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1、高等数学（B）（1）第一次作业初等数学知识一、 名词解释邻域：设和是两个实数，且，满足不等式的实数的全体称为的邻域。绝对值；数轴上的点到原点的距离称为的绝对值，记为。数轴：规定了原点、正方向和长度的直线称为数轴。实数：实数由有理数和无理数组成。有理数包括整数和分数。二、 填空题1、绝对值的性质有（）、（）、（）、（）、（）、（）。2、开区间的表示有（ ）、（ ）（提示：分别用区间和数轴形式表示）3、闭区间的表示有（ ）、（ ）。4、无穷大的记号（）。5（-，+）表示（ 全体实数），或记为（ R）。6、（-，b）表示（满足不等式的一切实数），或记为（）。7、（a，+）表示（满足不等式的一切实数）
2、，或记为（）。8、去心邻域是指（满足不等式且）的全体，用数轴表示即为（P7下图）。9、满足不等式的数x用区间可表示为（）。三、 回答题1、初等数学为高等数学做了哪些准备？答：（1）发展符号意识，实现从具体数学的运算到抽象符号运算转变。符号是一种更为简洁的语言，没有国界，全世界共享，并且这种语言具有运算能力。（2）培养严密的逻辑思维能力，实现从具体描述到严格证明的转变。（3）培养抽象思维的能力，实现从具体数学到概念化数学的转变。（4）发展变化意识，实现从常量数学到变量数学的转变。2、有理数包括哪些数？答：有理数包括整数和分数。3、 数轴上二个有理数之间都是有理数吗？答：二个有理数之间有有理数，也
3、有无理数。4、 不等式等价于哪个区间？答：等价于。a) 点的邻域如何表示？答：。5、 计算题a) 解不等式解：，或；所以不等式的解为。b) 解不等式解：，或；所以不等式的解为。c) 解方程解：，或。函 数一、 名词解释函数答：设和是两个变量，若当变量在其变动区域D内取任一数值时，变量依照某一法则总有一个确定的数值与值对应，则称变量为变量的函数，记作。奇函数答：设函数在关于原点对称的集合D上有定义，如果对任意的，恒有，则称函数为奇函数。偶函数答：设函数在关于原点对称的集合D上有定义，如果对任意的，恒有，则称函数为偶函数。定义域答：在函数的定义中，自变量的变动区域，称为函数的定义域。值域答：在函数
4、的定义中，的取值的集合称为函数的值域。初等函数答：由基本初等函数经过有限次的四则运算或复合运算而得到的函数称为初等函数。三角函数答：正弦函数，余弦函数，正切函数，余切函数，正割函数，余割函数合称三角函数。指数函数：答：函数，称为指数函数。复合函数答：设是的函数，是的函数，如果的值哉包含在的定义域中，则通过构成的函数，记作，这种函数称为复合函数，其中称为中间变量。对数函数答：函数，称为对数函数。反函数答：设设是的函数，其值域为G，如果对于G中的第一个值，都有有一个确定的且满足的值与它对应，则得到一个定义在G 上的以为自变量，为因变量的新函数，称它为的反函数，记作，并称为直接函数。幂函数答：函数（
5、为实数）称为幂函数。常数函数答：函数（为实数）称为常数函数，它的定义域是。常量答：一类量在考察的过程中不发生变化，只取一个固定的值，我们称它为常量。变量答：一类量在考察的过程中是变化的，可以取不同的数值，我们称它为变量。二、 填空题1、函数概念最早是由（莱布尼兹）引进的，有了函数概念，人们就可以从（数量）上确切地描述运动。2、在历史上第一个给出函数一般定义的是（狄里克雷），并给出了一个不能画出图形的函数，这就是著名的（狄里克雷函数），它的表示式是（ ）。3、函数的三种表示方法：（解析表达式），（图形式），（表格式）。4、函数表达了（因变量）与（自变量）之间的一种对应规则。5、单值函数是当（自变
6、量）在（定义域）中取定了一数值时，与之对应的（函数值）是唯一的函数。6、奇函数的图像特点是（图像关于原点对称 ）。7、单调函数的图像特点是（沿轴正向逐渐上升或沿轴正向逐渐下 降）。8、反函数的图像特点是（与原函数的图像关于直线对称）。三、 回答题1、 什么是有界函数？答：设函数在集合D上有定义，如果存在一个正数M，对于所有的，恒有，则称函数在D上为有界函数。2、 对于有界函数要注意哪几点？答：对于函数的有界性，要注意以下几点：（1）当一个函数在区间内有界时，正数M的取法不是唯一的。（2）有界性是依赖于区间的。3、 什么是单调函数？答：设函数在区间内有定义，如果对于内的任意两点和，当时，恒有，则
7、称函数在区间内单调增加；如果对于内的任意两点和，当.（2）和解：因为在上，则。（3）和解：因为在上，所以.2、 求函数在区间上的平均值。解：=。3、 设，求。解：。4、 设，求。解：。5、 计算下列定积分。（1）解：原式=（2）解：原式=。（3）解：原式=。（4）解：原式=。（5）解：原式=。（6）解：原式=。6、 求抛物线，直线及轴所围图形绕轴旋转体积。解：。7、 求直线及两条坐标轴所围成的三角形绕轴旋转而成的旋转体积。解：直线与两标轴交点为（2，0）（0，1），8、 计算所围图形的面积。解：两曲线交点坐标满足即(-1,1)和(3,9),则。9、计算所围图形的面积。解：。作业4微积分简史1、
8、 论述微分学的早期史答：在微分学这个邻域内，费马给出了一个统一的无穷小方法，用以解决求最大最小值问题。牛顿和莱布尼茨各自创立一套一般的符号体系，建立计算的正规程序或算法。柯西等19世纪数学家为这门学科重建逻辑上的一致的、严格的基础。2、 简述费马对微分学的贡献。答：属于微分方法的第一个真正值得注意的先驱工作是1629年费马给出的。曲线的切线问题和函数的极大、极小值问题都是微分学的基本问题。正是这两个问题的研究促进了微分学的诞生，费马在这两个问题都作出了重要贡献，他处理这两个问题的方法是一致的。用现代语言来说，都是先取增量，而后让增量趋向于0，而这正是微他学的实质所在。在费马求面积的过程中，我们
9、看到了定积分的概念与运算的大部分的主要方面。可以肯定地说，除了巴罗以外，没有任何数学家像费马这样接近于微积分的发明了。3、 简述巴罗对微分学的贡献。答：巴罗最重要的著作是他的光学和几何学讲义。在这本书中我们能够找到非常接近近代微分过程的步骤。巴罗求切线的方法非常接近于微分学中所采用的方法。特别有趣重要的是巴罗把作曲线的切线与曲线的求积联系了起来。这就是说。他把微分学和积分学的两个基本问题以几何对比形式联系起来了。巴罗的确走到了微积分基本定理的大门口了。4、 论述积分学的早期史。答：积分学起源于各种求积问题，如面积、体积和弧长的计算这些问题的研究在西方要追溯到遥远的古希腊。安提丰提出，随着一个圆
10、的内接正多边形的边数逐次成倍增加，圆与多边形的差将被穷竭。阿基米德对穷竭法做出发最巧妙的应用。得到了球的体积和圆柱体的体积。我国古代的刘徽的割圆术和祖恒提出的“幂势既同，则积不容异”原理，对微积分作出了重大贡献。5、 论述微积分对人类历史的贡献。答：微积分的诞生具有划时代的意义，是数学史上的分水岭和转折点，这个伟大的发明明显不同于旧数学。旧数学是关于常量的、静止的，而新数学是关于变量的、运动的。关于微积分的地位，恩格斯是这样评价的：“一切理论成就中，末必再有什么像17世纪下半叶微积分的发现那样被看作人类精神的最高胜利了”。牛顿和莱布尼茨集其大成，迸发出新方法和新观点，使数学达到了一个更高的水平
11、。6、 牛顿和莱布厄兹对微积分的发现做出了什么的贡献？答：牛顿在曲线求积论和流数术和无穷级数方法及其对几何曲线的应用的论文中，建立和完成了无穷小量的经典分析，也就是建立和完成了微积分学。牛顿先后考虑了微分、解微分方程、函数的极值、曲线的切线等等。莱布尼茨在研究巴罗的著作后，意识到微分和积分的互逆关系，在其的一种求极大值和极小值和切线的新方法，它也适用于分式和无理量，以及这种新方法的奇妙类型的计算，是历史上最早公开发表的关于微分学的文献。文中给出微分的定义、微分法则、二阶微分、极值、切线、曲率等等有关计算。他所给出的微分学符号和计算导数的许多一般法则一直沿用到现在。微分方程一、 回答题1、 微分
12、方程的定义答：含有末知函数的导数的等式叫做微分方程。2、 何谓微分方程的通解、特解，何谓微分方程的初始条件？答：含有任意常数C的解叫做微分方程的通解。确定了常数C的解称为方程的特解。使任意常数确定为确定的数的条件称为初始条件。3、 何谓变量可分离的微分方程？答：把可以通过分离变量法的微分方程称为可分离的微分方程。4、 微分方程和建模有何关系？答：数学建模中的数学模型常常是一个微分方程，进而求解数学问题是求解微分方程的问题。5、 建模思想和步骤是什么/答：建立数学模型，并用以解决实际问题的步骤分为以下五步：（1） 明确实际问题熟悉问题的背景；（2） 形成数学模型；（3） 求解数学问题；（4） 研
13、究算法并尽量使用计算机；（5） 回到实际中去，解释结果。二、 计算题1求下列微分方程的解（1）解：， ， 用代入有：，所以解为。（2）解：，用代入有：，所以解为。（3）解；， 用代入有：，所以解为。2、已知函数的图像经过点，图像上任一点处的切线斜率为，求。解：， ， ，用代入有：，所以。3、设某产品的利润是产量的函数，已知利润的变化率是，生产100只产品的利润，求利润与产量的函数关系。解：， ，用代入有：，所以。4、镭的衰变有如下的规律：镭的衰变速度与它的现存量R成正比，由经验材料得知，镭经过1600年后，只余原始量R0的一半，试求镭的量R与时间t的函数关系。解：， ， ， ， 用代入有 ，和得所以。