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1、专题14 与数列有关的综合问题命题规律内 容典 型已知通项公式求前几项和2020年高考浙江卷11考查分组求和思想2019年高考全国II卷理数考查拆项求和思想2020年高考浙江卷20考查错位相减求和思想2020年高考全国卷理数17考查与数列有关的新概念的理解与应用2020年高考山东卷18命题规律一 已知通项公式求前几项和【解决之道】利用数列通项公式，即可求出其和.【三年高考】1.【2020年高考浙江卷11】已知数列满足，则 【答案】10【解析】由题意可知，故答案为：10命题规律二 考查分组求和思想【解决之道】解决此类问题，将数列分成等比数列与等差数列分别求和再相加即可.【三年高考】1.【2020
2、年高考江苏卷11】设是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，已知的前项和，则的值是_【答案】【解析】的前项和，当时，；当时，从而有2.【2020年高考山东卷14】将数列与的公共项从小到大排列得到数列，则的前项和为 【答案】【解析】因为数列是以1为首项，以2为公差的等差数列，数列是以1首项，以3为公差的等差数列，所以这两个数列的公共项所构成的新数列是以1为首项，以6为公差的等差数列，所以的前项和为，故答案为：3.【2018年高考江苏卷】已知集合，将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列记为数列的前n项和，则使得成立的n的最小值为_【答案】27【解析】所有的正奇数和按照从小到大的顺序排列构成，在数
3、列|中，25前面有16个正奇数，即.当n=1时，不符合题意；当n=2时，不符合题意；当n=3时，不符合题意；当n=4时，不符合题意；当n=26时，不符合题意；当n=27时，,符合题意.故使得成立的n的最小值为27.4.【2019年高考全国II卷理数】已知数列an和bn满足a1=1，b1=0，.（1）证明：an+bn是等比数列，anbn是等差数列；（2）求an和bn的通项公式.【答案】（1）见解析；（2），.【解析】（1）由题设得，即又因为a1+b1=l，所以是首项为1，公比为的等比数列由题设得，即又因为a1b1=l，所以是首项为1，公差为2的等差数列（2）由（1）知，所以，5.【2019年高考
4、天津卷理数】设是等差数列，是等比数列已知（）求和的通项公式；（）设数列满足其中（i）求数列的通项公式；（ii）求【答案】（1）；（2）（i）（ii）【解析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为依题意得解得故所以，的通项公式为的通项公式为（2）（i）所以，数列的通项公式为（ii） 命题规律三 考查拆项求和思想【解决之道】若数列的每一项都可拆成两项之差，求和时中间的一些项正好相互抵消，于是将前n项和转化为首尾若干项和，注意未消去的项是哪些项。常用拆相公式 若是各项都不为0公差为的等差数列，则= =【三年高考】1.【2020年高考浙江卷20】已知数列an，bn，cn中，（）若数列bn为等比数列
5、，且公比，且，求q与an的通项公式；（）若数列bn为等差数列，且公差，证明：【解析】（I）依题意，而，即，由于，解得，故，数列是首项为，公比为的等比数列，故（）（II）依题意设，由于，故由于，即2.【2018年高考天津卷理数】设是等比数列，公比大于0，其前n项和为，是等差数列. 已知，.（1）求和的通项公式；（2）设数列的前n项和为，（i）求；（ii）证明.【解析】（1）设等比数列的公比为q.由可得.因为，可得，故.设等差数列的公差为d，由，可得由，可得 从而 故 所以，数列的通项公式为，数列的通项公式为（2）（i）由（1），有，故.（ii）证明：因为，所以，.命题规律四 考查错位相减求和思想
6、【解决之道】若数列是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，则在数列的前项和= ，两边同乘以公比得= ，式与式错位相减得= = ，转化为等比数列，的前n项和问题，注意转化出的等比数列的首项及项数. 错位相减法的结论：已知为公差为的等差数列， 为公比为的等比数列，是数列则数列=【三年高考】1.【2020年高考全国卷理数17】设等比数列满足（1）计算，猜想的通项公式并加以证明；（2）求数列的前项和【解析】（1）由， ， 猜想的通项公式为证明如下：（数学归纳法）当时，显然成立； （1）假设时，即成立；其中，由 （2）故假设成立，综上（1）（2），（2）解法一：令，则前项和 （1）
7、由（1）两边同乘以2得： （2）由（1）（2）的，化简得解法二：由（1）可知，由得：，即2.【2020年高考天津卷19】已知为等差数列，为等比数列，（）求和的通项公式；（）记的前项和为，求证：；（）对任意的正整数，设求数列的前项和【解析】()设等差数列的公差为，等比数列的公比为q由，可得d=1从而的通项公式为由，又q0，可得，解得q=2，从而的通项公式为()证明：由()可得，故，从而，所以()当n为奇数时，当n为偶数时，对任意的正整数n，有，和 由得 由得，由于，从而得：因此，所以，数列的前2n项和为3.【2018年高考浙江卷】已知等比数列an的公比q>1，且a3+a4+a5=28，a4
8、+2是a3，a5的等差中项数列bn满足b1=1，数列（bn+1bn）an的前n项和为2n2+n（1）求q的值；（2）求数列bn的通项公式【解析】（1）由是的等差中项得，所以，解得.由得，因为，所以.（2）设，数列前n项和为.由解得.由（1）可知，所以，故， .设，所以，因此，又，所以.命题规律五 考查与数列有关的新概念的理解与应用【解决之道】解决此类问题，关键在于对新概念的理解，认真阅读新概念，理解其意义，利用概念与数列有关知识，将问题转化为数列问题，利用数列知识解决.【三年高考】1.【2020年高考江苏卷20】已知数列的首项，前项和为设与是常数若对一切正整数，均有成立，则称此数列为“”数列（
9、1）若等差数列是“”数列，求的值；（2）若数列是“”数列，且，求数列的通项公式；（3）对于给定的，是否存在三个不同的数列为“”数列，且？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由【解析】（1）时，（2），因此，从而又，综上，（3）若存在三个不同的数列为“”数列，则，则，由，则，令，则，时，由可得，则，即，此时唯一，不存在三个不同的数列；时，令，则，则，时，则同理不存在三个不同的数列；时，无解，则，同理不存在三个不同的数列；时，则，同理不存在三个不同的数列；即时，有两解，设，则，则对任意，或或，此时，均符合条件，对应，则存在三个不同的数列为“”数列，且，综上，2.【2020年高考山东卷18】已知
10、公比大于的等比数列满足，（1）求的通项公式；（2）记为在区间中的项的个数，求数列的前项和【解析】（1）由于数列是公比大于的等比数列，设首项为，公比为，依题意有，解得，所以，所以数列的通项公式为（2）由于，所以对应的区间为：，则；对应的区间分别为：，则，即有个；对应的区间分别为：，则，即有个；对应的区间分别为：，则，即有个；对应的区间分别为：，则，即有个；对应的区间分别为：，则，即有个；对应的区间分别为：，则，即有个所以3.【2019年高考浙江卷】设a，bR，数列an满足a1=a，an+1=an2+b，则A 当B 当C 当D 当【答案】A【解析】当b=0时，取a=0，则.当时，令，即.则该方程，
11、即必存在，使得，则一定存在，使得对任意成立，解方程，得，当时，即时，总存在，使得，故C、D两项均不正确.当时，则，.（）当时，则， ，则， ，故A项正确.（）当时，令，则，所以，以此类推，所以，故B项不正确.故选A.4.【2020年高考全国卷理数12】0-1周期序列在通信技术中有着重要应用若序列满足，且存在正整数，使得成立，则称其为0-1周期序列，并称满足的最小正整数为这个序列的周期对于周期为的0-1序列，是描述其性质的重要指标下列周期为5的0-1序列中，满足的序列是（ ）A B C D 【答案】C【解析】由知，序列的周期为m，由已知，对于选项A，不满足；对于选项B，不满足；对于选项D，不满足
12、；故选：C5.【2019年高考北京卷理数】已知数列an，从中选取第i1项、第i2项、第im项（i1<i2<<im），若，则称新数列为an的长度为m的递增子列规定：数列an的任意一项都是an的长度为1的递增子列（1）写出数列1，8，3，7，5，6，9的一个长度为4的递增子列；（2）已知数列an的长度为p的递增子列的末项的最小值为，长度为q的递增子列的末项的最小值为若p<q，求证：<；（3）设无穷数列an的各项均为正整数，且任意两项均不相等若an的长度为s的递增子列末项的最小值为2s1，且长度为s末项为2s1的递增子列恰有2s-1个（s=1，2，），求数列an的通项公
13、式【解析】（1）1，3，5，6.（答案不唯一）（2）设长度为q末项为的一个递增子列为.由p<q，得.因为的长度为p的递增子列末项的最小值为，又是的长度为p的递增子列，所以.所以·（3）由题设知，所有正奇数都是中的项.先证明：若2m是中的项，则2m必排在2m1之前（m为正整数）.假设2m排在2m1之后.设是数列的长度为m末项为2m1的递增子列，则是数列的长度为m+1末项为2m的递增子列.与已知矛盾.再证明：所有正偶数都是中的项.假设存在正偶数不是中的项，设不在中的最小的正偶数为2m.因为2k排在2k1之前（k=1，2，m1），所以2k和不可能在的同一个递增子列中.又中不超过2m+
14、1的数为1，2，2m2，2m1，2m+1，所以的长度为m+1且末项为2m+1的递增子列个数至多为.与已知矛盾.最后证明：2m排在2m3之后（m2为整数）.假设存在2m（m2），使得2m排在2m3之前，则的长度为m+1且末项为2m+l的递增子列的个数小于.与已知矛盾.综上，数列只可能为2，1，4，3，2m3，2m，2m1，.经验证，数列2，1，4，3，2m3，2m，2m1，符合条件.所以6.【2019年高考江苏卷】定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M数列”.（1）已知等比数列an满足：，求证:数列an为“M数列”；（2）已知数列bn满足:，其中Sn为数列bn的前n项和求数列bn的通项公式；设
15、m为正整数，若存在“M数列”cn，对任意正整数k，当km时，都有成立，求m的最大值【解析】（1）设等比数列an的公比为q，所以a10，q0.由，得，解得因此数列为“M数列”.（2）因为，所以由，得，则.由，得，当时，由，得，整理得所以数列bn是首项和公差均为1的等差数列.因此，数列bn的通项公式为bn=n.由知，bk=k，.因为数列cn为“M数列”，设公比为q，所以c1=1，q>0.因为ckbkck+1，所以，其中k=1，2，3，m.当k=1时，有q1；当k=2，3，m时，有设f（x）=，则令，得x=e.列表如下：xe(e，+) +0f（x）极大值因为，所以取，当k=1，2，3，4，5时，即，经检验知也成立因此所求m的最大值不小于5若m6，分别取k=3，6，得3q3，且q56，从而q15243，且q15216，所以q不存在.因此所求m的最大值小于6.综上，所求m的最大值为57.【2019年高考浙江卷】设等差数列的前n项和为，数列满足：对每个成等比数列（1）求数列的通项公式；（2）记 证明：【答案】（1），；（2）证明见解析.【解析】（1）设数列的公差为d，由题意得，解得从而所以，由成等比数列得解得所以（2）我们用数学归纳法证明（i）当n=1时，c1=0<2，不等式成立；（ii）假设时不等式成立，即那么，当时，即当时不等式也成立根据（i）和（ii），不等式对任意成立