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1、第2章标准型矩阵第1页，本讲稿共67页第第2章：章：Jordan标准形介绍标准形介绍问题：问题：问题：问题：对线性空间中的线性变换对线性空间中的线性变换对线性空间中的线性变换对线性空间中的线性变换T T，求一组基，求一组基，求一组基，求一组基 1 1，2 2，n n 和矩和矩和矩和矩阵阵阵阵J J，使，使，使，使 T:T:1 1，2 2，n n J J 矩阵矩阵矩阵矩阵J J 尽可能简单。尽可能简单。尽可能简单。尽可能简单。矩阵矩阵矩阵矩阵J J的结构对任何变换可行的结构对任何变换可行的结构对任何变换可行的结构对任何变换可行内容：内容：内容：内容：首选首选首选首选A A为对角形为对角形为对角形
2、为对角形 线性线性线性线性变换的对角化问题。变换的对角化问题。变换的对角化问题。变换的对角化问题。建立建立建立建立J J 一般的结构一般的结构一般的结构一般的结构 JordanJordan标准形理论。标准形理论。标准形理论。标准形理论。JordanJordan方法及其应用方法及其应用方法及其应用方法及其应用方法：方法：方法：方法：用矩阵的相似化简研究问题用矩阵的相似化简研究问题用矩阵的相似化简研究问题用矩阵的相似化简研究问题 JordanJordan化方法化方法化方法化方法重点：重点：重点：重点：第2页，本讲稿共67页2.1 线性变换的对角表示线性变换的对角表示背景：背景：T(1 1 2 2
3、n n)=(1 1 2 2 n n)一、变换一、变换T的特征值与特征向量的特征值与特征向量的特征值与特征向量的特征值与特征向量1.定义定义(p35 p35，定义定义定义定义2 2.1 1)2.求解分析：求解分析：(p35 p35，定理定理定理定理2 2.1 1)1.1.(1 1 2 2 n n)线性无关线性无关线性无关线性无关2.2.T T i i=i i i i；LL i i 是不变子空间是不变子空间是不变子空间是不变子空间第3页，本讲稿共67页 (2.1)则称则称为为 T T 的的特征值特征值，并称，并称，并称，并称 为为T 的属于（或对应的属于（或对应于）特征值于）特征值 的的特征向量特
4、征向量特征向量特征向量。定义定义2.1 设设 T 是数域是数域 F 上线性空间上线性空间V 的一个线性的一个线性变换，如果存在变换，如果存在 F以及非零向量以及非零向量 V 使得使得 设设V 是数域是数域 F上的上的 n 维线性空间，维线性空间，是是V 的一组基，线性变换的一组基，线性变换T在这组基下的矩阵为在这组基下的矩阵为A。如。如果果是是T的特征值，的特征值，是相应的特征向量，则是相应的特征向量，则第4页，本讲稿共67页把它代入把它代入把它代入把它代入(2.1)(2.1)，得得得得由于由于 线性无关线性无关，则，则第5页，本讲稿共67页特征向量特征向量 的坐标的坐标 x 满足齐次线性方程
5、组满足齐次线性方程组 因为因为 ,所以所以 ,即齐次线性方程组即齐次线性方程组即齐次线性方程组即齐次线性方程组(2.4)有非零解。方程组有非零解。方程组(2.4)有非零解的充分必要条件有非零解的充分必要条件是它的系数矩阵行列式为零，即是它的系数矩阵行列式为零，即 第6页，本讲稿共67页定义定义2.2 设设设设A是数域是数域 F上的上的 n 阶矩阵，阶矩阵，是一个是一个文字，矩阵文字，矩阵文字，矩阵文字，矩阵 称为称为称为称为A 的的的的特征矩阵特征矩阵，其行列式，其行列式 称为称为A 的的特征多项式特征多项式特征多项式特征多项式。方程。方程 称为称为A的的的的特征方程特征方程，它的根称为，它的
6、根称为，它的根称为，它的根称为A的的特征根特征根特征根特征根（或（或特征特征特征特征值值）。以）。以A的特征值的特征值 代入齐次线性方程组代入齐次线性方程组(2.4)所得的非零解所得的非零解 x 称为称为A对应于对应于 的的特征向量特征向量。特征值特征值 作为特征方程的根的重数称为作为特征方程的根的重数称为 的的代数重代数重数数.线性变换线性变换T T 与它在与它在V的一组基下的矩阵的一组基下的矩阵的特征值是相同的的特征值是相同的.特征向量呢特征向量呢?A A的特征值就是的特征值就是的特征值就是的特征值就是T T的特征值的特征值的特征值的特征值 A A的特征向量是的特征向量是的特征向量是的特征
7、向量是T T的特征向量的坐标的特征向量的坐标的特征向量的坐标的特征向量的坐标第7页，本讲稿共67页例题例题1(p37，例题，例题2.1)3、特征向量的空间性质特征向量的空间性质1)特征子空间：特征子空间：2)特征子空间的性质：特征子空间的性质：(p36，定理，定理2.2)V V i i是不变子空间是不变子空间是不变子空间是不变子空间 i i j j，则，则，则，则V V i i V V i i=0=0 1)若若若若 i i是是是是k ki i重特征值，则重特征值，则重特征值，则重特征值，则1 1 dimdimV V i i k ki i 推论推论：若若 i是单特征值，则是单特征值，则dimV
8、i=1V 1+V 2+V s=V 1 V 2V s 1)V 1 V 2V s Vn（F）第8页，本讲稿共67页 设设 是线性变换是线性变换T 的任一特征值，记的任一特征值，记T线性变换线性变换T 对应于特征值对应于特征值对应于特征值对应于特征值 的的的的特征子空间特征子空间.则则 设设 是矩阵是矩阵 的任一特征值，记的任一特征值，记几何重数几何重数.第9页，本讲稿共67页定理定理2.1 设设 F ，则，则其中其中 是是A的所有的所有k k 阶阶主子式主子式主子式主子式之和之和,特别地特别地定理定理2.2 设设 F ，是是是是A 的特征的特征值，则值，则子式子式子式子式顺序主子式顺序主子式第10
9、页，本讲稿共67页例例例例1.1.设设矩阵矩阵矩阵矩阵 A 在控制论中称为在控制论中称为友矩阵友矩阵或或相伴矩阵相伴矩阵，求，求A A 的特征多项式。的特征多项式。的特征多项式。的特征多项式。第11页，本讲稿共67页解解:记记记记对对di按第一行展开，有按第一行展开，有由上式逐次递推得由上式逐次递推得第12页，本讲稿共67页定理定理2.3 如果如果 n 阶矩阵阶矩阵 A 与与 B 相似，则相似，则(1)A与与B 有相同的特征多项式；有相同的特征多项式；(2)A与与B 有相同的特征值有相同的特征值；(3)tr(A)=tr tr(B).定理定理2.4 设设 是线性变换是线性变换T（或矩阵（或矩阵A
10、）的）的）的）的r r 个互不相同的特征值，个互不相同的特征值，个互不相同的特征值，个互不相同的特征值，是对应于是对应于是对应于是对应于 的的的的特征向量，则特征向量，则 线性无关。线性无关。第13页，本讲稿共67页 则则 为为 的特征值的特征值.对线性变换也有类似的结论对线性变换也有类似的结论.第14页，本讲稿共67页二、线性变换矩阵对角化的充要条件二、线性变换矩阵对角化的充要条件T可以对角化可以对角化T有有n个线性无关的特征向量。个线性无关的特征向量。dimV i=n dimV i=ki 定理定理2.4 4(p39)T可以对角化可以对角化T T的变换矩阵的变换矩阵A A可以对角化。可以对角
11、化。第15页，本讲稿共67页例题例题2 已知已知 1，2，3 是空间是空间V3（F）的基，）的基，T是空间上如下定义的线性是空间上如下定义的线性变换，变换，T（1）=1 T（2）=2 2 T（3）=1+t 2+2 3讨论：讨论：t t为何值，为何值，T有对角矩阵表示有对角矩阵表示例题例题例题例题3 3 证明幂等变换证明幂等变换证明幂等变换证明幂等变换(T T2=T)有对角矩阵表示。有对角矩阵表示。第16页，本讲稿共67页2.2 Jordan 矩阵介绍矩阵介绍目标：目标：目标：目标：发展一个所有方阵都能与之相似的矩阵发展一个所有方阵都能与之相似的矩阵发展一个所有方阵都能与之相似的矩阵发展一个所有
12、方阵都能与之相似的矩阵结构结构结构结构-Jordan-Jordan矩阵。矩阵。矩阵。矩阵。一、一、一、一、Jordan Jordan 矩阵矩阵矩阵矩阵1.1.Jordan Jordan 块块块块(p40p40，定义，定义，定义，定义2 2.3 3)1.1.形式形式形式形式：2.2.确定因素：确定因素：确定因素：确定因素：3.3.Jordan Jordan 块矩阵的例子：块矩阵的例子：块矩阵的例子：块矩阵的例子：值值值值 矩阵的阶数矩阵的阶数矩阵的阶数矩阵的阶数例题例题例题例题1 1 下列矩阵哪些是下列矩阵哪些是下列矩阵哪些是下列矩阵哪些是JordanJordan块？块？块？块？第17页，本讲稿
13、共67页1)形式：形式：2)Jordan矩阵举例矩阵举例3)特点特点 元素的结构元素的结构元素的结构元素的结构 JordanJordan矩阵是上三角矩阵矩阵是上三角矩阵矩阵是上三角矩阵矩阵是上三角矩阵 对角矩阵是对角矩阵是对角矩阵是对角矩阵是Jordan Jordan 矩阵矩阵矩阵矩阵2 Jordan 矩阵矩阵3 Jordan 标准形标准形定理定理定理定理2 2.5 5(p41p41)含义：含义：含义：含义：Jordan Jordan 矩阵可以作为相似标准形。矩阵可以作为相似标准形。矩阵可以作为相似标准形。矩阵可以作为相似标准形。惟一性：惟一性：惟一性：惟一性：Jordan Jordan 子块
14、的集合惟一。子块的集合惟一。子块的集合惟一。子块的集合惟一。A A相似于相似于相似于相似于B BJ JA A相似于相似于相似于相似于J JB B第18页，本讲稿共67页二、方阵二、方阵A的的Jordan 标准形的求法标准形的求法目标：目标：目标：目标：求可逆矩阵求可逆矩阵求可逆矩阵求可逆矩阵P P和和和和JordanJordan矩阵矩阵矩阵矩阵J JA A，使，使，使，使AP=PJAP=PJA A分析方法：分析方法：分析方法：分析方法：在定理在定理在定理在定理 2 2.5.5 的基础上逆向分析矩阵的基础上逆向分析矩阵的基础上逆向分析矩阵的基础上逆向分析矩阵J JA A 和和和和P P的构成。的
15、构成。的构成。的构成。求法与步骤：求法与步骤：求法与步骤：求法与步骤：矩阵矩阵矩阵矩阵A A和和和和J JA A的特征值相等的特征值相等的特征值相等的特征值相等细分矩阵细分矩阵细分矩阵细分矩阵P Pi i 和和和和 J Ji i，在，在，在，在JordanJordan块上，有块上，有块上，有块上，有第19页，本讲稿共67页Jordan链条链条，y2，ynj特征向量特征向量特征向量特征向量广义特征向量广义特征向量广义特征向量广义特征向量第20页，本讲稿共67页方法步骤：方法步骤：由特征值由特征值由特征值由特征值 i i 的代数重数确定主对角线元素是的的代数重数确定主对角线元素是的的代数重数确定主
16、对角线元素是的的代数重数确定主对角线元素是的 i i 的的的的 Jordan Jordan 矩阵矩阵矩阵矩阵J J(i i)的阶数。的阶数。的阶数。的阶数。由特征值由特征值由特征值由特征值 i i 对应的线性无关的特征向量的个数确定对应的线性无关的特征向量的个数确定对应的线性无关的特征向量的个数确定对应的线性无关的特征向量的个数确定 J J(i i)中中中中Jordan Jordan 块的个数块的个数块的个数块的个数由特征向量求得的由特征向量求得的由特征向量求得的由特征向量求得的Jordan Jordan 链条的长度确定链条的长度确定链条的长度确定链条的长度确定JordanJordan块的块的
17、块的块的阶数阶数阶数阶数链条中的向量合起来构成可逆矩阵链条中的向量合起来构成可逆矩阵链条中的向量合起来构成可逆矩阵链条中的向量合起来构成可逆矩阵P P，JordanJordan块构成块构成块构成块构成J JA A例题例题例题例题1 1(p44p44，例题例题例题例题5 5)例题例题例题例题2 2(p45p45，例题例题例题例题6 6)第21页，本讲稿共67页例题例题3 将矩阵将矩阵A化为化为Jordan 矩阵。矩阵。例题例题4 (p46，例题例题7)第22页，本讲稿共67页三、三、-矩阵及其在相抵下的标准形矩阵及其在相抵下的标准形3.1-3.1-矩阵的基本概念矩阵的基本概念3.2-3.2-矩阵
18、的初等变换与等价矩阵的初等变换与等价3.3-3.3-矩阵在等价下的标准形矩阵在等价下的标准形第23页，本讲稿共67页3.1-矩阵的基本概念矩阵的基本概念定义定义3.1 设 是数域F上的多项式，以 为元素的 矩阵称为多项式矩阵或多项式矩阵或-矩阵矩阵，多项式 中的最高次数称为A()的次数次数，数域 F上 -矩阵的全体记为F 。第24页，本讲稿共67页 设 F ，若则称A()与B()相等相等，记为A()=B()。第25页，本讲稿共67页-矩阵的运算：-矩阵行列式的性质 利用行列式，可定义子式和代数余子式。减法 数量乘法 乘法 转置加法 n 阶-矩阵的行列式 对n阶-矩阵A(),B(),有|A()B
19、()|=|A()|B()|第26页，本讲稿共67页定义定义3.2 设 F ，如果A()中有一个 r 阶子式不为零，而所有r+1阶子式(如果有的话）全为零，则称A()的秩为秩为 r，记为 rank(A()=r。定义定义3.3 设 F ，如果存在一个n 阶-矩阵B()使得 则称-矩阵A()是可逆可逆的，并称B()为A()的逆矩阵逆矩阵，记作 。第27页，本讲稿共67页3.2-矩阵的初等变换与相抵矩阵的初等变换与相抵定义定义3.4 下列三种变换称为-矩阵的初等变换：（1）-矩阵的两行（列）互换位置；（2）-矩阵的某一行（列）乘以非零常数 k；（3）-矩阵某一行（列）的 倍加到另一行（列），其中 是的
20、多项式。对单位矩阵施行上述三种初等变换便得相应的三种-矩阵的初等矩阵P(i,j)，P(i(k)，P(i,j()，即第28页，本讲稿共67页第29页，本讲稿共67页第30页，本讲稿共67页第31页，本讲稿共67页初等矩阵都是可逆的初等矩阵都是可逆的，并且初等矩阵行列式都是非零常数初等矩阵行列式都是非零常数.第32页，本讲稿共67页 初等变换的表示 i,j表示第i,j行（列）互换位置；i(k)表示用非零常数 k 乘第 i 行（列）；i+j()表示将第 j 行的 倍加到 第i行;定义定义3.5 设 F ，如果A()经过有限次的初等变换化为B()，则称-矩阵A()与 B()等价（相抵）等价（相抵），记
21、为 。i+j()表示将第 i列的 倍加到第j列.第33页，本讲稿共67页定理定理3.2 设 F ，则A()与B()等价的充分必要条件是存在 m 阶初等矩阵 与 n 阶初等矩阵 使得注意注意:等秩的两个等秩的两个矩阵矩阵未必未必等价等价.等价的两个等价的两个等价的两个等价的两个 矩阵行列式的只相差一个矩阵行列式的只相差一个矩阵行列式的只相差一个矩阵行列式的只相差一个非零常数非零常数.第34页，本讲稿共67页定理定理3.3 设 F ，且 ，则 等价于如下“对角形”矩阵其中 是首项系数为1的多项式，并且 。3.3-矩阵在相抵下的标准形矩阵在相抵下的标准形第35页，本讲稿共67页 定理3.3中的“对角
22、形”矩阵称为-矩阵 在等价下的标准形在等价下的标准形或Smith标标准形准形。定义定义3.6-矩阵 F 的 Smith 标准形“主对角线”上非零元 称为 的不变因子不变因子。第36页，本讲稿共67页例例1.求下列求下列矩阵的相抵标准形及不变因子矩阵的相抵标准形及不变因子第37页，本讲稿共67页一般的一般的,有有:第38页，本讲稿共67页4.3 4.3 矩阵的行列式因子和初等因子矩阵的行列式因子和初等因子 定义定义4.1 设 F 且 ，对于正 整数 ，的全部 k 阶子式的最大公因式最大公因式 称为 的 k 阶行列式因子行列式因子，记为 。行列式因子是首项系数为行列式因子是首项系数为行列式因子是首
23、项系数为行列式因子是首项系数为1 1的多项式的多项式的多项式的多项式第39页，本讲稿共67页定理定理4.1 相抵的-矩阵具有相同的秩和相同的各阶行列式因子。由定理4.1知，任意-矩阵的秩和行列式因子与其 Smith 标准形的秩和行列式因子是相同的。经一次初等变换后，任意经一次初等变换后，任意经一次初等变换后，任意经一次初等变换后，任意-矩阵矩阵矩阵矩阵的秩和行列式因子均不变的秩和行列式因子均不变的秩和行列式因子均不变的秩和行列式因子均不变证明证明同时含有第同时含有第同时含有第同时含有第i i，j j行和不含第行和不含第行和不含第行和不含第i i行行行行含有第含有第含有第含有第i i行不含有第行
24、不含有第行不含有第行不含有第j j行行行行第40页，本讲稿共67页设-矩阵 的Smith标准形为其中 是首项系数为1的多项式，并且 。容易求得 的各阶行列式因子如下：第41页，本讲稿共67页于是有从而得如下结论其余的其余的其余的其余的i i阶子式都为阶子式都为阶子式都为阶子式都为0 0，i=1,2,.,r.i=1,2,.,r.推论推论推论推论4.14.1第42页，本讲稿共67页定理定理4.2-矩阵 的 Smith标 准形是唯一的。行列式因子及不变因子均唯一行列式因子及不变因子均唯一行列式因子及不变因子均唯一行列式因子及不变因子均唯一.第43页，本讲稿共67页定理定理4.3 设 F ，则 与 等
25、价的充分必要条件是它们有相同的行列式因子，或者它们有相同的不变因子。行列式因子与不变因子相互完全确定行列式因子与不变因子相互完全确定行列式因子与不变因子相互完全确定行列式因子与不变因子相互完全确定.第44页，本讲稿共67页定理定理4.4 设 F ，则 可逆的充分必要条件是 可表示为一系列初等矩阵的乘积。证明证明第45页，本讲稿共67页定理定理4.5 设 F ，则 与 等价的充分必要条件是存在两个可逆-矩阵 F与 F 使得 .第46页，本讲稿共67页 下面再引进-矩阵的初等因子。设-矩阵 的不变因子为 ，在复数域内将它们分解成一次因式的幂的乘积：其中 是互异的复数，是非负整数。第47页，本讲稿共
26、67页定义定义4.2 在不变因子的分解式中，所有所有指数大于零的因子称为-矩阵 的初等因子初等因子。因为，则第48页，本讲稿共67页定理定理定理定理4.6 4.6 设 F ，则 与 等价的充分必要条件是它们有相同的秩和相同的初等因子。秩及初等因子秩及初等因子秩及初等因子秩及初等因子与与与与不变因子不变因子不变因子不变因子可相互唯一确定可相互唯一确定可相互唯一确定可相互唯一确定.秩确定了不变因子的个数，秩确定了不变因子的个数，秩确定了不变因子的个数，秩确定了不变因子的个数，同一个一次因式的方幂作成的初等因子中，方幂次数最高同一个一次因式的方幂作成的初等因子中，方幂次数最高同一个一次因式的方幂作成
27、的初等因子中，方幂次数最高同一个一次因式的方幂作成的初等因子中，方幂次数最高的在的在的在的在 中，次高的在中，次高的在中，次高的在中，次高的在 中，依次类推下去，确定所有中，依次类推下去，确定所有中，依次类推下去，确定所有中，依次类推下去，确定所有的不变因子的不变因子的不变因子的不变因子.-矩阵的秩矩阵的秩不小于不小于其初等因子中其初等因子中同一同一一次因式的方幂一次因式的方幂出现的最大个数出现的最大个数.第49页，本讲稿共67页例例1.第50页，本讲稿共67页定理定理定理定理4.74.7 设-矩阵为块对角矩阵，则 与 的初等因子的全体是 的全部初等因子。证明证明第51页，本讲稿共67页定理定
28、理4.7 设-矩阵为块对角矩阵，则 与 的初等因子的全体是 的全部初等因子。证明证明第52页，本讲稿共67页为块对角矩阵，则 与 的初等因子的全体是 的全部初等因子。证明证明先证明先证明 与与 的全部初等因子都是的全部初等因子都是 的初等因子的初等因子定理定理4.7 设-矩阵第53页，本讲稿共67页为块对角矩阵，则 与 的初等因子的全体是 的全部初等因子。证明证明定理定理4.7 设-矩阵第54页，本讲稿共67页为块对角矩阵，则 与 的初等因子的全体是 的全部初等因子。证明证明证明除证明除 与与 的初等因子外，的初等因子外，再没有别的初等因子再没有别的初等因子.定理定理4.7 设-矩阵第55页，
29、本讲稿共67页定理定理4.8 设-矩阵 等价于块对角矩阵 则 各个初等因子的全体就是 的全部初等因子。第56页，本讲稿共67页2.3 最小多项式最小多项式 (minimal polynomials)讨论讨论n 阶矩阵多项式的相关问题：阶矩阵多项式的相关问题：矩阵多项式（重点是计算）矩阵多项式（重点是计算）矩阵多项式（重点是计算）矩阵多项式（重点是计算）矩阵的化零多项式（矩阵的化零多项式（矩阵的化零多项式（矩阵的化零多项式（Cayley Cayley 定理）定理）定理）定理）最小多项式最小多项式最小多项式最小多项式Jordan标准形的应用标准形的应用相似不变性相似不变性相似不变性相似不变性Jor
30、danJordan化的方法化的方法化的方法化的方法第57页，本讲稿共67页一、矩阵多项式一、矩阵多项式1.定义定义2.性质（性质（定理定理定理定理2 2.7 7）AX=AX=0 0 X X g(A)X=g(g(A)X=g(0 0)X X P P-1-1 AP=B AP=B P P-1-1 g(A)P=g(B)g(A)P=g(B)第58页，本讲稿共67页3 矩阵多项式矩阵多项式矩阵多项式矩阵多项式 g g(A A)的计算的计算的计算的计算方法：方法：方法：方法：mr g g（J J）的结构特点：的结构特点：的结构特点：的结构特点：由第一行的元素生成由第一行的元素生成由第一行的元素生成由第一行的元
31、素生成Jordan块块第59页，本讲稿共67页例题例题1 设设对对P38，eg3中的矩阵中的矩阵A，计算，计算g（A）。）。解解第60页，本讲稿共67页二、矩阵的化零多项式二、矩阵的化零多项式 (Annihilating polynomials of Matrices)(Annihilating polynomials of Matrices)问题：问题：问题：问题：A A F Fnn，A A 0 0，是否存在非零多项式，是否存在非零多项式，是否存在非零多项式，是否存在非零多项式g g（），使），使），使），使 得得得得 g g(A A )=0=0？1.1.化零多项式化零多项式化零多项式化零多
32、项式（P P.5252）如果如果如果如果 g g(A A)=0=0，则，则，则，则g g()被称为被称为被称为被称为矩阵矩阵A的的化零多项式。化零多项式。化零多项式。化零多项式。要点：要点：s s矩阵矩阵矩阵矩阵A A一旦有化零多项式，则有无穷多化零多项式。一旦有化零多项式，则有无穷多化零多项式。一旦有化零多项式，则有无穷多化零多项式。一旦有化零多项式，则有无穷多化零多项式。s sg g（A A ）=0=0 的决定因素。的决定因素。的决定因素。的决定因素。s s存在性问题。存在性问题。存在性问题。存在性问题。Cayley-Hamilton Cayley-Hamilton 定理定理定理定理（P
33、P.5252，定理、定理、定理、定理、2 2.7 7）：A A F Fn nnn，f f ()=det=det(I I A A)，则，则，则，则f f(A A )=0=0。Cayley Cayley 定理的应用举例：定理的应用举例：定理的应用举例：定理的应用举例：使使使使A Ak k(k k n n)降阶至不超过降阶至不超过降阶至不超过降阶至不超过n-1n-1次的多项式。次的多项式。次的多项式。次的多项式。f f（0 0）0 0，则，则，则，则A A的逆矩阵可以用多项式表示。的逆矩阵可以用多项式表示。的逆矩阵可以用多项式表示。的逆矩阵可以用多项式表示。对线性变换对线性变换对线性变换对线性变换T
34、 T，f f(T T)=0=0，即，即，即，即f f（T T）为零变换。）为零变换。）为零变换。）为零变换。第61页，本讲稿共67页三、最小多项式三、最小多项式1 定义定义（P P.5454，定义定义定义定义2 2.5 5）mmA A（）是最小多项式）是最小多项式）是最小多项式）是最小多项式mmA A（A A）=0=0mmA A（）在化零多项式中次数最低。在化零多项式中次数最低。在化零多项式中次数最低。在化零多项式中次数最低。mmAA（）最高次项系数是最高次项系数是最高次项系数是最高次项系数是1 1。mmAA（）整除任何化零多项式整除任何化零多项式整除任何化零多项式整除任何化零多项式2 mA（
35、）的结构：的结构：的结构：的结构：设设f f（）=I I A A =定理定理定理定理2 2.8.8：mmA A（）=定理定理定理定理2 2.9.9：mmA A（）=是是是是 i i对应的对应的对应的对应的JordanJordan块的指数。块的指数。块的指数。块的指数。P P.5.54 4第62页，本讲稿共67页3 变换对角矩阵表示的条件变换对角矩阵表示的条件定理定理2.10：线性变换线性变换T可以对角化的充要条可以对角化的充要条件是件是T的最小多项式是一次因子的乘积。的最小多项式是一次因子的乘积。例题例题1（P.56，eg10）例题例题2 设设A R44，mA（)=求矩阵求矩阵A的所有可能的的
36、所有可能的JordanJordan矩阵。矩阵。例题例题例题例题3 3 设设设设 是矩阵是矩阵是矩阵是矩阵A A的化零多项式，证明的化零多项式，证明的化零多项式，证明的化零多项式，证明A A可以相似于对角矩阵。可以相似于对角矩阵。可以相似于对角矩阵。可以相似于对角矩阵。第63页，本讲稿共67页相似问题中的一些矩阵结果相似问题中的一些矩阵结果1.幂等矩阵、幂零矩阵和乘方矩阵幂等矩阵、幂零矩阵和乘方矩阵幂等矩阵（幂等矩阵（幂等矩阵（幂等矩阵（idempotentidempotent）：）：）：）：A A 2 2=A=A幂零矩阵（幂零矩阵（幂零矩阵（幂零矩阵（nilpotentnilpotent）：）
37、：）：）：A 0，k k为正整数，为正整数，为正整数，为正整数，A Ak k=0=0乘方矩阵（乘方矩阵（乘方矩阵（乘方矩阵（involutaryinvolutary）：）：）：）：A A 2 2=I=IA A为幂零矩阵的充要条件是为幂零矩阵的充要条件是为幂零矩阵的充要条件是为幂零矩阵的充要条件是A A的特征值都是零。的特征值都是零。的特征值都是零。的特征值都是零。A A为为为为乘方乘方乘方乘方矩阵的充要条件是矩阵的充要条件是矩阵的充要条件是矩阵的充要条件是A A相似于矩阵相似于矩阵相似于矩阵相似于矩阵 A A为幂等矩阵的充要条件是为幂等矩阵的充要条件是为幂等矩阵的充要条件是为幂等矩阵的充要条件
38、是A A相似于矩阵相似于矩阵相似于矩阵相似于矩阵第64页，本讲稿共67页2 (p47，例题，例题8)设设A为阶方阵，证明矩阵为阶方阵，证明矩阵A和和AT 相似。相似。证明思想：证明思想：证明证明证明证明A A和和和和A AT T 相似相似相似相似 证明证明证明证明 Jordan Jordan 矩阵矩阵矩阵矩阵J JA A和和和和J JA AT T相似相似相似相似 证明证明证明证明J JA A和和和和J JA AT T的的的的Jordan Jordan 块块块块J J和和和和J JT T相似。相似。相似。相似。证明方法：证明方法：取逆向单位矩阵取逆向单位矩阵取逆向单位矩阵取逆向单位矩阵S S，证
39、明：证明：证明：证明：SJ=JSJ=JT TS S （backward identity）第65页，本讲稿共67页3、矩阵、矩阵A，AT，A 和和AHA设设A为为n 阶方阵，则下列结果成立：阶方阵，则下列结果成立：1.矩阵矩阵A相似于矩阵相似于矩阵AT2.矩阵矩阵A相似于矩阵相似于矩阵AH的充要条件是矩阵的充要条件是矩阵的非实数特征值对应的的非实数特征值对应的Jordan 块以共块以共轭对出现。轭对出现。3.矩阵矩阵AHA相似于矩阵相似于矩阵AAH第66页，本讲稿共67页4.设矩阵设矩阵A Fmn，矩阵，矩阵B Fnm，则，则AB和和BA的非零特征值相同。的非零特征值相同。讨论：讨论：若若A A、B B都是方阵，都是方阵，1.AB和和和和BA的特征多项式是否相同？的特征多项式是否相同？的特征多项式是否相同？的特征多项式是否相同？2.AB和和BABA的最小多项式是否相同？的最小多项式是否相同？3.AB和和BA是否相似？是否相似？第67页，本讲稿共67页