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1、 第 3 讲 等比数列及其前 n 项和基础题组练1已知a 为等比数列且满足 a a 30，a a 3，则数列a 的前 5 项和 S ()n6231n5A15C40B31D121a q a q30，5解析：选 B.因为a 为等比数列且满足 a a 30，a a 3，所以11可a q a 3，n6231211a 1，12S 31，数列a 的前 5 项和 S 31.5得1q2，125n52(2019辽宁五校联考)各项为正数的等比数列a 中，a 与 a 的等比中项为 2 2，n414则 log a log a 的值为()272 11A1C3B2D4解析：选 C.由题意得 a a (2 2) 8，由等比
2、数列的性质，得 a a a a 8，所以24144147 11log a log a log (a a )log 83，故选 C.27211271123记等比数列a 的前 n 项积为 T (nN )，已知a a 2a 0，且T 128，则m*nnm1 m1m2m1的值为()A4C10B7D12解析：选 A.因为a 是等比数列，所以 a a a .又 a a 2a 0，则 a 2a 0，2m2mnm1 m1m1 m1mm所以 a 2，a 0(舍)由等比数列的性质可知前 2m1 项的积 T a ，即 2 128，2m1m2m1mm2m1故 m4.选 A.4在正项等比数列a 中，已知 a a a 4
3、，a a a 12，a a a 324，则 n 等于()n123456n1 n n1A12C14B13D15解析：选 C.因为数列 a 是各项均为正数的等比数列，所以 a a a ，a a a ，a a a ，n1234567 8 9a a a ，也成等比数列10 11 12b 12不妨令 b a a a ，b a a a ，则公比 q 3.2b 41112324 5 6所以 b 43 .m1m令 b 324，即 43 324，m1m解得 m5，1 所以 b 324，即 a a a 324.513 14 15所以 n14.5已知 S 是等比数列a 的前 n 项和，S ，S ，S 成等差数列，a
4、 a 4，则 a _nn3962582（1q ） 1q 1q693解析：因为 S ，S ，S 成等差数列，所以公比 q1，整理1q1q 1q3961 11得 2q 1q ，所以 q ，故 a 1 4，解得 8，故 8 2.aa633224228答案：26(2018高考全国卷)记 S 为数列a 的前 n 项和若 S 2a 1，则 S _nnnn6解析：法一：因为 S 2a 1，所以当 n1 时，a 2a 1，解得 a 1；nn111当 n2 时，a a 2a 1，解得 a 2；1222当 n3 时，a a a 2a 1，解得 a 4；12333当 n4 时，a a a a 2a 1，解得 a 8
5、；123444当 n5 时，a a a a a 2a 1，解得 a 16；1234555当 n6 时，a a a a a a 2a 1，解得 a 32；12345666所以 S 1248163263.6法二：因为 S 2a 1，所以当 n1 时，a 2a 1，解得 a 1，当 n2 时，a nn111nS S 2a 1(2a 1)，所以 a 2a ，所以数列a 是以1 为首项，2 为公比的等nn1nn1nn1n1（12 ）6比数列，所以 a 2 ，所以 S 63.n112n6答案：637已知等差数列a 和等比数列b 满足 a b 1，a a 10，b b a .nn1124245(1)求a 的
6、通项公式；n(2)求和：b b b b .1352n1解：(1)设等差数列a 的公差为 d.n因为 a a 10，所以 2a 4d10.241解得 d2.所以 a 2n1.n(2)设等比数列b 的公比为 q.n因为 b b a ，所以 b qb q 9.324511解得 q 3.2所以 b b q 3 .2n2n12n113n1从而 b b b b 133 3 .2n121352n18(2019南昌市第一次模拟测试卷)已知等比数列a 的前 n 项和为 S ，且满足 S nn42 2a 1，S 2a 1.433(1)求a 的通项公式；n(2)若数列b 满足 b S (nN )，求数列b 的前 n
7、 项和 T .*nnnnn解：(1)设a 的公比为 q，由 S S a 得，2a 2a a ，n434434a所以 2，所以 q2.4a3又因为 S 2a 1，33所以 a 2a 4a 8a 1，1111所以 a 1，所以 a 2 .n11n(2)由(1)知 a 1，q2，则112nS n2 1，n12所以 b 2 1.nn2（12 ）nT b b b 22 2 nn2 2n.n12n12n12n综合题组练1设a 是等比数列，S 是a 的前 n 项和，对任意正整数 n，有 a 2a a 0.nnnnn1n2又 a 2，则 S 的值为()1101A2C2B200D0解析：选 A.设等比数列的公比
8、为 q.由 a 2a a 0，nn1n2得 a (12qq )0.2n因为 a 0，所以 12qq 0，2n解得 q1，所以 S a 2.故选 A.10112(应用型)(2019安徽池州模拟)在增删算法统宗中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，六朝才得到其关”意思是某人要走三百七十八里的路程，第一天脚步轻快有力，走了一段路程，第二天脚痛，走的路程是第一天的一半，以后每天走的路程都是前一天的一半，走了六天才走完这段路程则下列说法错误的是()A此人第二天走了九十六里路B此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里1C此人第三天走的路程占全程的8D此人后三天共走了四十二里路
9、3 解析：选 C.记每天走的路程里数为 a (n1，2，3，6)，n1由题意知a 是公比为 的等比数列，2n1a 1 216由 S 378，得378，16121解得 a 192，所以 a 192 96，212此人第一天走的路程比后五天走的路程多 192(378192)6(里)，148 1a 192 48， ，4378 83前 3 天走的路程为 1929648336(里)，则后 3 天走的路程为 37833642 里，故选 C.3(2019郑州一测)已知数列a 满足 log a 1log a (nN )，且 a a a *n2n12n123a 1，则 log (a a a )_102101102
10、110解析：因为 log a 1log a ，可得 log a log 2a ，2n12n2n12n所以 a 2a ，所以数列a 是以 a 为首项，2 为公比的等比数列，n1nn1又 a a a 1，1210所以 a a a (a a a )2 2 ，1001001011021101210所以 log (a a a )log 2 100.10021011021102答案：1004(综合型)已知 a1，a1，a5 三个数成等比数列，其倒数重新排列后为递增的等1 1a a1an比数列a 的前三项，则能使不等式 a a a 成立的正整数 n 的最大n12n12值为_解析：因为 a1，a1，a5 三个
11、数成等比数列，所以(a1) (a1)(a5)，所以2a3，倒数重新排列后恰好为递增的等比数列a 的前三项，n1 1 1则a 的前三项为 ， ， ，8 4 2n111 所以a 是首项为 ，公比为 2 的等比数列，数列是以 8 为首项， 为公比的等比数2 a8n n11（12 ） 8 1n2n1 1列，则不等式 a a a 等价于a a1an8，整理得 2 2 ，7n12112n12124 所以 n7，nN ，即 n 的最大值为 7.*答案：75(2019湖北省五校联考)已知数列a 是等差数列，a 6，前 n 项和为 S ，b 是n2nn等比数列，b 2，a b 12，S b 19.21331(1
12、)求a ，b 的通项公式；nn(2)求数列b cos(a )的前 n 项和 T .nnn解：(1)因为数列a 是等差数列，a 6，n2所以 S b 3a b 18b 19，所以 b 1，312111因为 b 2，数列b 是等比数列，所以 b 2 .n12nn所以 b 4，因为 a b 12，所以 a 3，3131因为 a 6，数列a 是等差数列，2n所以 a 3n.n(2)由(1)得，令 C b cos(a )(1) 2 ，nn1nnn所以 C (1) 2 ，n1nn1CC所以 2，又 C 1，n11n所以数列b cos(a )是以1 为首项、2 为公比的等比数列，nn11（2）n121 1(
13、2) 所以 T n3nn12n6(2019湖北黄冈调研)数列a 中，a 2，a a (nN )*n1n1na (1)证明：数列n n是等比数列，并求数列a 的通项公式；n a(2)设 b ，若数列b 的前 n 项和是 T ，求证：T 2.n4nannnnna1 a解：(1)由题设得a ，n1nn1 2 n又 2，11a1 所以数列n是首项为 2，公比为 的等比数列，2 n n1an1 4n2 ， 2 .所以 2a nn2n2n22nn4n2nan1(2)证明：b 4na，4n 2 1nn4n2nn5 因为对任意 nN ，2 12 ，*nn11所以 b 2.nn11 1 1所以 T 1 2 2 2112 1 2.2n12n23n6