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1、专题20圆锥曲线的综合问题 命题规律内 容典 型圆锥曲线中的弦长（面积）问题2020年高考全国卷文数21圆锥曲线中的定点问题2020年高考全国卷文数21圆锥曲线中的最值问题2020年高考浙江卷21圆锥曲线中的定值问题2020山东高考，22圆锥曲线中的取值范围问题2020上海高考,206圆锥曲线中的证明问题2018年高考全国文数命题规律一 圆锥曲线中的弦长（面积）问题【解决之道】圆锥曲线中的弦长（面积）问题，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法【三年高考】1.【2020年高考全国卷文数21】已知椭圆的离心率为，分别为的左、右顶点（1）求的方程；（2）若点在上，点在直线上，且，
2、求的面积【解析】解法一：（1）由，得，即，故的方程为（2）设点的坐标为，点的坐标为，根据对称性，只需考虑的情形，此时，有 又， 又联立、，可得，或当时，同理可得，当时，综上所述，可得的面积为解法二：（1），根据离心率，解得或(舍)，的方程为：，即（2）点在上，点在直线上，且，过点作轴垂线，交点为，设与轴交点为，根据题意画出图形，如图，又，根据三角形全等条件“”，可得：，设点为，可得点纵坐标为，将其代入，可得：，解得：或，点为或，当点为时，故，可得：点为，画出图象，如图，可求得直线的直线方程为：，根据点到直线距离公式可得到直线的距离为：，根据两点间距离公式可得：，面积为：当点为时，故，可得：点为
3、，画出图象，如图，可求得直线的直线方程为：，根据点到直线距离公式可得到直线的距离为：，根据两点间距离公式可得：，面积为：综上所述，面积为：2.【2020年高考天津卷18】已知椭圆的一个顶点为，右焦点为，且，其中为原点（）求椭圆的方程；（）已知点满足，点在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线与以为圆心的圆相切于点，且为线段的中点求直线的方程【解析】（）椭圆的一个顶点为，由，得，又由，得，所以椭圆的方程为（）直线与以为圆心的圆相切于点，所以，根据题意可知，直线和直线的斜率均存在，设直线的斜率为，则直线的方程为，即，消去，可得，解得或将代入，得，所以点的坐标为，因为为线段的中点，点的坐标为，所以点的坐标为
4、，由，得点的坐标为，所以直线的斜率为，又因为，所以，整理得，解得或所以，直线的方程为或3.【2018年高考全国卷文数】设抛物线的焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，（1）求的方程；（2）求过点，且与的准线相切的圆的方程【答案】（1）y=x1；（2）或【解析】（1）由题意得F（1，0），l的方程为y=k（x1）（k>0）设A（x1，y1），B（x2，y2）由得，故所以由题设知，解得k=1（舍去），k=1因此l的方程为y=x1（2）由（1）得AB的中点坐标为（3，2），所以AB的垂直平分线方程为，即设所求圆的圆心坐标为（x0，y0），则解得或因此所求圆的方程为或4.【2018年高考天津卷文
5、数】设椭圆的右顶点为A，上顶点为B已知椭圆的离心率为，（1）求椭圆的方程；（2）设直线与椭圆交于两点，与直线交于点M，且点P，M均在第四象限若的面积是面积的2倍，求k的值【答案】（1）；（2）【解析】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识考查用代数方法研究圆锥曲线的性质考查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力满分14分（1）设椭圆的焦距为2c，由已知得，又由，可得由，从而所以，椭圆的方程为（2）设点P的坐标为，点M的坐标为，由题意，点的坐标为由的面积是面积的2倍，可得，从而，即易知直线的方程为，由方程组消去y，可得由方程组消去，可得由，可得，两边平方，整理得，解得，或
6、当时，不合题意，舍去；当时，符合题意所以，的值为5.【2018年高考江苏卷】如图，在平面直角坐标系中，椭圆过点，焦点，圆O的直径为（1）求椭圆C及圆O的方程；（2）设直线l与圆O相切于第一象限内的点P若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；直线l与椭圆C交于两点若的面积为，求直线l的方程【答案】（1）椭圆C的方程为，圆O的方程为；（2）；【解析】（1）因为椭圆C的焦点为，可设椭圆C的方程为又点在椭圆C上，所以，解得因此椭圆C的方程为因为圆O的直径为，所以其方程为（2）设直线l与圆O相切于，则，所以直线l的方程为，即由消去y，得（*）因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点，所以因为，所以
7、因此点P的坐标为因为三角形OAB的面积为，所以，从而设，由（*）得，所以因为，所以，即，解得舍去），则，因此P的坐标为综上，直线l的方程为命题规律二 圆锥曲线中定点问题【解决之道】圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点(2)特殊到一般法，根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关【三年高考】1.【2020年高考全国卷文数21】已知分别为椭圆的左、右顶点，为的上顶点，为直线上的动点，与的另一交点为与的另一交点为（1）求的方程；（2）证明：直线过定点【解析】（1）依据题意作出如下图像：由椭
8、圆方程可得：， ，椭圆方程为：（2）证明：设，则直线的方程为：，即：，联立直线的方程与椭圆方程可得：，整理得：，解得：或，将代入直线可得：，点的坐标为，同理可得：点的坐标为，直线的方程为：，整理可得：，整理得：，故直线过定点2.【2019年高考全国卷文数】已知曲线C：y=，D为直线y=上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B（1）证明：直线AB过定点；（2）若以E(0，)为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求该圆的方程【答案】（1）见解析；（2）或.【解析】（1）设，则由于，所以切线DA的斜率为，故整理得设，同理可得故直线AB的方程为所以直线AB过定点（2）由（1）得直线A
9、B的方程为由，可得于是.设M为线段AB的中点，则由于，而，与向量平行，所以解得t=0或当=0时，=2，所求圆的方程为；当时，所求圆的方程为3.【2019年高考北京卷文数】已知椭圆的右焦点为，且经过点（1）求椭圆C的方程；（2）设O为原点，直线与椭圆C交于两个不同点P，Q，直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N，若|OM|·|ON|=2，求证：直线l经过定点【答案】（1）；（2）见解析.【解析】（1）由题意得，b2=1，c=1所以a2=b2+c2=2所以椭圆C的方程为（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），则直线AP的方程为令y=0，得点M的横坐标又，从而同理，由得则，所以
10、又，所以解得t=0，所以直线l经过定点（0，0）命题规律三 圆锥曲线中的最值问题【解决之道】圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解【三年高考】1.【2020年高考江苏卷18】在平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上且在第一象限内，直线与椭圆相交于另一点（1）求的周长；（2）在轴上任取一点，直线与椭圆的右准线相交于点，求的最小值；（3）设点在
11、椭圆上，记与的面积分别为，若，求点的坐标【解析】（1）的周长（2）由椭圆方程得，设点，则直线方程为，令得，即，即的最小值为（3）设到直线的距离为，到直线的距离为，若，则，即，由（1）可得直线方程为，即，由题意得，点应为与直线平行且距离为的直线与椭圆的交点，设平行于的直线为，与直线的距离为，即或当时，直线为，即，联立可得，即或，或当时，直线为，即，联立可得，无解综上所述，点坐标为或2.【2020年高考浙江卷21】如图，已知椭圆，抛物线，点A是椭圆与抛物线的交点，过点A的直线l交椭圆于点B，交抛物线于M（B，M不同于A）（）若，求抛物线的焦点坐标；（）若存在不过原点的直线l使M为线段AB的中点，求
12、p的最大值【解析】（）当时，的方程为，故抛物线的焦点坐标为；（）设由由M在抛物线上，由即，的最大值为，此时3.【2019年高考浙江卷】如图，已知点为抛物线的焦点，过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线上，使得的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q，且Q在点F的右侧记的面积分别为（1）求p的值及抛物线的准线方程；（2）求的最小值及此时点G的坐标【答案】（1）p=2，准线方程为x=1；（2）最小值为，此时G（2，0）【解析】（1）由题意得，即p=2.所以，抛物线的准线方程为x=1.（2）设，重心.令，则.由于直线AB过F，故直线AB方程为，代入，得，故，即，所以.又由于及重心G在x轴上，故
13、，得.所以，直线AC方程为，得.由于Q在焦点F的右侧，故.从而.令，则m>0，.当时，取得最小值，此时G（2，0）4.【2018年高考北京卷文数】已知椭圆的离心率为，焦距为.斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A，B.（1）求椭圆M的方程；（2）若，求的最大值；（3）设，直线PA与椭圆M的另一个交点为C，直线PB与椭圆M的另一个交点为D.若C,D和点共线，求k.【答案】（1）；（2）；（3）1.【解析】（1）由题意得，所以，又，所以，所以，所以椭圆的标准方程为（2）设直线的方程为，由消去可得，则，即，设，则，则，易得当时，故的最大值为（3）设，则 ， ，又，所以可设，直线的方程为，由
14、消去可得，则，即，又，代入式可得，所以，所以，同理可得故，因为三点共线，所以，将点的坐标代入化简可得，即命题规律四 圆锥曲线中的定值问题【解决之道】圆锥曲线中定值问题的特点及两大解法(1)特点：待证几何量不受动点或动线的影响而有固定的值(2)两大解法：从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；引起变量法：其解题流程为【三年高考】1.（2020山东，22）已知椭圆的离心率为，且过点（1）求的方程；（2）点，在上，且，为垂足证明：存在定点，使得为定值【解析】（1）离心率，又，把点代入椭圆方程得，解得，故椭圆的方程为（2）当直线的斜率存在时，设其方程为，联立，得，由，知，设，则，即，化简整理得，
15、或，当时，过定点，不符合题意，舍去；当时，过定点设，则，若，解得，点在以，为圆心，为半径的圆上，故存在，使得，为定值若，则直线的方程为，为定值当直线的斜率不存在时，设其方程为，且，解得或2（舍，此时，为定值综上所述，存在定点，使得为定值，且该定值为2.【2019年高考全国卷文数】已知点A，B关于坐标原点O对称，AB=4，M过点A，B且与直线x+2=0相切（1）若A在直线x+y=0上，求M的半径；（2）是否存在定点P，使得当A运动时，MAMP为定值？并说明理由【解析】（1）因为过点，所以圆心M在AB的垂直平分线上.由已知A在直线上，且关于坐标原点O对称，所以M在直线上，故可设.因为与直线x+2=
16、0相切，所以的半径为.由已知得，又，故可得，解得或.故的半径或.（2）存在定点，使得为定值.理由如下：设，由已知得的半径为.由于，故可得，化简得M的轨迹方程为.因为曲线是以点为焦点，以直线为准线的抛物线，所以.因为，所以存在满足条件的定点P.命题规律五 圆锥曲线中的取值范围问题【解决之道】解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出
17、参数的取值范围；(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围【三年高考】1.（2020上海,20）已知双曲线与圆交于点，（第一象限），曲线为、上取满足的部分（1）若，求的值；（2）当，与轴交点记作点、，是曲线上一点，且在第一象限，且，求；（3）过点斜率为的直线与曲线只有两个交点，记为、，用表示，并求的取值范围【解析】（1）由，点为曲线与曲线的交点，联立，解得，；（2）由题意可得，为曲线的两个焦点，由双曲线的定义可得，又，所以，因为，则，所以，在中，由余弦定理可得，由，可得；（3）设直线，可得原点到直线的距离，所以直线是圆的切线，设切点为，所以，并设
18、与圆联立，可得，可得，即，注意直线与双曲线的斜率为负的渐近线平行，所以只有当时，直线才能与曲线有两个交点，由，可得，所以有，解得或（舍去），因为为在上的投影可得，所以，则，2.【2018年高考浙江卷】如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y2=4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上（1）设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；（2）若P是半椭圆x2+=1(x<0)上的动点，求PAB面积的取值范围【答案】（1）见解析；（2）【解析】本题主要考查椭圆、抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查运算求解能力和综合应用能力.满分15分.（1）设，因为
19、，的中点在抛物线上，所以，为方程即的两个不同的实数根所以因此，垂直于轴（2）由（1）可知所以，因此，的面积因为，所以因此，面积的取值范围是命题规律六 圆锥曲线中的证明问题【解决之道】圆锥曲线中证明问题，常见位置关系方面的，如证明相切、垂直、过定点等；数量关系方面的，如存在定值、恒成立等在熟悉圆锥曲线的定义和性质的前提下，要多采用直接法证明，但有时也会用到反证法【三年高考】1.【2018年高考全国文数】设抛物线，点，过点的直线与交于，两点（1）当与轴垂直时，求直线的方程；（2）证明：【答案】（1）y=或；（2）见解析.【解析】（1）当l与x轴垂直时，l的方程为x=2，可得M的坐标为（2，2）或（
20、2，2）所以直线BM的方程为y=或（2）当l与x轴垂直时，AB为MN的垂直平分线，所以ABM=ABN当l与x轴不垂直时，设l的方程为，M（x1，y1），N（x2，y2），则x1>0，x2>0由得ky22y4k=0，可知y1+y2=，y1y2=4直线BM，BN的斜率之和为将，及y1+y2，y1y2的表达式代入式分子，可得所以kBM+kBN=0，可知BM，BN的倾斜角互补，所以ABM=ABN综上，ABM=ABN2.【2018年高考全国卷文数】已知斜率为的直线与椭圆交于，两点线段的中点为（1）证明：；（2）设为的右焦点，为上一点，且证明：【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】（1）设，则，两式相减，并由得由题设知，于是由题设得，故（2）由题意得F（1，0）设，则由（1）及题设得，又点P在C上，所以，从而，于是同理所以故