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1、关于受迫振动中振幅和频率的讨论第一张,PPT共四十三页,创作于2022年6月关于受迫振动的微分方程关于受迫振动的微分方程振子的受力情况:振子的受力情况:回复力、阻力、策动力回复力、阻力、策动力回复力:回复力:阻力:阻力:第二张,PPT共四十三页,创作于2022年6月策动力的讨论策动力的讨论一般情况下策动力需要周期性变化,因此,我一般情况下策动力需要周期性变化,因此,我们可以用弦类函数去表示策动力们可以用弦类函数去表示策动力同时策动力一般是有稳定的最大值同时策动力一般是有稳定的最大值我们看到在受迫振动中,策动力成为振子运动我们看到在受迫振动中,策动力成为振子运动的主要因素。所以策动力的方向应该与
2、位移方的主要因素。所以策动力的方向应该与位移方向相同。向相同。第三张,PPT共四十三页,创作于2022年6月几处要点几处要点使用余弦函数与正弦函数叠加,是为了使策动使用余弦函数与正弦函数叠加,是为了使策动力能取到不同的相位。力能取到不同的相位。余弦函数与正弦函数周期相同,是为了使策动力余弦函数与正弦函数周期相同,是为了使策动力的最大值在任意一个周期内都为一个定值。的最大值在任意一个周期内都为一个定值。在余弦函数与正弦函数周期一致的情况下,策在余弦函数与正弦函数周期一致的情况下,策动力可以使用辅助角公式变为一个弦类函数。动力可以使用辅助角公式变为一个弦类函数。第四张,PPT共四十三页,创作于20
3、22年6月微分方程微分方程这是一个二阶非齐次线性常系数微分方程这是一个二阶非齐次线性常系数微分方程第五张,PPT共四十三页,创作于2022年6月为了简化运算,我们做参数替换为了简化运算,我们做参数替换方程变为以下形式方程变为以下形式第六张,PPT共四十三页,创作于2022年6月对应的齐次方程为对应的齐次方程为设方程的一个解为:设方程的一个解为:代入齐次方程代入齐次方程第七张,PPT共四十三页,创作于2022年6月这就是这个二阶齐次线性常系数微分方程的特这就是这个二阶齐次线性常系数微分方程的特征方程。我们用一元二次方程的求根公式求解征方程。我们用一元二次方程的求根公式求解方程。方程。第八张,PP
4、T共四十三页,创作于2022年6月讨论根的情况讨论根的情况但是,上述两个解都不含有任意常数,但是,上述两个解都不含有任意常数,所以它们都不是方程的通解。所以它们都不是方程的通解。我们可以利用常数变易法去讨论我们可以利用常数变易法去讨论在上述方程的解中在上述方程的解中,1均为常数,但均为常数,但是前两者由方程给定,只有是前两者由方程给定,只有“1”是我们的是我们的假设。假设。第九张,PPT共四十三页,创作于2022年6月所以,我们可以把所以,我们可以把“1”,变为一个与自变量,变为一个与自变量t有有关的变常数关的变常数C(t).第十张,PPT共四十三页,创作于2022年6月对方程进行整理,可以得
5、到:对方程进行整理,可以得到:第十一张,PPT共四十三页,创作于2022年6月+0时,使用积分因子法对方程进行处理时,使用积分因子法对方程进行处理第十二张,PPT共四十三页,创作于2022年6月两边积分,得到:两边积分,得到:再次积分,得到:再次积分,得到:第十三张,PPT共四十三页,创作于2022年6月代入代入C(t),得:得:第十四张,PPT共四十三页,创作于2022年6月可以看到:可以看到:第十五张,PPT共四十三页,创作于2022年6月第十六张,PPT共四十三页,创作于2022年6月可以看到,两者是等价的可以看到,两者是等价的因此,解可以合并为:因此,解可以合并为:同时,同时,与与的大
6、小关系也会对方程的形式的大小关系也会对方程的形式产生影响产生影响第十七张,PPT共四十三页,创作于2022年6月第十八张,PPT共四十三页,创作于2022年6月第十九张,PPT共四十三页,创作于2022年6月经过整理,可得:经过整理,可得:第二十张,PPT共四十三页,创作于2022年6月第二十一张,PPT共四十三页,创作于2022年6月第二十二张,PPT共四十三页,创作于2022年6月进行两次积分,得到:进行两次积分,得到:以上为齐次方程的通解情况以上为齐次方程的通解情况第二十三张,PPT共四十三页,创作于2022年6月接下来我们求非齐次方程的特解:接下来我们求非齐次方程的特解:第二十四张,P
7、PT共四十三页,创作于2022年6月根据解的叠加原理,待求的非齐次方程的根据解的叠加原理,待求的非齐次方程的通解,为下列两个非齐次方程的通解之和。通解,为下列两个非齐次方程的通解之和。第二十五张,PPT共四十三页,创作于2022年6月利用待定系数法求解两个微分方程利用待定系数法求解两个微分方程第二十六张,PPT共四十三页,创作于2022年6月第二十七张,PPT共四十三页,创作于2022年6月第二十八张,PPT共四十三页,创作于2022年6月显然我们可以看到:显然我们可以看到:第二十九张,PPT共四十三页,创作于2022年6月同理,我们对方程:同理,我们对方程:第三十张,PPT共四十三页,创作于
8、2022年6月第三十一张,PPT共四十三页,创作于2022年6月第三十二张,PPT共四十三页,创作于2022年6月两个复数相等的条件是它们的实部和虚两个复数相等的条件是它们的实部和虚部分别相等部分别相等第三十三张,PPT共四十三页,创作于2022年6月得到方程组:得到方程组:第三十四张,PPT共四十三页,创作于2022年6月第三十五张,PPT共四十三页,创作于2022年6月第三十六张,PPT共四十三页,创作于2022年6月第三十七张,PPT共四十三页,创作于2022年6月这就是非齐次方程的特解。这就是非齐次方程的特解。第三十八张,PPT共四十三页,创作于2022年6月第三十九张,PPT共四十三
9、页,创作于2022年6月非齐次方程的通解是对应的齐次方程的通非齐次方程的通解是对应的齐次方程的通解加上一个非齐次方程的特解。解加上一个非齐次方程的特解。第四十张,PPT共四十三页,创作于2022年6月此时即为稳态的受迫振动此时即为稳态的受迫振动我们看到,稳态受迫振动的角频率为策动力我们看到,稳态受迫振动的角频率为策动力的角频率的角频率利用辅助角公式可以求得振幅利用辅助角公式可以求得振幅第四十一张,PPT共四十三页,创作于2022年6月可以看到,当可以看到,当=时,振幅最大,时,振幅最大,这样的振动现象叫做共振这样的振动现象叫做共振是物体的固有频率是物体的固有频率第四十二张,PPT共四十三页,创作于2022年6月2022/10/17感感谢谢大大家家观观看看第四十三张,PPT共四十三页,创作于2022年6月