《2022届高三数学一轮复习（原卷版）专题14 与数列相关的综合问题（解析版） (2).docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022届高三数学一轮复习（原卷版）专题14 与数列相关的综合问题（解析版） (2).docx（16页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、专题14 与数列有关的综合问题 命题规律内 容典 型已知通项公式求前几项和2020年高考浙江卷11考查分组求和思想2018年高考天津卷文数考查拆项求和思想2020年高考浙江卷20考查错位相减求和思想2020年高考天津卷19考查与数列有关的新概念的理解与应用2020年高考山东卷18命题规律一已知通项公式求前几项和【解决之道】利用数列通项公式，即可求出其和.【三年高考】1.【2020年高考浙江卷11】已知数列满足，则 【答案】10【解析】由题意可知，故答案为：10命题规律二 考查分组求和思想【解决之道】解决此类问题，将数列分成等比数列与等差数列分别求和再相加即可.【三年高考】1.【2020年高考江
2、苏卷11】设是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，已知的前项和，则的值是_【答案】【解析】的前项和，当时，；当时，从而有2.【2020年高考山东卷14】将数列与的公共项从小到大排列得到数列，则的前项和为 【答案】【解析】因为数列是以1为首项，以2为公差的等差数列，数列是以1首项，以3为公差的等差数列，所以这两个数列的公共项所构成的新数列是以1为首项，以6为公差的等差数列，所以的前项和为，故答案为：3.【2018年高考天津卷文数】设an是等差数列，其前n项和为Sn（nN*）；bn是等比数列，公比大于0，其前n项和为Tn（nN*）已知b1=1，b3=b2+2，b4=a3+a5，b5=a4+2a6
3、（1）求Sn和Tn；（2）若Sn+（T1+T2+Tn）=an+4bn，求正整数n的值【答案】（1），；（2）4.【解析】（1）设等比数列的公比为q，由b1=1，b3=b2+2，可得因为，可得，故所以，设等差数列的公差为由，可得由，可得从而，故，所以，（2）由（1），有由可得，整理得解得（舍），或所以n的值为4命题规律三 考查拆项求和思想【解决之道】若数列的每一项都可拆成两项之差，求和时中间的一些项正好相互抵消，于是将前n项和转化为首尾若干项和，注意未消去的项是哪些项。常用拆相公式 若是各项都不为0公差为的等差数列，则= =【三年高考】1.【2020年高考浙江卷20】已知数列an，bn，cn中，
4、（）若数列bn为等比数列，且公比，且，求q与an的通项公式；（）若数列bn为等差数列，且公差，证明：【解析】（I）依题意，而，即，由于，解得，故，数列是首项为，公比为的等比数列，故（）（II）依题意设，由于，故由于，即命题规律四 考查错位相减求和思想【解决之道】若数列是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，则在数列的前项和= ，两边同乘以公比得= ，式与式错位相减得= = ，转化为等比数列，的前n项和问题，注意转化出的等比数列的首项及项数. 错位相减法的结论：已知为公差为的等差数列， 为公比为的等比数列，是数列则数列=【三年高考】1.【2020年高考天津卷19】已知为等差
5、数列，为等比数列，（）求和的通项公式；（）记的前项和为，求证：；（）对任意的正整数，设求数列的前项和【解析】()设等差数列的公差为，等比数列的公比为q由，可得d=1从而的通项公式为由，又q0，可得，解得q=2，从而的通项公式为()证明：由()可得，故，从而，所以()当n为奇数时，当n为偶数时，对任意的正整数n，有，和 由得 由得，由于，从而得：因此，所以，数列的前2n项和为2.【2018年高考浙江卷】已知等比数列an的公比q>1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5的等差中项数列bn满足b1=1，数列（bn+1bn）an的前n项和为2n2+n（1）求q的值；（2）求数列bn的通
6、项公式【解析】（1）由是的等差中项得，所以，解得.由得，因为，所以.（2）设，数列前n项和为.由解得.由（1）可知，所以，故， .设，所以，因此，又，所以.3.【2019年高考天津卷文数】设是等差数列，是等比数列，公比大于0，已知.（1）求和的通项公式；（2）设数列满足求.【答案】（1），；（2）【解析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为.依题意，得解得故.所以，的通项公式为，的通项公式为.（2） .记则得，.所以， .命题规律五 考查与数列有关的新概念的理解与应用 【解决之道】解决此类问题，关键在于对新概念的理解，认真阅读新概念，理解其意义，利用概念与数列有关知识，将问题转化为数列问
7、题，利用数列知识解决.【三年高考】1.【2020年高考江苏卷20】已知数列的首项，前项和为设与是常数若对一切正整数，均有成立，则称此数列为“”数列（1）若等差数列是“”数列，求的值；（2）若数列是“”数列，且，求数列的通项公式；（3）对于给定的，是否存在三个不同的数列为“”数列，且？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由【解析】（1）时，（2），因此，从而又，综上，（3）若存在三个不同的数列为“”数列，则，则，由，则，令，则，时，由可得，则，即，此时唯一，不存在三个不同的数列；时，令，则，则，时，则同理不存在三个不同的数列；时，无解，则，同理不存在三个不同的数列；时，则，同理不存在三个不同
8、的数列；即时，有两解，设，则，则对任意，或或，此时，均符合条件，对应，则存在三个不同的数列为“”数列，且，综上，2.【2020年高考山东卷18】已知公比大于的等比数列满足，（1）求的通项公式；（2）记为在区间中的项的个数，求数列的前项和【解析】（1）由于数列是公比大于的等比数列，设首项为，公比为，依题意有，解得，所以，所以数列的通项公式为（2）由于，所以对应的区间为：，则；对应的区间分别为：，则，即有个；对应的区间分别为：，则，即有个；对应的区间分别为：，则，即有个；对应的区间分别为：，则，即有个；对应的区间分别为：，则，即有个；对应的区间分别为：，则，即有个所以3.【2019年高考浙江卷】设
9、a，bR，数列an满足a1=a，an+1=an2+b，则（ ）A 当B 当C 当D 当【答案】A【解析】当b=0时，取a=0，则.当时，令，即.则该方程，即必存在，使得，则一定存在，使得对任意成立，解方程，得，当时，即时，总存在，使得，故C、D两项均不正确.当时，则，.（）当时，则， ，则， ，故A项正确.（）当时，令，则，所以，以此类推，所以，故B项不正确.故选A.4.【2019年高考江苏卷】定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M数列”.（1）已知等比数列an满足：，求证:数列an为“M数列”；（2）已知数列bn满足:，其中Sn为数列bn的前n项和求数列bn的通项公式；设m为正整数，若存在
10、“M数列”cn，对任意正整数k，当km时，都有成立，求m的最大值【答案】（1）见解析；（2）bn=n；5.【解析】解：（1）设等比数列an的公比为q，所以a10，q0.由，得，解得因此数列为“M数列”.（2）因为，所以由，得，则.由，得，当时，由，得，整理得所以数列bn是首项和公差均为1的等差数列.因此，数列bn的通项公式为bn=n.由知，bk=k，.因为数列cn为“M数列”，设公比为q，所以c1=1，q>0.因为ckbkck+1，所以，其中k=1，2，3，m.当k=1时，有q1；当k=2，3，m时，有设f（x）=，则令，得x=e.列表如下：xe(e，+) +0f（x）极大值因为，所以取
11、，当k=1，2，3，4，5时，即，经检验知也成立因此所求m的最大值不小于5若m6，分别取k=3，6，得3q3，且q56，从而q15243，且q15216，所以q不存在.因此所求m的最大值小于6.综上，所求m的最大值为55.【2019年高考浙江卷】设等差数列的前n项和为，数列满足：对每个成等比数列（1）求数列的通项公式；（2）记 证明：【答案】（1），；（2）证明见解析.【解析】（1）设数列的公差为d，由题意得，解得从而所以，由成等比数列得解得所以（2）我们用数学归纳法证明（i）当n=1时，c1=0<2，不等式成立；（ii）假设时不等式成立，即那么，当时，即当时不等式也成立根据（i）和（i
12、i），不等式对任意成立6.【2018年高考浙江卷】已知成等比数列，且若，则（ ）ABCD【答案】B【解析】令则，令得，所以当时，当时，因此. 若公比，则，不合题意；若公比，则但，即，不合题意；因此，故选B.7.【2018年高考江苏卷】设是首项为，公差为d的等差数列，是首项为，公比为q的等比数列（1）设，若对均成立，求d的取值范围；（2）若，证明：存在，使得对均成立，并求的取值范围（用表示）【答案】（1）；（2）见解析.【解析】本小题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力满分16分（1）由条件知：因为对n=1，2，3，4均成立，即对n=1，2，3，4均成立，即11，1d3，32d5，73d9，得因此，d的取值范围为（2）由条件知：若存在d，使得（n=2，3，···，m+1）成立，即，即当时，d满足因为，则，从而，对均成立因此，取d=0时，对均成立下面讨论数列的最大值和数列的最小值（）当时，当时，有，从而因此，当时，数列单调递增，故数列的最大值为设，当x>0时，所以单调递减，从而<f（0）=1当时，因此，当时，数列单调递减，故数列的最小值为因此，d的取值范围为