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1、1 二项式定理 建议用时：45 分钟 一、选择题 1已知 C0n2C1n22C2n23C3n2nCnn729，则 C1nC2nC3nCnn等于( ) A63 B64 C31 D32 A 逆用二项式定理得 C0n2C1n22C2n23C3n2nCnn(12)n3n729，即 3n36，所以 n6，所以 C1nC2nC3nCnn26C0n64163. 2(2019 全国卷)(12x2)(1x)4的展开式中 x3的系数为( ) A12 B16 C20 D24 A 展开式中含 x3的项可以由“1 与 x3”和“2x2与 x”的乘积组成，则 x3的系数为 C342C144812. 3已知(1x)n的展开
2、式中第 4 项与第 8 项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为( ) A212 B211 C210 D29 D 因为展开式中第 4 项与第 8 项的二项式系数相等， 所以 C3nC7n， 解得 n10.根据二项式系数和的相关公式得，奇数项的二项式系数和为 2n129.故选D. 4在(x2)6展开式中，二项式系数的最大值为 a，含 x5项的系数为 b，则ab( ) A.53 B53 C.35 D35 B 由条件知 aC3620，bC16(2)112， ab53，故选 B. 5(2019 深圳市高级中学高三适应性考试)已知(1ax)(2x1x)5的展开式中各项系数的和为 2，则该展开式中常数
3、项为( ) 2 A80 B40 C40 D80 D 令 x1，得展开式的各项系数和为(1a1)(211)51a，1a2，a1， 1ax 2x1x511x 2x1x52x1x51x2x1x5， 所求展开式中常数项为2x1x5的展开式的常数项与 x 项的系数和， 2x1x5展开式的通项为 Tr1Cr5(2x)5r(1)r(1x)r(1)r25rCr5x52r， 令 52r1 得 r2；令 52r0，无整数解， 展开式中常数项为 8C2580，故选 D. 6(2019 武汉模拟)在x1x16的展开式中，含 x5项的系数为( ) A6 B6 C24 D24 B 由x1x16C06x1x6C16x1x5
4、C26x1x4C56x1xC66，可知只有C16x1x5的展开式中含有 x5，所以x1x16的展开式中含 x5项的系数为C05C166，故选 B. 7若(1xx2)6a0a1xa2x2a12x12，则 a2a4a12( ) A284 B356 C364 D378 C 令 x0，则 a01； 令 x1，则 a0a1a2a1236， 令 x1，则 a0a1a2a121， 两式左右分别相加， 得 2(a0a2a12)361730， 所以 a0a2a12365， 又 a01，所以 a2a4a12364. 二、填空题 8(2017 山东高考)已知(13x)n的展开式中含有 x2项的系数是 54，则 n_
5、 3 4 (13x)n的展开式的通项为 Tr1Crn(3x)r，令 r2，得 T39C2nx2，由题意得 9C2n54，解得 n4. 9(1xx2)(1x)5的展开式中 x4的系数为_(用数字作答) 25 当第一个因式中的项为 1 时，x4的系数为 C45，当第一个因式中的项为x 时，x4的系数为 C35，当第一个因式中的项为 x2时，x4的系数为 C25，则展开式中 x4的系数为 C45C35C2525. 10(2019 江苏高考改编)设(1x)na0a1xa2x2anxn，n4，nN*.已知 a232a2a4，则 n 的值为_ 5 因为(1x)nC0nC1nxC2nx2Cnnxn，n4，
6、所以 a2 C2n n（n1）2，a3 C 3nn（n1）（n2）6， a4C4nn（n1）（n2）（n3）24. 因为 a232a2a4，所以n（n1）（n2）622n（n1）2n（n1）（n2）（n3）24， 解得 n5. 1(2019 威海模拟)在 1(1x)(1x)2(1x)3(1x)4(1x)5的展开式中，含 x2项的系数是( ) A10 B15 C20 D25 C 含 x2项的系数为 C22C23C24C2520. 2已知(x1)10a1a2xa3x2a11x10.若数列 a1，a2，a3，ak(1k11，kZ)是一个单调递增数列，则 k 的最大值是( ) A5 B6 C7 D8
7、B 由二项式定理知 anCn110(n1，2，3，n)又(x1)10展开式中二项式系数最大项是第 6 项，a6C510，则 k 的最大值为 6. 3已知(12x)2 019a0a1(x2)a2(x2)2a2 018(x2)2 018a2 019(x2)2 019(xR)，则 a12a23a32 018a2 0182 019a2 019( ) A2 019 B2 019 4 C4 038 D0 C 因为(12x)2 019a0a1(x2)a2(x2)2a2 018(x2)2 018a2 019(x2)2 019(xR)，两边分别对 x 求导可得2 0192(2x1)2 018a12a2(x2)2
8、 018a2 018(x2)2 0172 019a2 019(x2)2 018(xR)，令 x1 得4 038a12a22 018a2 0182 019a2 019，故选 C. 4(2019 湖南长沙模拟)若 x10 x5a0a1(x1)a2(x1)2a10(x1)10，则 a5_. 251 x10 x5(x1)110(x1)15，则 a5C510C052521251. 1中国南北朝时期的著作孙子算经中，对同余除法有较深的研究设a，b，m(m0)为整数，若 a 和 b 被 m 除所得的余数相同，则称 a 和 b 对模 m 同余， 记为 ab(mod m) 若 aC020C120 2C220 2
9、2C2020 220, ab(mod 10)，则 b 的值可以是( ) A2 011 B2 012 C2 013 D2 014 A 因为 a(12)20320910(101)10C0101010C110109C010101，所以 a 被 10 除所得的余数为 1.观察各选项，知 2011 被 10 除得的余数是 1，故选 A. 2在(xy)n的展开式中，若第 7 项系数最大，则 n 的值可能等于_ 11，12，13 根据题意，分三种情况：若仅 T7系数最大，则共有 13 项，n12；若 T7与 T6系数相等且最大，则共有 12 项，n11；若 T7与 T8系数相等且最大，则共有 14 项，n13.所以 n 的值可能等于 11，12，13.