《2022届高三数学一轮复习（原卷版）课后限时集训57 圆锥曲线中的定点与定值问题 作业.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022届高三数学一轮复习（原卷版）课后限时集训57 圆锥曲线中的定点与定值问题 作业.doc（4页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、1 圆锥曲线中的定点与定值问题 建议用时：45 分钟 1(2019 威海模拟)已知抛物线 C：y22px(p0)的焦点为 F，直线 y4 与y 轴的交点为 P，与抛物线 C 的交点为 Q，且|QF|2|PQ|. (1)求 p 的值； (2)已知点 T(t，2)为 C 上一点，M，N 是 C 上异于点 T 的两点，且满足直线 TM 和直线 TN 的斜率之和为83，证明直线 MN 过定点，并求出定点的坐标 解 (1)设 Q(x0,4)，由抛物线的定义，得|QF|x0p2，又|QF|2|PQ|，2x0 x0p2，解得 x0p2， 将点 Qp2，4 代入抛物线 C 的方程，得 p4. (2)由(1)知
2、抛物线 C 的方程为 y28x， 点 T 的坐标为12，2 ， 设直线 MN 的方程为 xmyn，点 My218，y1，Ny228，y2， 由 xmyn，y28x得 y28my8n0， y1y28m，y1y28n， kMTkNTy12y21812y22y228128y128y22 8y1y232y1y22y1y2464m328n16m483，解得 nm1， 直线 MN 的方程为 x1m(y1)，过定点(1，1) 2(2019 郑州模拟)已知 F 是抛物线 C：x22py(p0)的焦点，点 M 是抛物线上的定点，且MF(4,0) 2 (1)求抛物线 C 的方程 (2)直线 AB 与抛物线 C 分
3、别相交于不同的两点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，且|x2x1|3，直线 l 与 AB 平行，且与抛物线 C 相切，切点为 N，试问ABN 的面积是否为定值若是，求出这个定值；若不是，请说明理由 解 (1)设 M(x0，y0)，由题知 F0，p2， 所以MFx0，p2y0(4,0)， 所以 x04，p2y00，则 x04，y0p2， 将其代入 x22py(p0)中，得 16p2，解得 p4 或 p4(舍去)， 所以抛物线 C 的方程为 x28y. (2)由题意知，直线 AB 的斜率存在，设直线 AB 的方程为 ykxb. 联立 ykxb，x28y，整理得 x28kx8b0，则 x1x28
4、k，x1x28b， 所以 y1y2k(x1x2)2b8k22b， 设 AB 的中点为 Q，则点 Q 的坐标为(4k,4k2b)， 由条件设切线的方程为 ykxt(tb)， 联立 ykxt，x28y，整理得 x28kx8t0. 因为直线 l 与抛物线 C 相切，所以 64k232t0，所以 t2k2. 则 x28kx16k20，解得 x4k，所以 y2k2. 所以切点 N 的坐标为(4k,2k2)又点 Q 的坐标为(4k,4k2b) 所以 NQx 轴，所以|NQ|4k2b2k22k2b， 因为|x2x1|3， (x2x1)2(x2x1)24x1x264k232b， 所以 2k2b932. 所以
5、SABN12|NQ| |x2x1|12(2k2b) |x2x1|2764， 3 所以ABN 的面积为定值，且定值为2764. 3 (2019 黄山模拟)椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的两个焦点 F1(c,0)， F2(c,0)，设 P，Q 分别是椭圆 C 的上、下顶点，且四边形 PF1QF2的面积为 2 3，其内切圆周长为 3. (1)求椭圆 C 的方程； (2)当 bc 时，A，B 为椭圆 C 上的动点，且 PAPB，试问：直线 AB 是否恒过一定点？若是，求出此定点的坐标；若不是，请说明理由 解 (1)依题意，四边形 PF1QF2的面积为 2 3， 则 412bc2 3，即 bc
6、3， 四边形 PF1QF2的内切圆周长为 3，设内切圆半径为 r. 由 2r 3，得 r32， 由 bcar 3，得 a2， 又 a2b2c24，且 bc 3， 所以 b 3，c1或 b1，c 3. 所以椭圆 C 的方程为x24y231 或x24y21. (2)因为 bc，所以椭圆 C 的方程为x24y231，则 P(0， 3) 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知直线 AB 的斜率存在，设直线 AB 的方程为 ykxm， 联立 x24y231，ykxm，消去 y，得(4k23)x28kmx4m2120， 则 x1x28km4k23，x1x24m2124k23， 64k2m24(4k23)(4m212)0(*)， 由 PAPB，可得PA PB0，即(x10)(x20)(y1 3)(y2 3)0， 4 即 x1x2y1y2 3(y1y2)30，又 y1kx1m，y2kx2m， 所以4m2124k234k2m212k24k238k2m24k23m28 3k2m4k232 3m30， 整理得7m26 3m34k230， 解得 m 3(舍去)或 m37. 因为 m37满足(*)式， 所以直线 AB 的方程为 ykx37. 故直线 AB 恒过定点0，37.