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1、 应用基本不等式的八种变形技巧 基本不等式的一个主要功能就是求两个正变量和与积的最值， 即所谓“和定积最大， 积定和最小” 但有的题目需要利用基本不等式的变形式求最值， 有的需要对待求式作适当变形后才可求最值常见的变形技巧有以下几种： 技巧一 加上一个数或减去一个数使和或积为定值 函数 f(x)4x3x(x3)的最大值是( ) A4 B1 C5 D1 【解析】 因为 x0，所以 f(x)43x（3x）3243x （3x）31.当且仅当43x3x，即 x1 时等号成立，所以 f(x)的最大值是1. 【答案】 D 技巧二 平方后再使用基本不等式 一般地，含有根式的最值问题，首先考虑平方后求最值 若
2、 x0，y0，且 2x2y238，求 x 62y2的最大值 思路点拨 由于已知条件式中有关 x，y 的式子均为平方式，而所求式中 x 是一次的，且根号下 y 是二次的，因此考虑平方后求其最值 【解】 (x 62y2)2x2(62y2)3 2x21y2332x21y23223922.当且仅当2x21y23，即 x32，y422时，等号成立故 x 62y2的最大值为923. 技巧三 展开后求最值 对于求多项式积的形式的最值，可以考虑展开后求其最值 已知 a0，b0 且 ab2，求1a11b1 的最小值 思路点拨 由于待求式是一个积的形式，因此需将多项式展开后将积的最小值转化为和的最小值 【解】 由
3、题得1a11b1 1ab1a1b11ababab13ab1， 因为 a0， b0， ab2， 所以 22 ab， 所以 ab1， 所以1ab1.所以1a111b4(当 且仅当 ab1 时取等号)，所以1a11b1 的最小值是 4. 技巧四 变形后使用基本不等式 设 a1，b1，且 ab(ab)1，那么( ) Aab 有最小值 2( 21) Bab 有最大值( 21)2 Cab 有最大值 21 Dab 有最小值 2( 21) 【解析】 因为 ab(ab)1，ab(ab2)2， 所以ab22(ab)1，它是关于 ab 的一元二次不等式， 解得 ab2( 21)或 ab2(1 2)(舍去)， 所以
4、ab 有最小值 2( 21) 又因为 ab(ab)1，ab2 ab， 所以 ab2 ab1，它是关于 ab的一元二次不等式， 解得 ab 21 或 ab1 2(舍去)， 所以 ab32 2，即 ab 有最小值 32 2. 【答案】 A 技巧五 形如f（x）g（x）型函数变形后使用基本不等式 若 yf（x）g（x）中 f(x)的次数小于 g(x)的次数，可取倒数后求其最值 求函数 y（x5）（x2）x1(x1)的值域 思路点拨 将(x5)(x2)用(x1)来表示再变形为 f(x)AxBxC 的形式，然后运用基本不等式求解 【解】 因为 y（x5）（x2）x1x27x10 x1 （x1）25（x1
5、）4x1x14x15， 当 x10 时，即 x1 时，y2（x1）4x159(当且仅当 x1 时取等号)； 当 x10，即 x0，y0，求 xy 的最小值 【解】 法一：因为 x0，y0，所以 xy(xy) 1(xy)1x2y3yx2xy32yx2xy32 2. 当且仅当yx2xy，且1x2y1，即 x 21，y2 2时，上式等号成立故 xy 的最小值是 32 2. 法二：因为1x2y1，所以 xyy2. 因为 x0，y0，所以 y20. 所以 xyyy2yy2yy2（y2）23（y2）2y2 y22y2332 2当y22y2，即y2 2 )时取等号，此时x 21 . 求以形如或可化为axby
6、1 型为条件的 cxdy(a，b，c，d 都不为 0)的最值可利用“1”的代换求乘法本题中的条件1x2y1 也可化为 2xyxy0. 若 a，b 为常数，且 0 x1，求 f(x)a2xb21x的最小值 思路点拨 根据待求式的特征及 0 x0，1x0.又 1x(1x)，因此可考虑利用“1”的代换法 【解】 因为 0 x0. 所以a2xb21xa2x1b21x 1a2xx(1x)b21x x(1x) a2a2（1x）xb2x1xb2a2b22ab(ab)2. 上式当且仅当a2（1x）xb2x1x时，等号成立 所以a2xb21x(ab)2. 故函数 f(x)的最小值为(ab)2. 若实数 a， b
7、 满足 ab4ab10(a1)， 则(a1) (b2)的最小值是_ 思路点拨 由于所给条件式中含两个变量 a， b， 因此可以用一个变量表示另一个变量，将待求式转化为含一个变量的式子后求其最值 【解析】 因为 ab4ab10，所以 b4a1a143a1. 又因为 a1， 所以 b0.所以(a1)(b2)ab2ab26a6a196(a1)6a115. 因为 a10， 所以 6(a1)6a11526（a1）6a11527. 当且仅当 6(a1)6a1(a1)， 即 a2 时取等号 【答案】 27 已知条件含形如 axbxycyd0(abc0)型的关系式，求关于 x、y 一次式的和或积的最值问题 常
8、将关系式中 axbxycyd0变形， 用一个变量 x(或 y)表示另一个变量y(或x)后求解 技巧七 代换减元求最值 设正实数 x，y，z 满足 x23xy4y2z0，则当zxy取得最小值时，x2yz 的最大值为_ 【解析】 x23xy4y2z0zx23xy4y2， 所以zxyx23xy4y2xyxy4yx32xy4yx31. 等号成立条件为 x2y， 代入到可得 z(2y)23 2y y4y22y2， 所以 x2y，z2y2， 所以 x2yz2y2y2y2 2(y22y)2(y1)222. 【答案】 2 在含有两个以上变元的最值问题中， 通过代换的方法减少变元， 把问题化为两个变元的问题使用基本不等式，或者把问题化为一个变元的问题使用函数方法求解 技巧八 建立求解目标不等式求最值 已知 x，y 均为正实数，且 xyxy3，则 xy 的最小值为_ 【解析】 因为 x，y 均为正实数， 所以 xy2 xy，xyxy3 可化为 xy2 xy3， 即( xy3)( xy1)0， 所以 xy3，xy9， 当且仅当 xy 时，xy 取得最小值 9. 【答案】 9 利用基本不等式与已知条件建立求解目标的不等式， 求出不等式的解集即得求解目标的最值