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1、1 椭圆及其性质 建议用时：45 分钟 一、选择题 1(2019 北京高考)已知椭圆x2a2y2b21(ab0)的离心率为12，则( ) Aa22b2 B3a24b2 Ca2b D3a4b B 由题意，ca12，得c2a214，则a2b2a214， 4a24b2a2，即 3a24b2.故选 B. 2已知方程x22ky22k11 表示焦点在 y 轴上的椭圆，则实数 k 的取值范围是( ) A12，2 B(1，) C(1，2) D12，1 C 由题意得2k0，2k10，2k12k， 解得 1k2.故选 C. 3椭圆 C 的一个焦点为 F1(0，1)，并且经过点 P32，1 ，则椭圆 C 的标准方程
2、为( ) A.x24y231 B.y23x221 C.x23y221 D.y24x231 D 由题意可设椭圆 C 的标准方程为y2a2x2b21(ab0)，且另一个焦点为2 F2(0，1)，所以 2a|PF1|PF2|322（11）2322（11）24. 所以 a2，又 c1，所以 b2a2c23. 故椭圆 C 的标准方程为y24x231.故选 D. 4以椭圆的两个焦点为直径的端点的圆与椭圆交于四个不同的点，顺次连接这四个点和两个焦点恰好组成一个正六边形，那么这个椭圆的离心率为( ) A. 3 2 B. 31 C.22 D.32 B 设椭圆的两个焦点为 F1，F2，圆与椭圆交于 A，B，C，D
3、 四个不同的点， 设|F1F22c， 则|DF1c，|DF2 3c.由椭圆定义， 得 2a|DF1|DF2| 3cc， 所以 eca231 31，故选 B. 5 已知ABC 的顶点 B， C 在椭圆x23y21 上， 顶点 A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在 BC 边上，则ABC 的周长是( ) A2 3 B6 C4 3 D12 C 由椭圆的方程得 a 3.设椭圆的另一个焦点为 F，则由椭圆的定义得|BA|BF|CA|CF|2a，所以ABC 的周长为|BA|BC|CA|BA|BF|CF|CA|(|BA|BF|)(|CF|CA|)2a2a4a4 3. 二、填空题 6已知椭圆x2a2y2
4、b21(ab0)的一个焦点是圆 x2y26x80 的圆心，且短轴长为 8，则椭圆的左顶点为_ (5，0) 圆的标准方程为(x3)2y21，圆心坐标为(3，0)，c3.又 b4，a b2c25.椭圆的焦点在 x 轴上，椭圆的左顶点为(5，0) 3 7(2019 全国卷)设 F1，F2为椭圆 C：x236y2201 的两个焦点，M 为 C 上一点且在第一象限，若MF1F2为等腰三角形，则 M 的坐标为_ (3， 15) 不妨令 F1，F2分别为椭圆 C 的左、右焦点，根据题意可知 c36204.因为MF1F2为等腰三角形，所以易知|F1M|2c8，所以|F2M|2a84.设 M(x，y)，则x23
5、6y2201，（x4）2y264，x0，y0，得x3，y 15，又因为点 M 在第一象限，所以 M 的坐标为(3， 15) 8已知 F1，F2是椭圆的两个焦点，满足MF1MF20 的点 M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是_ 0，22 满足MF1MF20 的点 M 的轨迹是以 F1F2为直径的圆，若其总在椭圆内部，则有 cb，即 c2b2，又 b2a2c2，所以 c2a2c2， 即 2c2a2， 所以 e212， 又因为 0e1， 所以 0e22. 三、解答题 9已知点 P 是圆 F1：(x1)2y216 上任意一点(F1是圆心)，点 F2与点F1关于原点对称 线段 PF2的垂直平分线
6、m 分别与 PF1， PF2交于 M， N 两点 求点 M 的轨迹 C 的方程 解 由题意得 F1(1，0)，F2(1，0)，圆 F1的半径为 4， 且|MF2|MP|，从而|MF1|MF2|MF1|MP|PF1|4|F1F2|， 所以点 M 的轨迹是以 F1，F2为焦点的椭圆， 其中长轴长为 4，焦距为 2，则短半轴长为 3， 所以点 M 的轨迹方程为x24y231. 4 10(2019 全国卷)已知 F1，F2是椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的两个焦点，P 为 C 上的点，O 为坐标原点 (1)若POF2为等边三角形，求 C 的离心率； (2)如果存在点 P，使得 PF1PF2，且
7、F1PF2的面积等于 16，求 b 的值和 a的取值范围 解 (1)连接 PF1(图略)，由POF2为等边三角形可知在F1PF2中，F1PF290，|PF2|c，|PF1| 3c，于是 2a|PF1|PF2|( 31)c，故 C 的离心率为 eca 31. (2)由题意可知，满足条件的点 P(x，y)存在当且仅当 12|y| 2c16，yxcyxc1，x2a2y2b21， 即 c|y|16， x2y2c2， x2a2y2b21. 由及 a2b2c2得 y2b4c2. 又由知 y216c2，故 b4. 由及 a2b2c2得 x2a2c2(c2b2)， 所以 c2b2，从而 a2b2c22b232
8、， 故 a4 2. 当 b4，a4 2时，存在满足条件的点 P. 所以 b4，a 的取值范围为4 2，) 1已知椭圆 C：x24y231，M，N 是坐标平面内的两点，且 M 与 C 的焦点不重合若 M 关于 C 的焦点的对称点分别为 A，B，线段 MN 的中点在 C 上，则|AN|BN|( ) A4 B8 5 C12 D16 B 设 MN 的中点为 D，椭圆 C 的左、右焦点分别为F1，F2，如图， 连接 DF1，DF2，因为 F1是 MA 的中点，D 是 MN 的中点， 所以 F1D 是MAN 的中位线， 则|DF1|12|AN|， 同理|DF2|12|BN|，所以|AN|BN|2(|DF1
9、|DF2|)，因为 D 在椭圆上，所以根据椭圆的定义知|DF1|DF2|4，所以|AN|BN|8. 2.2016 年 1 月 14 日， 国防科工局宣布， “嫦娥四号”任务已经通过了探月工程重大专项领导小组审议通过， 正式开始实施 如图所示， 假设“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后， 在月球附近一点 P 变轨进入以月球球心 F 为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行，之后卫星在 P 点第二次变轨进入仍以 F 为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行若用 2c1和 2c2分别表示椭圆轨道和的焦距，用 2a1和2a2分别表示椭圆轨道和的长轴长，给出下列式子： a1c1a2c2；a1c1a2c2；c1a1a1c2
10、. 其中正确式子的序号是( ) A B C D D 观察图形可知 a1c1a2c2，即式不正确；a1c1a2c2|PF|，即式正确；由 a1c1a2c20，c1c20 知，a1c1c1a2c2c2，即a1c1a1c2，c1a1c2a2，即式正确，式不正确故选 D. 3(2019 三明模拟)已知ABC 的顶点 A(3，0)和顶点 B(3，0)，顶点 C 在椭圆x225y2161 上，则5sin Csin Asin B_ 3 由椭圆方程x225y2161，得长轴长 2a10，短轴长 2b8，焦距 2c6，则顶点 A，B 为椭圆的两个焦点 在ABC 中，|AB|6，|BC|AC|10， 6 由正弦正
11、理可得，5sin Csin Asin B5|AB|BC|AC|56103. 4(2109 山西太原一模)已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点分别是 F1，F2，A，B 分别是其左、右顶点，点 P 是椭圆 C 上任一点，且PF1F2的周长为 6，若PF1F2面积的最大值为 3. (1)求椭圆 C 的方程； (2)若过点 F2且斜率不为 0 的直线交椭圆 C 于 M，N 两个不同的点，证明：直线 AM 与 BN 的交点在一条定直线上 解 (1)由题意得2a2c6122bc 3，a2b2c2 c1b 3，a2椭圆 C 的方程为x24y231. (2)由(1)得 A(2，0)，B(2
12、，0)，F2(1，0)，设直线 MN 的方程为 xmy1，M(x1，y1)，N(x2，y2)， 由xmy1，x24y231得(43m2)y26my90， y1y26m43m2，y1y2943m2，my1y232(y1y2)， 直线 AM 的方程为 yy1x12(x2)，直线 BN 的方程为 yy2x22(x2)， y1x12(x2)y2x22(x2)，x2x2y2（x12）y1（x22）my1y23y2my1y2y13， x4，直线 AM 与 BN 的交点在直线 x4 上 1(2019 全国卷)已知椭圆 C 的焦点为 F1(1，0)，F2(1，0)，过 F2的直线与 C 交于 A，B 两点若|
13、AF2|2|F2B|，|AB|BF1|，则 C 的方程为( ) A.x22y21 B.x23y221 7 C.x24y231 D.x25y241 B 设椭圆的标准方程为x2a2y2b21(ab0)由椭圆的定义可得|AF1|AB|BF1|4a. |AB|BF1|，|AF2|2|F2B|， |AB|BF1|32|AF2|， |AF1|3|AF2|4a. 又|AF1|AF2|2a，|AF1|AF2|a， 点 A 是椭圆的短轴端点，如图 不妨设 A(0，b)，由 F2(1，0)，AF22F2B，得 B(32，b2) 由点 B 在椭圆上，得94a2b24b21，得 a23，b2a2c22. 椭圆 C 的
14、方程为x23y221.故选 B. 2.如图是数学家 Germinal Dandelin 用来证明一个平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆的模型(称为“Dandelin 双球”)；在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，设图中球 O1，球 O2的半径分别为 3 和 1，球心距离|O1O28，截面分别与球 O1，球 O2切于点 E，F，(E，F 是截口椭圆的焦点)，则此椭圆的离心率等于_ 2 55 如图，圆锥面与其内切球 O1，O2分别相切与 B，A，连接 O1B， O2A 则 O1BAB， O2AAB.过 O1作 O1DO2A 垂直于 D，连接 O1F，O2E，EF 交 O1O2于点 C.设圆锥母线与轴的夹角为 ，截面与轴的夹角为 .则在 RtO1O2D 中，DO2312，O1D 82222 15 cos O1DO1O22 158154. O1O28，CO28O1C. 8 EO2CFO1C，8O1CO2EO1CO1F， 解得 O1C2. CF O1C2FO21 2212 3， 即 cos CFO1C32. 则椭圆的离心率 ecos cos 321542 55.