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1、 空间向量考纲导读2了解空间向量的基本定理；理解空间向量坐标的概念；掌握空间向量的坐标运算3掌握空间向量的数量积的定义及其性质；掌握用直角坐标计算空间向量数量积的公式；掌握空间两点间的距离公式证明平行与垂直高考导航理解空定义、加法、减法、数乘运算数量积间向量的夹角的概念；掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算空间向量求空间角坐标表示：夹角和距离公式向量的数量积的几何意义；掌握空间向量的数量积的坐标形式；能用向量的数量积判断向量的共线与垂直.空间向量是平面向量的推广在空间，任意两个向量都可以通过平移转化为平面向量因此，空间向量的加减、数乘向量运算也是平面向量对应运算的推广1空间向量的概念，空间向
2、量的加法、减法、数乘运算和数量积；(1) 向量：具有和的量2线性运算律且长度(3) 数乘分配律： (ab)l(1)共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相或(2) 共线向量定理：对空间任意两个向量 a、b(b 0)，ab 等价于存在实数 ，使l(3) 直线的向量参数方程：设直线l 过定点 A 且平行于非零向量 a，则对于空间中任意一点O，点P 在 l 上等价于4共面向量(1) 共面向量：平行于的向量 (2) 共面向量定理：两个向量 a、b 不共线，则向量 P 与向量 a、b 共面的充要条件是存在实数对( x, y )，使的三个向量(2) 空间向量基本定理：如果 a，b，c 三个向量不共面
3、，那么对空间中任意一个向量p，存在一个唯一的有序实数组 x, y, z ，使空间向量基本定理的推论：设 O，A，B，C 是不共面的的四点，则对空间中任意一点P，都存在唯一的有序实数(2) 空间向量的长度或模：空间向量的数量积的常用结论：；(b) ?a? ；2典型例题AF = AD + xAB + y AA1，求 xy 的值.1解：易求得x = y = , x - y = 02变式训练 1. 在平行六面体中，M 为 AC 与 BD 的交点，若a，111111b，( )111A? 1 a 1 bc B 1 a 1 bcA2222C 1 a? 1 bcD2222CAB11则AB = a, AC =
4、b, AA = c,111,AB = a + c, DB = AB - AD = a - b, DC = DC + CC = b + cDB + DC = a + c = AB1111111221111 欢迎阅读(1) 求证：MN平面 FC；(2) 求证：MNAB；(3) 当 MA 为何值时，MN 取最小值，最小值是多少？解：(1) 设 NBMC = k,则MN = (k -1)BC + k BF.=EB AC(2) MN AB = (k -1)BC AB - kBF AB = 0.(3) 设正方体的边长为 a,2也即 AM = 1 AC时 ， MN=mina22例 3. 已知四面体 ABCD
5、 中，ABCD，ACBD， G、H 分别是ABC 和ACD 的重心求证：(1) ADBC； (2) GHBD证明：(1) ADBC 所以 ADBC因为AB CD AB CD = 0，AC BD AC BD = 0 ，而AD BC = (AB + BD) (BD + DC) = 0(2) 设 E、F 各为 BC 和 CD 的中点欲证 GHBD，只需证 GHEF，GH = GA+ AH 2 ( EA+ AF ) 2EF33变式训练 3：已知平行六面体H 四点共面，E、F、G、H 分别为棱的中点求证：E、F、G、和AB11111111解： HG = HC + CG HC + GC1 HC + GF
6、+ FC 2EF + GF，A F + FC + GF111所以 EF,EG,EH 共面，即点 E、F、G、H 共面例 4. 如图，平行六面体 AC 中，AE3EA ，AFFD，AG 1，过 E、F、G 的平面与对角线 AC 交于点 P，求GB1112AP:PC 的值1解：设 AP = m AC1B14A13CEB4又E、F、G、P 四点共面，P3GDFA m = 319APPC 3161变式训练 4：已知空间四边形 OABC 中，M 为 BC 的中点，N 为 AC 的中点，P 为 OA 的中点，Q 为 OB 的中点，若ABOC，求证 PM QN法二：( PQ QM )( QM MN )1证明
7、：法一：OM = (OB + OC)2 121PM = PO + OM = (AB + OC)2 10224故 PM QN 1立体几何中有关垂直和平行的一些命题，可通过向量运算来证明对于垂直，一般是利用ab ab0 进行证明对于平行，一般是利用共线向量和共面向量定理进行证明2运用向量求解距离问题，其一般方法是找出代表相应距离的线段所对向量，然后计算这个向量对应的模而计算过程中只要运用好加法法则，就总能利用一个一个的向量三角形，将所求向量用有模和夹角的已知向量表示出来，从而求得结果3利用向量求夹角(线线夹角、线面夹角、面面夹角)有时也很方便其一般方法是将所求的角转化为求两个向量的夹角，而求两个向
8、量的夹角则可以利用公式cos aba b4异面直线间的距离的向量求法：已知异面直线l 、l ，AB 为其公垂线段，C、D 分别为 l 、l 上的任意一点，n1212.no1223(1) ab(2) a(3) ab(4) ab (5) 设A = (x , y , z ), B = (x , y , z )111222AB 的中点 M 的坐标为aba baba bab；3 106(3) k = - 8；327O)，( )OC OA = 0 BC = OA R，l lOC OA, BC OA，3xx +1= 3 ,l() ( ) x +1,y -1,z - 2 = l 3,0,1y -1= 0,lz
9、7211。101010 ，AC = OC -OA = - ,1, 。，M、N 分别 A B 、A A11111z(1) 求 BM 的长；NA1(2) 求11(3) 求证：yB11.x11BA CB.111BA CB111 11 1(3) 证明：依题意得 C （0，0，2），N.1112 22 2变式训练 2. 在四棱锥 PABCD 中， 底面 ABCD 为矩形，侧棱 PA底面 ABCD，AB ，BC1，PA2，E 为3PD 的中点PDC解：(1) 建立空间直角坐标系 ABDP，则 A、B、C、D、P、E 的坐标分别是 A(0, 0, 0)、B( , 0, 0)、C( , 1, 0)、3AD(0
10、, 1, 0)、P(0, 0, 2)、E(0, 1 , 1)，依题设 N(x, 0, z)，则 (x, 1 , 1z)，由于 NE平面 PAC，22 欢迎阅读 NE AP = 0= 0NE AC1-x, ,1- z) (0, 0, 2) = 0 - =z 1 0(即 2- 3x + 1 = 01(-x, ,1- z) ( 3,1, 0) = 0 223 =，即点 N 的坐标为( 3 , 0, 1)，x66z = 1从而 N 到 AB、AP 的距离分别为 1， 3 .6(2) 设 N 到平面 PAC 的距离为 d，则 d | NA NE | (,662=1212| (-62例 3. 如图，在底面
11、是棱形的四棱锥P- ABCD中，2:1，点E 在 PD 上，且 :PE EDoP(1) 证明 PA 平面 ABCD；EA(2) 求以 AC 为棱， EAC 与 DAC 为面的二面角 的大小；D(3) 在棱 PC 上是否存在一点 F，使 BF 平面 AEC ？证明你的结论解：（1）证明略；BC（2）易解得q = 30o；（3）解 以 A 为坐标原点，直线 AD, AP 分别为 y 轴、z 轴，过 A 点垂直于平面 PAD 的直线为 x 轴，建立空间直角坐标系（如图）由题设条件，相关各点的坐标为331所以， AP = (0,0,a), PC = (22223322223a(1- l) =122BF
12、 = BP + PF = (3 a(l -211), a(1+ l),a(1- l)= l+ l1l1l2l令得BFACAE121222231 ala(1- l) =23解得l = 113，即l = 1 时， BF= - 1AC + 3 AE亦即，F 是 PC 的中点时， BF, AC, AE 共面，又 BF 平l = - l =,12222222面 AEC ，所以当 F 是 PC 的中点时， 平面 AECBF例 4. 如图，多面体是由底面为 ABCD 的长方体被截面 AEFG 所截而得，其中 AB4，BC1，BE3，CF4.(1) 求 EF 和点 G 的坐标；F(2) 求 GE 与平面 AB
13、CD 所成的角；ZGEDyCA 欢迎阅读(3) 求点 C 到截面 AEFG 的距离解：(1) 由图可知：A(1，0，0)，B(1，4，0)，E(1，4，3)，F(0，4，4) EF = (-1, 0, 1)又 AG = EF ，设 G(0，0，z)，则(1，0，z)(1，0，1) z1 G(0，0，1)(2)平面 ABCD 的法向量 DG = (0, 0, 1).，设 GE 与平面 ABCD 成角为 ，则qGE = (1, 4, 2)p2 2121cos( - )=2(3)设 面 AEFG， (x ，y ，z )nn00000P nAG0030000F300400G00040AD取 z 4，则
14、 (4，3，4)n00BCECF = (0, 0, 4),d =041即点 C 到截面 AEFG 的距离为 16 4141变式训练 4. 如图四棱锥 PABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，PG平面 ABCD，垂足为G，G 在 AD 上，且PGAG = 1 GD ，BGGC，GBGC2，E 是 BC 的中点4，3(2)求点 D 到平面 PBG 的距离；(3)若 F 点是棱 PC 上一点，且 DFGC，求FC解：(1)以 G 点为原点，GB GC 、GP、为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则 B(2，0，0)，C(0，2，0)，GE PC21010P(0，0，4)，故 E(1，1
15、，0)，GE (1，1，0)， PC (0，2，4)。，cos GE PC，=|GE | PC |2 20GE 与 PC 所成的余弦值为10 10(2)平面 PBG 的单位法向量 n(0，1，0) .333 3GD = AD = BC = (- ， ，0)2 23，点 D 到平面 PBG 的距离为| GD n | .4423 333(3)设 F(0，y，z)，则 DF = (0，y，z) - (- ， ，0) = ( ，y - ，z) 。2 222 欢迎阅读33DF GC，= ，即 ， - ， ， ， = - = ，DF GC 0(yz) (0 2 0) 2y 3 02233 =y, 又 PF
16、 = l，即(0， ，z4)(0，2，4)， z=1，PC223 53313) FC (0 1)PF =PC2故 F(0， ，1) ，= ， ，- ， = ， ，- ，3= 。PF (022252小结归纳对于以下几类立体几何问题：(1) 共线与共面问题；(2) 平行与垂直问题；(3) 夹角问题；(4) 距离问题；(5) 探索性问题运用向量来解决它们有时会体现出一定的优势用空间向量解题的关键步骤是把所求向量用某个合适的基底表示，本节主要是用单位正交基底表示，就是适当地建立起空间直角坐标系，把向量用坐标表示，然后进行向量与向量的坐标运算，最后通过向量在数量上的关系反映出向量的空间位置关系，从而使问题得到解决在寻求向量间的数量关系时，一个基本的思路是列方程，解方程