=，求c的值；（2）若，求的值【解析】（1）因为，由余弦定理，得，即.所以.（2）因为，由正弦定理，得，所以.从而，即，故.因为，所以，从而.因此.6.【2018年高考天津卷理数】在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知.（1）求角B的大小；（2）设a=2，c=3，求b和的值.【解析】（1）在ABC中，由正弦定理，可得，又由，得，即，可得又因为，可得B=（2）在
8、ABC中，由余弦定理及a=2，c=3，B=，有，故b=由，可得因为a<c，故因此， 所以， 7.【2018年高考北京卷理数】在ABC中，a=7，b=8，cosB=（1）求A；（2）求AC边上的高【答案】（1）；（2）【解析】（1）在ABC中，cosB=，B（，），sinB=由正弦定理得=，sinA=B（，），A（0，），A=（2）在ABC中，sinC=sin（A+B）=sinAcosB+sinBcosA=如图所示，在ABC中，sinC=，h=，AC边上的高为命题规律五 正弦定理、余弦定理在实际问题中的应用【解决之道】认真阅读题，画出图形，标出图中的已知与未知，分析已知与未知之间的联系，选
9、择正弦定理或余弦定理或相关知识求解.【三年高考】1.【2020年高考北京卷10】2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（ Day）历史上，求圆周率的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似，数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数充分大时，计算单位圆的内接正边形的周长和外切正边形（各边均与圆相切的正边形）的周长，将它们的算术平均数作为的近似值按照阿尔·卡西的方法，的近似值的表达方式是（ ）A BC D 【答案】A【解析】当时，设圆半径为，内接正六边形边长为，则，设外切正六边形边长为，则，当时，又，2.【2020年高考山东卷15】某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的
10、界面如图所示为圆孔及轮廓圆弧所在圆的圆心，是圆弧与直线的切点，是圆弧与直线的切点， 四边形为矩形，垂足为，到直线和的距离均为，圆孔半径为，则图中阴影部分的面积为 【答案】【解析】过作交于，交于，过作交于，设，由已知可得，又，解得扇形面积，设圆孔的半径为，则半圆孔的面积为，则，阴影部分面积为，面积为3.【2019年高考江苏卷】如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB（AB是圆O的直径）规划在公路l上选两个点P、Q，并修建两段直线型道路PB、QA规划要求：线段PB、QA上的所有点到点O的距离均不小于圆O的半径已知点A、B到直线l的距离分别为AC和BD（C、D为垂足
11、），测得AB=10，AC=6，BD=12（单位：百米）（1）若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；（2）在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由；（3）在规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d（单位：百米）.求当d最小时，P、Q两点间的距离【答案】（1）15（百米）；（2）见解析；（3）17+（百米）.【解析】解法一：（1）过A作，垂足为E.由已知条件得，四边形ACDE为矩形，.'因为PBAB，所以.所以.因此道路PB的长为15（百米）.（2）若P在D处，由（1）可得E在圆上，则线段BE上的点（除B，E）到点O的距离均小于圆O的半径，所以P选在D处不满足规划要求.若Q
12、在D处，连结AD，由（1）知，从而，所以BAD为锐角.所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径.因此，Q选在D处也不满足规划要求.综上，P和Q均不能选在D处.（3）先讨论点P的位置.当OBP<90°时，线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径，点P不符合规划要求；当OBP90°时，对线段PB上任意一点F，OFOB，即线段PB上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径，点P符合规划要求.设为l上一点，且，由（1）知，B=15，此时；当OBP>90°时，在中，.由上可知，d15.再讨论点Q的位置.由（2）知，要使得QA15，点Q只有位于点C的右侧，才能
13、符合规划要求.当QA=15时，.此时，线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.综上，当PBAB，点Q位于点C右侧，且CQ=时，d最小，此时P，Q两点间的距离PQ=PD+CD+CQ=17+.因此，d最小时，P，Q两点间的距离为17+（百米）.解法二：（1）如图，过O作OHl，垂足为H.以O为坐标原点，直线OH为y轴，建立平面直角坐标系.因为BD=12，AC=6，所以OH=9，直线l的方程为y=9，点A，B的纵坐标分别为3，3.因为AB为圆O的直径，AB=10，所以圆O的方程为x2+y2=25.从而A（4，3），B（4，3），直线AB的斜率为.因为PBAB，所以直线PB的斜率为，直线PB的
14、方程为.所以P（13，9），.因此道路PB的长为15（百米）.（2）若P在D处，取线段BD上一点E（4，0），则EO=4<5，所以P选在D处不满足规划要求.若Q在D处，连结AD，由（1）知D（4，9），又A（4，3），所以线段AD：.在线段AD上取点M（3，），因为，所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径.因此Q选在D处也不满足规划要求.综上，P和Q均不能选在D处.（3）先讨论点P的位置.当OBP<90°时，线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径，点P不符合规划要求；当OBP90°时，对线段PB上任意一点F，OFOB，即线段PB上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径，点P符合规划要求.设为l上一点，且，由（1）知，B=15，此时（13，9）；当OBP>90°时，在中，.由上可知，d15.再讨论点Q的位置.由（2）知，要使得QA15，点Q只有位于点C的右侧，才能符合规划要求.当QA=15时，设Q（a，9），由，得a=，所以Q（，9），此时，线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.综上，当P（13，9），Q（，9）时，d最小，此时P，Q两点间的距离.因此，d最小时，P，Q两点间的距离为（百米）.